I -: — ; , I sin 6 = I 7 --, a
J a sin 9 J a sin 6
Quand 9' est compris entre a et tt — « on a sin 9' > sin a ; quand
&y TT — a, on a 9 > 9*, - - , < 1. On en déduirait aisément une
^ ' "^ ' sm e
limite supérieure de I sin 9.
64. HonvemenÉ d'an eorps pesant attiré wem an point fixe O en raison Inverse da carré des distances. — Plaçons l'origine en 0, OZ étant verticale inférieure.
Les forces rapportées à Vanrté de masse serrat la pesanteur g^
et Fattraction -7- dirigée vers l'origine, et ayant pour projections
• — , etc., k étant une constante. Les équations du mouvement sont ainsi
Si la vitesse initiale du mc^ile m est dirigée dans te plan mette par m et OZ, le mouvement s'effectue dans ce plan, car il . n'y a pas de raison pour que le mobile s'en écarte d'un côté plutôt que de Fautre. Nous laisserons de côté ce cas, dont l'intégration rentrerait d'ailleurs dans nos formules. Nous aurons de la sorte un exemple de mouvement où la trajectoire est à double courbure.
P Intégrales premières. — En ajoutant les équations (1) multipliées par 2dXy 2dy, 2dz, on trouve
d-[ ^p ) ^, + ^9dz -
d'où
h étant une constante.
Soient /, ^ les coordonnées polaires de la projection du point m sur le plan des xy, de sorte qu'on ait
X = r cos ç), y = r' sin y.
On tire des équations (1)
xd^y — yd'^x xdy — ydx ^
dï' ~ ""' ~~dt ~ ""'
c étant la constante des aires, ou
On peut supposer c positif et différent de o, car si l'on avait c = 0, ou / serait constamment nul, et le mouvement rectiligne,
ou l'on aurait -^ = o, cp = const., et dans les deux cas le mouvement s'effectuerait dans un plan, cas que nous avons exclu. Si c était négatif, il suffirait d'échanger OX et OY entre eux pour le rendre positif.
Une autre intégrale première est nécessaire ; pour la trouver, remarquons d'abord qu'en employant les variables r', cp au lieu de
Xyy^ et substituant -r = -^> l'équation (2) ne contiendra plus
Xy y, cp, mais seulement z, r' et r; la troisième équation (1) ne contient non plus que ces lettres, entre lesquelles existe la relation f^^ =^ r^ — z\ qui doit servir à en éliminer une, et de la sorte, on n'aura plus que deux fonctions inconnues du temps. Il ne convient évidemment pas de substituer z = yV* — r'«, ni même r = y^r'*+«'*, ce qui introduirait un radical dans la troisième équation (1) ; mais il n'y en aura aucun, comme on verra, en substituant / = y r« ^^\ nous devons donc prendre pour variables r et z.
Pour trouver une intégrale entre r et z^ en suivant les règles
du numéro 57, il est nécessaire d'avoir l'équation donnant —, elle
doit se tirer de la valeur rdr = xdx + ydy -}- zdz^ qui donne
d\rir) xd^r + yd'y + zd'z dx^ -\- dy^ + dz* ~W~ ~" dt" ^ dt'
On déduit des équations ( 1 )
xd*x -J- yd^y + ^^^ k" ,
et en ajoutant l'équation (2)
dt
à laquelle il faut joindre
dh kH .
Or ce système de deux équations rentre dans le quatrième cas
dv dv vdv dz
d'intégration du numéro 57, en y remplaçant -^j -^ par —, -r- ;
en effet, en ajoutant les deux équations multipliées par djs et rdr, on trouve
et en intégrant
^ ^ dt ' dt r ^ 2 ^ ^ ^
h' étant une constante arbitraire.
2^ Rédtiction des intégrales premières. — Nous devons d'abord transformer l'équation (2) en fonction de r et z; les valeurs x = r' cos ^^y = r' sin rp donnent
dx* -h dy* ^dr* /f^'f*
et en substituant ^ = 4t- tirée de la formule (3), on aura
dt^ r • ^ ^'
dx^ + dy^ 4- dz* rfr'* ^^* , ^ d(«^ - rf/« "^ rf/*' "^ r'« '
D'ailleurs r" = r^ — z\ fdr = rdr — zdz ; ainsi l'équation (2) multipliée par r" devient
On la simplifie en éliminant son second terme ^- — , au moyen
de l'équation (4) multipliée par 2z^ ou de
^rzdrdz Wz^ ar r
en ajoutant celle-ci à la précédente, on trouve pour l'intégrale (2) transformée
dr' -I- dz^ r» - — ^T, - = 2fcV 4- gz (z' + ÎV»^ + /Kr* 4«^ + ih'z — c«.
On aura évidemment des relations plus simples en ajoatml à cette équation ou retranchant l'équation (4) multipliée par 2r, ou
!2 drdz r« -— - - 2t«2 + gr (^r» + Sz') + 2/itr + 2/i V ;
en effet, le premier membre deviendra ainsi jT 1 5 ^^ ^^ ^^
trouve que les seconds membres deviennent en même temps des fonctions de r — ;s seul ou de r + > seul. De la sorte en posant
{b) r — z = u, r -\- z = Vy
on aura
i6^ î-^ = U u = — ^tt> + /ttt« + 2ck« — V)tt — c«,
al o
3° Mode de variation de u, v, et transfor^nées des équations (6) et (7). — Pour éviter des cas singuliers dont la discussion nous mènerait trop loin, nous admettrons que les équations U = o, V = o n'ont pas de racines multiples.
