COS'6 V R
et Ton en conclurait encore dt = -^ ou l'équation (9).
4** Forme de la soltUion. — On a w =■ r — g, «y ^= r 4- ^^ d'où 2r = u-\-v,r^' = r* — js* = uv; les équations (8),,(9), (3), deviennent ainsi
v)dQ
uvdrp =
z cdf =
il en
résulte
Soient çp^ la valeur initiale de cp, et Ô^, Ô', celles de 9, V qui se •déduisent de celles de u, ^, ou de r ± ^ ; on aura, en intégrant, à partir -de < = %
'-fit ^£. f ■ :
f-^-fit+Â
cm'
et la relation entre les angles croissants 6, & sera exprimée par
La solution est ainsi ramenée aux quadratures, car ^^ et R sont fonctions de 6 seul, v et R' de 6' seul.
Toutes ces formules sont réductibles aux fonctions elliptiques,
dont Legendre a doané des tables, de sorte qa''on pourrait les calculer nomériqaement si les données étaient namériqnes. Même sans cela on pourrait en général les exprimer en séries, en distingaant an grand nombre de cas, suivant la grandeur respective de k, hj k'y etc.
Mais sans nous arrêter à ces évaluations, nous allons nous rendre compte de la forme générale du mouvement, et comme v peut avoir deux formes différentes, nous distinguerons le monvement de circulation, pour lequel on a
u= a cos*6 + h sin» 6. v = a cos» G' + b' sin« 6'.
et le mouvement de chute, pour lequel
tt = a cos* 6 -h 6 sin* 6, » =
cos* 6
a, b, a\ &', e étant des constantes positives et différentes de o, de même que jx et ^x, qui seront des limites supérieure et inférieure des valeurs de K et R' à la fois. Il résulte évidemment de cette limitation que dans Féquation (12) un des angles Ô, (f ne peut croître à l'infini sans qu'il en soit de même de l'autre.
5^ Mouvemfint de circulation, — Comme u est comprise entre a et b, et v entre a' et 6', l'équation (10) où t croît à l'infini, montre qu'il en est de même de 0 et 0', et d'après l'équation (11) on en peut dire autant de <p.
Menons un plan mobile par l'axe OZ et le point m, du seul côté de l'axe où se trouve le point, et prenons-le pour celui de la figure.
Comme on l'a vu au numéro 6 1 , r -f- ^ = JP ^st l'équation des coniques, et r -j:- x=p celle d'une parabole, l'origine étant au foyer, et l'axe des x dirigé vei^s le sommet. Ainsi, petq étant des constantes, r -j- z = q ou v =^q est l'équation d'une parabole Cm ayant 0 pour foyer et C pour sommet, au-dessous de 0 ; de même r — z =p onu =p est celle d'une parabole Cm,
ayant 0 pour foyer, C pour sommet, au-dessus de 0. Nous appellerons celles-ci les courbes (u\ les autres les courbes (v). En tout point m non situé sur l'axe, il en passe une de chaque espèce, ayant pour équation w = jp, v= q,p et q étant les valeurs de u et V en m. Ces valeurs équivalent à des coordonnées paraboliqties. Les deux courbes se coupent à angle droit, car en menant LmL' parallèle à Taxe, on sait que les tangentes à Cm, Cm sont les bissectrices des angles OwL, OmL'.
Soient u = a, u = b\es équations de AC, BD, et v = a\ v = b' celles de AB, CD; mu, mv les courbes (u) et (v) du point mobile m. Puisque u oscille entre a et 6, et v entre a' et b\ mu oscillera entre les positions AC, BD, et mv entre AB, CD ; leur intersection ou le point m reste ainsi enfermé dans le quadrilatère ABDC. Mais en même temps le plan tourne autour de l'axe, toujours dans le même sens. Ainsi dans l'espace le point m fait autour de l'axe un nombre infini de révolutions, en restant enfermé dans le solide de révolution S décrit par le quadrilatère. On peut même démontrer que s'il n'existe pas une certaine relation commensurable entre les intégrales
/•2irde f^^db' f'^^d^ Ç'^'^â^
le point m épuise jle volume S dans son mouvement, c'est-à-dire finit par passer à une distance, aussi petite qu'on voudra de tout point intérieur au volume S.
