Application de ce qui précède A l'attraction
aniTerinelle. — Nous savons que cette force est proportionnelle aux masses et inverse du carré des distances, et nous pouvons supposer que les masses M, m soient celles du soleil et d'une planète. On peut, comme nous le verrons plus tard^ les assimiler à des
points. Leur attraction est ainsi f.—fjf étant un coefficient constant ; mais le soleil étant mobile, on aura le mouvement relatif de la planète, comme on Ta vu au numéro 59, en multipliant la
force par — ^j— ; en posant
elle devient ainsi -^. Nous avons prisRm pour l'expression générale des forces centrales ; dans la question actuelle on a donc R = —f. En supposant R = — nous avons trouvé au numéro précédent les formules (3) du mouvement, et la valeur (2) ou
k« (W — l)rn-l ^v'
en posant pour simplifier c' = k^p, p sera une constante positive quelconque, et en remplaçant w par 2, nous aurons
cette valeur est négative quand r est très petit, et pour que f(r) puisse avoir des valeurs positives il faut que les racines de f(r) = 0 soient réelles ; cette condition est 1 — 2hp > o ; ainsi h n'a point une valeur complètement arbitraire, et il vaut mieux lui substituer une autre constante ne présentant pas le même inconvénient. Pour cela nous poserons 1 — 2hp — e* qui sera ainsi
toujours positif, d'où résulte h = —(^— j 6*
On peut supposer e positif comme p, et d'ailleurs quelles que soient ces nouvelles constantes, il leur correspond certaines valeurs
initiales de r, -^, -^- ; en effet, en posant f(r) = o, la somme des
valeurs de — est — ou positive ; l'une d'elles au moins est donc positive, et il existe des valeurs de r rendant f(r) positive. On peut prendre l'une d'elles comme initiale, et Téquation -^ = f(r)
dr
donnera la valeur initiale correspondante de ^, tandis qu'on tirera celle de -^ de la relation r^-^ = c = h y^.
L'équation différentielle de la trajectoire est d'après les formules (3) du numéro précédent, et (5),
dr' -^ fjr) ^ f(r)
On peut remarquer que
tandis que f(r) est une fonction de — ; l'intégration deviendra
donc plus simple en prenant pour variable — = p, d'où, d'après la valeur (5)
et l'équation prend la forme
(dpV e«-i 2p . «• / iV
L'expression p est donc toujours comprise entre ± —
bien qu'elle ne puisse pas toujours atteindre ces deux limites, p restant positive. Toutefois on voit comme au numéro 52 qu'elle est toujours croissante ou toujours décroissante tant qu'elle n'a pas atteint une d'elles, et par suite on peut poser
p = — cos e,
B étant un angle toujours croissant avec le temps et par suite avec cp ; Téquation devient ainsi
smOi-T- =-YSin'e, ou :7-^ = i,
\ p d(pj p* a^p»
dB
et -j~ étant positif, il en résulte rf9 = eîcp, 9 = cp — g, g étant une
constante arbitraire. Soit OL la droite ayant g pour angle polaire ; 9 est celui du rayon r compté de OX ; cp — g sera donc cet angle compté de OL, et comme il est indifférent de changer les axes en prenant OL pour axe des x, on aura alors 9 = 'i> ; en substii L — 1
tuant p = -^, l'équation p ^ = — cos 6 deviendra
\ \ e cos tp
= î. ou r =
p p ' 1 + c cos ç '
^ et 6 étant des constantes positives quelconques.
On nomme œniques les courbes que cette équation représente. L'origine est le foyer ; y est le paramètre ou l'ordonnée du foyer,
valeur de r quand (p = — '"• ; e est Y excentricité. La courbe se
nomme une ellipse si e < 1 , une parabole si e s= 1, une hyperbole
si e > 1 ; dans ce dernier cas, y ne peut varier qu'entre ± cp', cp'
étant un angle obtus tel qu'on ait cos cp' = ; en effet r de-
vient infini quand ^= ^'.
