HoaTement d'an eorps pesant dans Pair. — Il
ne s'agit ici que de celui du centre de gravité ; mais si le corps a une forme quelconque, la résistance de l'air dépend de la disposition de la surface sur laquelle elle s'exerce ou de la rotation du corps. Nous devons donc supposer que cette surface est toujours la même ; c'est ce qui a lieu pour un corps sphérique ou pour un projectile conique ayant la pointe toujours en avant.
Nous rapporterons le mouvement aux axes OX horizontal, OY vertical de bas en haut et nous supposerons le corps lancé du point 0 avec une vitesse u dans la direction OL faisant avec OY l'angle aigu a. Les forces rapportées à l'unité de masse seront la pesanteur g et la résistance de l'air que nous supposerons proportionnelle au carré de la vitesse ou de la forme hv^, k étant une constante positive. Il est clair que le mouvement s'effectue dans le plan de la figure, car il n'y pas de raison pour que le mobile en sorte d'un côté plutôt que de l'autre.
Nous désignerons par 6 l'angle polaire de la tangente mT à la
trajectoire, menée dans le sens du mouvement, l'angle polaire
étant compté de OY en marchant vers OX. Les ^ojections de la vitesse sont donc
dx dy
v sin e = -rr, r cos 6 = -r' »
At al
et celles de la résistance
dx dy
-^ kv^ sin 6 = — kv^-r- , — ^«^ -jt »
ai al
cette force étant opposée à la vitesse. Les équations dn mouvement sont ainsi
d^x , dx d^y , dy
Elles rentrent dans le second cas du numéro 57, ne contenant pas X et y, mais seulement-^, -J- ; en désignant ceUes-ci paric'y', on n'a de la sorte à intégrer que les équations du premier ordre
dx' dy
oiiv = |A^'* +~7*- Les valeurs initiales de v^ 9, a/, y' sont w, «, u sin oc, u cos oc.
ds
On peut remarquer que si Ton substituait t; = -^, s étant l'arc
de la trajectoire compté du point 0, la première équation serait intégrable, ayant la forme
^ = — fcd#, d'où l{x')^ — k8 + c;
on a a;' = w sin a quand s = o, d'où
c = l(u sin a), • / ( — -. — ) = — ks, ou a?' = u sin a «"" .
\tt sin a/
Nous n'emploierons pas cette intégrale, parce qu'il est inutile d'introduire la variable s dans la question. Toutefois, celle-ci étant
toajonrs croissante, nous voyons déjà qae x' est constamment positive et décroissante, ayant o pour limite. Des équations du mouvement on déduit
.dx' .du'
•dont la forme est analogue à celle de l'intégrale des aires. £n
y substituant
, dx a; = —- = V sin 6, y' = v cos G,
«lie se réduit à t;' -^ = gai^ qui remplacera la seconde équation
du mouvement comme étant plus simple. Au lieu de a/, y', on aura ainsi à tirer od et 9 des équations
mais elles contiennent les. variables ô, od, v^ entre lesquelles existe
la relation a;' = t; sin ô ; celle-ci doit servir à en éliminer une, et
x' le plus simple est évidemment de substituer v = . — , ce qui donne
sin e
d.r kx'^ rfe g sin» 6
dt sin 6 ' dt
Nous avons vu que (d était toujours positive et décroissante, ou
•dx' (Ifj
-jr négative ; ainsi -^ et sin 9 sont positifs, c'est-à-dire que Ô croît
constamment sans dépasser tt ; on pouvait du reste le regarder d'avance comme évident.