6^ Mouvement de chute. — On a dans ce cas v = — z-r; et
cos' 6
comme R' < ^, le second terme de la valeur (10) de t dépasse
j^ r^ dQ'
et croît à l'infini quand 6' approche de -5- tt ; c'est par suite la
limite de 0^, comme noas le savions déjà ; ainsi Q ne croit pas non plus à l'infini, et d'après Téqaation (11), il en est de même de (a ; 9 et <p convergent donc vers des limites finies Q,y<{>,. On pourrait en déduire la position de l'asymptote parabolique de la trajectoire, le point dans sa chute finale n'étant plus animé que de la pesanteur.
65. Travail des forces. Principe des forces vives dans le mouvement d'un point matériel. — P Définitions. — Comme on Ta vu au numéro 6, si unejforce f est a appliquée suivant AF à un point A qui parcourt l'espace / très petit AB, le travail de la force correspondant à ce ^ déplacement signifie le produit /* x AB cos BAF, en sorte r qu'il est positif, nul ou négatif, suivant que BAF est aigu, droit ou obtus.
Le travail précédent se nomme élémentaire, le déplacement étant supposé infiniment petit. Si le point parcourt une ligne finie AH, on la partage en par- ^^ ties AB, BC, etc., assez petites ponr qu'on puisse considérer la force comme constante de grandeur et de direction pendant que le point parcourt l'une d'elles ; on nomme alors travail total la somme des travaux élémentaires correspondant aux déplacements AB, BC, etc.
Il faut remarquer que le mouvement du point ne doit pas être considéré en général comme produit par la force.
L'expression de travail provient de ce que l'emploi industriel des forces consiste en général à faire parcourir à un point A un certain espace malgré la résistance d'une force /*, opposée au mouvement, et dont le travail négatif représente l'effet utile. Nous examinerons plus tard cette propriété du travail. Mais pour le moment nous devons le considérer simplement comme une quantité mathématique.
20 Eaypressmts diverses du travail élémentaire. — Le travail
f. AB cos BAF est le produit de l'espace AB par la projection de
la force sur l'espace. Par conséquent, si f est résultante de ^, cp', cp", le travail de la résultante est la somme de ceux descomposantes. En effet, en projetant ces forces sur AB, on a
proj. f = proj. (p + proj. 9 4- proj. f\
et en multipliant cette égalité par AB,
trav. f = trav. y -|- trav. ^' -\- trav. %\
Le même produit est celui de la force f par la projection AB . cos BAF de l'espace sur la force. Soient X, Y, Z les projec-
tions de la force, et par suite -^, ^ , - ses cosinus. Si les coordonnées du point ont augmenté de dx, dy, dz, ce sont les projections du déplacement sur les axes, et d'après le théorème VI du numéro 3, sa projection sur la force est
-— dx + /- ày + — dz.
En la multipliant par /*et désignant par dTT le travail, il en résulte la formule très usuelle
dT = \dx 4- Ydy + Idz.
3<> Cas où la force a la forme potentielle. — Comme on l'a vu au numéro 57, ce cas est celui où l'on a
la fonction P ne contenant pas d'autres quantités variables que Xy y y Z ; il en résulte
différentielle totale, ou accroissement de P quand le point va de A en B. Si Ton y ajoute les travaux analogues correspondant au trajet de B en C, de C en D, etc., pour en déduire le travail total
de A en H, la somme des petits accroissements de P sera, son accroissement total, et le travail total deviendra
en désignant ainsi la valeur de la fonction P en A et en H. Il est donc indépendant de la ligne que d'autres forces ont fait suivre au point de A en H, et cette propriété n'a lieu que pour la forme potentielle.
En particulier, si la force est le poids|>d'un corps, on a X = o, Y = 0, Z = ^, en prenant pour axe des z la verticale inférieure ; il en résulte cHl = pdjs = d . (pà), V —pz; si z correspond à H et z^ à A, le travail de A en H est
Il en est de même pour le travail de toute force de grandeur et de direction constantes ; on voit en la prenant pour pj que son travail total est le produit de la force par la projection ^ — z^ de l'espace parcouru sur la force, soit que cet espace soit la droite AH, ou une ligne quelconque.