Nous nous bornerons au cas de l'ellipse dans la recherche de r en fonction de < ; e étant < 1 , 1 4- ^ cos ? est toujours positif ; cp croît indéfiniment, et pour ses valeurs 0, ir, 2Tr, Stt, etc. r devient
égal tour à tour à son minimum r' = 7-7- , et à son maximum
/' = -r~- ; on les nomme le périhélie et VapMlie s'il s'agit d'une
planète ; mais comme r oscille alors réellement entre / et /', il convient de les exprimer plus simplement; le dénominateur 1 ± e
disparaîtra en employant au lieu de p la constante a — 7-371
nommée la moyenne distance. On aura ainsi
en fonction des constantes e et jp, on a, d'après (5),
en substituant 2) = a(l -^6*) il en résulte, pour déterminer r l'équation (3), ou
^ U^) ='-'ar)=/.v[-- .^---L___J=^. |2ar-.r«~a«(1-.')| ,
OU
■•fâ'-vh*-^'-"i-
Puisque r oscille entre t^ et r", nous devons employer la formule de transformation du numéro 52, où u est un angle toujours croissant ; il est préférable que u=^o corresponde au périhélie ou à r'. En remplaçant A, B par r', r", et celles-ci par leur valeur, on aura
r = — 1 — cos u= a(\ — e cos u),
et l'équation devient par cette substitution
/ du\» h} ^ du* k^
a\\ — e cùs uY lae sin u —- ] = — . ah^ sin* m, ou (1 — e cos m)' , -- = —r ;
\ dt / a dr a^
du
en remarquant que 1 — e cos ^ et -i- sont positifs, et posant
il en résulte
( i — e cos u)du = ndt, u — e sin u = n{t — /) ;
l est une constante arbitraire exprimant la valeur de ^ à l'instant d'un certain passage au périhélie, puisqu'on 9kt = l quand u = o; si n(i — l) en croissant devient égale à o, tt, 2-77, Stt, etc., u croissant toujours avec t prend ces mêmes valeurs, et r ou a(l - 6 cos u) devient tour à toura(l — 6j, a(l-f e), a(l — e), etc. En même
temps on a vu que ^ prenait les valeurs o, n, 27r, Stt, etc., et par suite (p et M contiennent le même multiple de tc. La valeur de u
donne celle de r ou de 7- .— ^ et par suite celle de cos 9 ; on en
1 4" c cos y ^
déduit celle de cp en ayant égard à la remarque précédente. Il ne reste donc qu'à déterminer celle de u en fonction de t ou de n(t — /) ; quand e est un petit nombre, on emploie pour cela la série de Maclaurin, ordonnée suivant les* puissances de e, et dont ,Lagrange a trouvé le terme général. Mais nous laisserons de côté sa démonstration^ de même que d'autres formules auxiliaires usitées en astronomie.
Une planète a terminé sa révolution quand u> a augmenté de 27r ; il en est alors de même de u et de n{t — /) ; en désignant par T sa durée, on aura donc
D'après (4) on a fc* = /*(M -f- ?n), et comme la masse m d'une planète est imperceptible en comparaison de celle du soleil, k^ est sensiblement le même pour toutes les planètes ; par conséquent on
en peut dire autant de - ,-. C'est en cela que consiste la troisième
des lois de Kepler. La première est que chaque planète décrit une ellipse dont le soleil occupe un foyef^ et suivant la seconde les aires décrites sont proportionnelles au temps.
D'après ce que nous avons vu, celle-ci exprime que la force est dirigée vers le soleil, et la première que cette force est inverse au carré des distances ; en vertu de la troisième, le coefficient f de l'attraction est le même pour toutes les planètes. Toutes ces notions de mécanique étaient étrangères à Kepler^ et il est fort remarquable que ses lois leur correspondent aussi exactement. Elles étaient expérimentales, et bien que Kepler eût imaginé l'attraction du soleil pour expliquer le mouvement des planètes, il en a inutilement cherché la loi.
62. Antre métliode d'intégration du même mouirement. liOi des vitesses. — Les trois méthodes indiquées aa numéro 57 pour trouver une intégrale première consistaient à ajouter les équations multipliées par des facteurs tels que les premiers membres devinssent des dérivées exactes.
Mais outre ces méthodes générales, il peut arriver qu'à Taide d'une intégrale première déjà trouvée, on transforme en dérivées exactes les seconds membres des équations, de façon à permettre l'intégration. Ce n'est point une méthode, mais un artifice de calcul, ne pouvant réussir que pour une forme particulière des seconds membres, et qui le plus souvent serait difficile à trouver d'avance; il arrive alors, comme dans beaucoup de questions, qu'après en avoir obtenu la solution complète on découvre de nouvelles relations simples qui auraient pu également conduire à l'intégration.
Dans le cas du mouvement planétaire, les valeurs de -^, -~,
nécessaires en particulier pour le calcul de l'aberration, se trouvent d'une simplicité remarquable ; elles forment de la sorte des intégrales premières à certains égards préférables aux autres. Voici comment on peut les déduire directement des équations du mouvement.