Si a est une racine de U = o, on satisferait l'équation (6) en
supposant u - a = const. ? -j- = o; mais cette solution n'est
qu'apparente. En effet, en différentiant l'équation (6), u étant quelconque, on a
rf.r» rftt' . ^ , du d^u d\] du dt di* ^ di dt^ du dt
OU
d.r« dtt . ^ , d'u dV dt dt^ dt' du
si donc on supposait u = const, , - = o, ^— = o, il faudrait qu'on eût à la fois
u = 0, - = 0, pour u = a ,
et a serait une racine multiple contrairement à l'hypothèse. Les remarques faites au numéro 52 sur la valeur de x satisfai-
sant l'équation -^ = f{x) sont applicables à l'équation (6) ; on
démontrerait de même que la quantité u peut prendre seulement des valeurs rendant U positive, et qu'elle ne peut cesser de croître ni cesser de décroître avant d'avoir atteint une valeur a qui soit racine de U = o ; quand elle Ta atteinte, elle ne peut continuer de varier dans le même sens, ce qui rendrait U négative, ni rester constante, comme on vient de le voir ; elle varie donc ensuite en sens contraire. Tout ce que nous venons de dire pour u reste exact pour V.
Puisque r' — ^' =zir' -f-y*, u^ivojxr+z ne peuvent devenir négatives ; elle ne peuvent non plus devenir nulles, puisque alors U et V se réduiraient à — c\
Le polynôme U est négatif soit si u = o^ soit si u est positif très grand, il est positif si u est négatif très grand. Ainsi l'équation U = 0 a une racine négative — /*, et doit en avoir deux positives a, &, sans quoi, u étant positif, U serait toujours négatif; U sera ainsi positif seulement si la variable u est comprise entre a et 6 ; elle ne fera donc qu'osciller entre ces deux valeurs. On pourra alors poser
u = fl cos* 6 + ft sin" 6 ,
6 étant un angle toujours croissant.
Les racines étant a, 6, — /*, on a
U = — g{u — a) (tt — h) (m + /•) = — R«(m - o) {\i — h) ,
en posant
il est clair que R conserve une valeur finie quand u varie entre a et b, ou quel que soit 0, de sorte qu'on peut lui assigner un maximum fx et un minimum fx\ tous deux positifs et différents de o; d'ailleurs R peut évidemment être mis sous la forme
R = yA + Bcos»6,
A et B étant des constantes.
On aura ainsi^ en substituant la valeur de u
-— - = (a— ti) (tt — fe) = (a — ft) sin" 6 X (« — *) cos" 6, R
du — i{à — a) sin 6 cos 6^6, -rr =^ ^^r
et l'équation (6) deviendra
puisque -^ est positive.
Le polynôme V est négatif pour v = o, et positif quand v est très grand ; l'équation Y = o a donc un nombre impair de racines positives; V est positif quand t; > e, e étant la plus grande racine ; il change de signe si v décroît au-dessous de e, mais s'il y a deux autres racines positives a', 6', et que v soit compris entre elles, y redevient positif. Dans ce cas v restera compris dans le même de ces deux intervalles que sa valeur initiale.
Si c'est entre a' et b', il ne fera qu'osciller Jentre elles, et l'on pourra poser
V = a' cos» 6' + V sin» 6' ,
& étant toujours croissant. On trouverait alors comme ci-dessus que l'équation (7) se réduirait à
2rrfe' (9) dt =
R' restant snpériear à an minimum positif et ayant la forme 1"^+ B' cos*y, OÙ A' B' sont des constantes.
Si V reste compris entre e et l'infini, ou il croit à l'infini, ou il décroit jusqu'à e, puis augmente, et on peut poser
cos«e'
ff étant un angle compris entre ± -j- tt et toujours croissant. En effet, si V est d'abord croissant, on donnera à B' une valeur initiale positive, et en le faisant augmenter jusqu'à -5" ^) ^ croîtra à l'infini ; si V était d'abord décroissant, on donnera à 6' une valeur initiale négative, et pendant que cet angle croît jusqu'à 0 et au delà, V diminuera jusqu'à e et augmentera ensuite à l'infini.
Puisque e est racine de V = 0, ~— est un polynôme entier, et l'on peut poser
\ =ze(v —00 où 0 = Iv^ + l'v + r,
l, l\ f étant des constantes dont la première l n'est pas nulle ; en outre Q reste positif et différant de 0 pour toute valeur de v supérieure à e; en substituant v = — —r-, , on aura
Q = -^, où R'« = A' + B' cos» 6' + C cos* 6', cos* 6
A', B', G étant des constantes dont la première A' est la même que lé" et par suite n'est pas nulle ; R' comme Q reste positif quel
que soit ô', et ne peut s'annuler ni si Ô' = — tt puisqu'il se réduit
à A', ni si 6* < ^, sans quoi l'équation Q = 0 aurait une racine égale ou supérieure à e.
En substituant la yaleur de t; (m a
«« sin* e'R'*
ei^v — e) =eMaqg»e\ V =
cos«e'