4® Principe des forces vives. — Nous allons maintenant supposer que le travail soit celui de la force f produisant le mouvement du point, cas tout différent du précédent. Nous avons trouvé au
numéro 57
d.-^mv* = \dx -f- Ydy -f- Zdz , "
dont le second nombre est la valeur ci- dessus de dT. En ajoutant cette égalité pour tous les petits déplacements du point, ciT sera
remplacé par le travail total, et d.-^mv^^ ou l'accroissement élémentaire de la demi-force vive, par son accroissement total. De là résulte le principe des forces vives, savoir : V accroissement de la demi-force vive d^tm point pendant un temps quelconque est égal au travail total de la force pendant ce temps, ou, s'il y a plusieurs
forces, à la somme de lears travaux, cette somme étant le travail de leur résultante.
Si la force a la forme potentielle, rfT = dP, et il en résulte l'intégrale des forces vives.
— - mv* = P + const.
Si la force n'a pas cette forme, le principe reste vrai, mais ne constitue pas une intégrale.
Un point est pour nous le centre de gravité d'un corps, en y supposant sa masse réunie ; ce corps peut avoir une seconde force vive provenant de sa rotation ; celle dont nous parlons est celle du centre et se nomme aussi la force vive de translution,
5° Cas où le point est assujetti à rester sur une surface au une courbe dminée. sans frottement. — On peut le supposer libre en joignant à la force f directement appliquée la pression de la surface ou de la courbe sur le point. Or celle-là est normale, ou perpendiculaire au déplacement du point, et son travail élémentaire constamment nul ; ainsi il en est de même du travail totale et l'on peut employer le principe des forces vives comme si le point était libre, la force f agissant seule^ sans tenir compte de la courbe ou de la surface.
Quand le frottement existe on doit le ccmsidérer comme une force extérieure ou directement appliquée ; mais il est proportionnel à la pression du point contre la courbe ou la surface. Pour
une courbe, comme on l'a vu au numéro 50, la pression dépend de
— ; pour une surface elle dépend aussi en général du mouvement
et de la vitesse. Le frottement n'a donc pas la forme potentielle, et Fintégrale des forces vives n'existe pas.
Si la pesanteur est la seule force extérieure, en prenant pour OZ la verticale inférieure, on a, comme on Fa tol^V = pz =^ mgz^
et l'intégrale des forces vives est -^ mv^= mgz + const., ou
v* = ^gz -f- const.,
soit que le point soit libre oa assajetti à rester sur une surface ou une courbe. S'il est, par exemple, sur une ^ 3
courbe AwB, supposons qu'on l'abandonne sans t 1
vitesse initiale en A, en comptant les z à partir V I^ de ce point; on aura alors v = 0 pour ^ = 0 ou v* = 2gZy z étant à chaque intant la distance verticale du mobile m au-dessous du point A ; v diminue quand le point remonte et s'annule quand il arrive en B au niveau primitif, de sorte qu'alors il revient en A, et oscille ainsi entre A et B. Physiquement ce mouvement régulier n'est pas réalisable ; il s'amortit peu à peu par suite du frottement, de la résistance de l'air, etc.
66. Pendule simple. Pendule eyeloldal. — Le second n'a pas l'importance pratique du premier, mais par la simplicité des résultats, il est un exemple remarquable du mouvement sur une courbe. Nous examinons les deux mouvements à la fois, parce que la méthode et les calculs sont semblables.
La cycloïde est décrite par un point M d'une circonférence de centre C,
de rayon a, roulant sans glisser sur une droite AD ; nous la supposerons dans un plan vertical, AD étant horizontale, et nous prendrons pour origine 0 le point de contact à l'instant où le point décrivant M est au bas du cercle sur la verticale OZ ; OX est placé sur OD.
Dans une autre position du cercle, le point de contact primitif étant en N, M sera sur le diamètre MCN; soit alors 0 l'angle de CM et de la verticale OZ' du point de contact actuel 0'.
On a 00' = arc ON = aO ; pour l'origine C les coordonnées polaires de M sont a et 6; ses coordonnées x et z sont ainsi
a sin 6, a cos 6 ; pour l'origine 0 elles deviennent par conséquent
a; = a (6 + sin 6),
2 = a (1 4- cos 6).