Les équations contenant toutes deux dt, il faut diviser la première par la seconde pour en avoir une entre deux variables, et comme elle donnera x' en fonction de 9, c'est plutôt à la première équation qu'on doit la substituer. Le système à intégrer devient
ainsi
dœ' k x^ de g sin« 6
de g sin^ e ' dt x
La première s'intègre en la mettant sous la forme
k ' ar'» sin»e' fer'» /sin'e
c étant nne constante. En supposant l'intégrale prise à partir de e = a, le second membre se réduit à c quand t = o, et comme on a alors af=usm a, il en résulte
ku* sin* a
En posant
J ^ sin' 6 kiû sin*a
on aura
(C) A = P = -^ o^ ^' = V^^ sin 6.
fer* sin*6 ▼ *R
Pour éviter d'interrompre la recherche de la solution, nous évaluerons plus loin P sous forme finie, et en même temps nous démontrerons que R est toujours comprise entre un maximum pt et un minimum ^x, tous deux positifs et différents de o.
La vitesse est -r— ou ^ -j^ et on verra que R converge vers 1 ;
le mouvement finit donc par être sensiblement uniforme, de
vitesse ^ -|-. Les valeurs ir' = t; sin 6, y = i; cos 6 donnent
y = ic' cot e. On a en outre dx = aidi, dy = i/dt, ou dy = cot Bdx. En substituant dans ces formules la valeur de dt tirée de la seconde équation (A) on trouve
dt = — r-r-^, dx = — ^» -T. dy = cot Mx.
g sin' e g sin* 6
En remplaçant ocf par sa valeur (C) et intégrant, il en résulte.
n 1 rfe /« rfe __ r«co8 e j^
en remarquant qu'on a t = x~y = o quand S = a. La solution est ainsi ramenée aux quadratures.
On verra plus loin que / - croît à l'infini quand Ô approche
de 'T ; il en sera donc de même de t^ car on l'évaluerait trop faible en remplaçant R par son maximum fi. On en peut dire autant pour y^ en ne considérant dans sa valeur que la portion de Tinté-
grale où ô croît de ^ ir à tt; la limite de y est donc l'infini néga-
tif. Au contraire x converge vers une limite finie >, car on l'évaluerait trop fort en remplaçant R par son minimum fx'.
Ainsi en prenant sur OX la distance OD = \ la trajectoire a une asymptote verticale DD'.
Valeur de I et de R. — Posons
i sinO
On a
db 'de d . tang \ 6
sine "~ 2 sin i^ 0 cos | 6 ~ tang J- 6 '
r4 = / (tang i 6) + const., d'où I = l (^^"«1^) , J 8in6 ^ » » ^^ Vtangj a/
qui devient infinie pour 9 = tt. On a ensuite
cos 6 — sin 6d6 g cos* QdQ [ < 2 — 2 sin* 6] . •sïiï^"* sin* 6 sin» 6 "" [ sine sin»ê J
ou
cos 6 de 2de 'sin*6 sin 6 sin' 6 '
et en intégrant les deux membres de cette égalité de a à d,
J a sin'e"" sin«>» "*"«-«
e sin* a
En substituant cette intégrale, de même que la valeur de I dans
l'expression (B) de P, on trouve
'-.il'
/m p ^ ^ /tang l 6\ cos^ cos^ g
^ ^ Vtang i a/ sin«e ^ sin*a "^ te* sin» a *
n faut remarquer que l'expression
cos 6 COR a sin'è sin'a
est toujours positive, car même si son premier terme est négatif,
ou 9 < "â- w, on a 6 > a, cos ô < cos a, sin' ô > sin* a. Les
autres termes de P sont positifs.
n en résulte que R ou P sin' 0 a une limite inférieure ; en effet si 6 est compris entre a et ir — a, on a sin Ô > sin a, et son quatrième terme
ku^ sin' a ku^ '
si 6 est compris entre tt — a et tt, son second terme — cos 9 dépasse cos a.
En outre, en laissant de côté le premier terme de R, qui est I sin* 9, il est clair que l'ensemble des autres est limité et se réduit à 1 quand 9 = tt. Il suffit donc, de vérifier que I sin 9 est limité, car alors I sin' 9 le sera aussi^ et en outre quand 9 = tt on aura I sin* Q = 0, R = 1, comme nous l'avions supposé.
Or en désignant par 9" au lieu de 9 la variable d'intégration, on a