Celles-ci, en substituant R = — ^, sont
et l'on en tire l'intégrale des aires
xdy — ydx
dt
On a
X jr^dx-xrdr^{x^-\-y^)dx—x{xdx-\'ydy)^—y{xdy—ydx) — ycdt ' r ^ r^ ~~ r' r^ r' '
et on troavM^t de vaéme
En sabstitnant
r' cdt \ r'r r» "^ càl\r}
d^tns les équations du mouvement, elles deviennent
^ — — i* Il (lJ\ ^ — ^ il ll^
W " ~c it \Tr 1^'^ e ~dt\r )'
d'où en intégrant,
a et a' étant deux constantes arbitraires. En ajoutant ces équations multipliées par — ^ et -f- ^9 on a
-»-^ouc = -(-^ + aî, + a'x);
comme a;* -|- y' = ^' on en tire
relation entre a; et ^ seuls, qui est par suite l'équation de la trajectoire.
En faisant tourner les axes OX, OY d'un angle g^ et rapportant le mouvement à leur nouvelle position, c qui est double de la dérivée de l'aire, ne change pas de valeur \xety doivent être remplacés par
a: cos ^ — y sin g, x s\n g -{- y cos g,
et «y + cx!x se change en
{a sin ^ + a' cos g)X'^{ciL co^ g — a sin g)y ;
on peut disposer de g de façon qae a cos ^ — a' sin ^ soit nal et Fantre coefficient positif; en le désignant par e et posant comme précédemment c* = k^p, l'équation de la trajectoire devient
r -^ ex ^ f.
Le mouvement étant rapporté aux nouveaux axes, on trouvera nécessairement pour valeur des constantes a = o^ a' = e, sans quoi l'équation de la trajectoire serait incompatible avec la précédente. Les intégrales premières (6) auront donc, en substituant c = A; y^^, la forme plus simple
dx k y dy
-Mt^')-
dt \^ p r dt
En substituant a; = cos cp dans l'équation de la trajectoire, elle donne la formule déjà trouvée
1 + c cos ^
En ajoutant les équations précédentes, multipliées par x, y, on a
xdx + ydy rdr k k r-^ -—
dt a v f V f^
et en substituant ex==p — r,
kW p L ^ ^^y kHi^ p ^ r r« '
cette relation est la même que nous avons trouvée au numéro précédent, ou la valeur (5) jointe à
dr^
Son intégration, comme on l'a vu, introduit une constante l ; les trois autres sont jp, e et l'angle g dont on a fait tourner les axes, qui est l'angle polaire de la droite allant au périhélie et se nomme la longitude du périhélie.
On peut remarquer que deux intégrales premières suffisaient
ponr la solution ; or oatre celle des aires nons en avons trouvé deux autres. Toutes trois étaient distinctes, puisque elles contenaient les constantes indépendantes g, e, p ; c'est pour cela qu'en les combinant sans nouvelle intégration nous en avons tiré l'équation de la trajectoire.
Loi des vitesses. — Nous trouverons comme au numéro 37 la courbe représentative des vitesses en menant à chaque instant
une droite ON égale et parallèle à la vitesse du mobile m et de même sens. Soient oi^ y les coordonnées du point N ou les valeurs de
dx dy ^ h ^ 1, s
-TTj-Tr] en posant -^ = (3 on aura d après les formules (7)
y' = p— +pc,
et en remplaçant x, y par r cos cp, rsin (p,
a?' = — p sin (p = p cos (9 + -g-, !/' = P sin (9 -f — + p«.
En prenant sur l'axe des y la distance 01 = /3e, les coordonnée» de N pour l'origine I seraient af^ y' — |3e ou
P cos [y 4- ^j, p sin [f + |-j.
de sorte que pour cette origine le rayon vecteur est IN = |3, et
l'angle polaire cp + -|-. Comme cp est celui de Om le point N se
construira en menant IN perpendiculaire a Om et de longueur &. La courbe des vitesses, ou le lieu des points N, est donc une circonférence de centre I et de rayon ^.
H faut remarquer que e < 1 ou 01 = |3e < /3 ; ainsi le point O est intérieur au cercle ; les vitesses maxima et minima sont OD^
OD', perpendiculaires à OX, et leur moyenne est -3- DD' ou p. Ce
nombre ^ est la vitesse nniforme qa'aurait une planète décrivant autour du soleil une circonférence de rayon p. En effet, la force étant rapportée à l'unité de masse, nous savons que sa composante
normale est — ou — ; d'autre part elle doit être égale à l'attraction du soleil, d'où résulte
v' jt« k
y/jo
cette valeur de v est celle de |3.