En éliminant Ô entre elles on aurait l'équation de la courbe entre X et ^, mais il vaut mieux les conserver sous la forme précédente en fonction de la variable auxiliaire 0. Au point D où la courbe se termine on a Ô = tt, ^ = o, et par suite^OD = OA = 7ra ; en remplaçant 6 par — 6, X change de signe, et z reste le même ; ainsi en faisant varier 0 de o à — tt, les mêmes formules donnent tous les points de l'autre moitié de la cycloïde, symétrique de la première par rapport à OZ.
Les valeurs de x, z donnent
(-^y+ (4*T= a' (^ + cose)*+ a* sin» 6, àx^ f dî« = 2a«(i + cos 6)^6*.
Supposons maintenant, comme au numéro précédent, qu'un point mobile M soit assujetti à rester sur une courbe FM H dans un plan vertical, partant de F sans vitesse initiale, et par suite oscillant entre F et le point H situé à la même hauteur. Ce mouvement est celui du pendule cyclmdal si la courbe est une cycloïde, du pendtde simple si c'est un arc de cercle. Dans ce dernier cas, 0 étant le centre pris pour origine, on peut supposer que le point y soit suspendu par un fil OM de longueur l, et la courbe sera ainsi décrite sans frottement.
Nous désignerons par 0 l'angle ZOM, écart de la verticale OZ, pris négatif à gauche, et par jl sa valeur initiale en F, nommée VampUtiuk, Pour la cycloïde l'origine 0 et l'angle 0 seront définis comme précédemment, et a sera encore la valeur de d en F. L'équation du mouvement est
z correspondant à la position M et z^ à F.
Pour le cercle -s? est la projection l cos 9 de OM sur OZ, d'où js — z^= Z(co8 6 — cos a). En outre l'arc décrit dans le temps dt est IdB au signe près, 0 pouvant décroître. Il en résulte
m dt '
et l'équation (A) devient
i.îî»! =
/" ^ = 2^J(cos 6 — cos a).
Pour la cycloïde ^ = a(l + cos B\ z^ = a(l -f- cos a) ; de plus on a vu que dx* -f- d:3* = 2a\l + cos Ô)(20', d'où
'- — = 2fl«(l + cos 6)
dV
dt^'
et l'équation (A) prend la forme
, dÔ* cos 6 — cos a
i + cos 6
«-5î = ff«
Les équations dans les deux cas contiennent l'arc B et cos 6 ; pour qu'il y entre une seule inconnue cos 0 on doit les multiplier par sin" ô = (1 + cos 6) (1 —cos ô), d'où
( -^-j- — 1 = -j- (cos 6 — cos a) (1 — cos 6) (1|+ cos 6) pour le cercle. \~~li — ) ~ ^^® ^ — cos a) (1 — cos 6) pour la cycloïde.
Comme cos 0 oscille entre les valeurs 1 et cos œ, on doit, en prenant celle-ci pour initiale, substituer
cos 6 = cos a cos* u + sin* u ,
u étant toujours croissant, ce qui donne pour la cycloïde
[duV g 2(4 — cos a) sin u cos tt — I = -^ (1 — cos a) sin*u X {i — cosa) cos'k,
OU
\dt) Aa
wV-3
-.Al
ti
r-. bi-
et pour le cercle
Ainsi ponr la cycloïde, u étant croissant, on a
rfw k / 9
dt y Aa '
Ot les valeurs o, -5- ir, tt de w correspondent à cos 6 = cos a,
1, cos a, c'est-à-dire à F, an point le plus bas, et à H, de sorte que w = 0 quand f = 0. Il en résulte
"=Vi'
sans addition de constante; si T est la durée de l'oscillation ou du trajet FH, on a
Ainsi les oscillations sont rigoureusement isochrones, leur durée étant indépendante de Pamplitude. Pour le cercle, en substituant la valeur de cos 0 dans l'équation (B), on a
r ^ / ST du
V 9 dt= ^
1^ i + cos a cos* u + sin' u
expression qui ne peut s'intégrer sous forme finie, mais seulement en série, et (celle-ci doit être ordonnée suivant les puissances d'une petite quantité. Or en nous bornant d'abord au cas où les oscillations sont très petites, cos a diffère peu de l'unité ; la petite quantité est donc 1 — cos a. et nous devons substituer coSj a = 1 — (1 — cos a) ; on trouve ainsi en divisant haut et bas par /"2",
en posant p = — - — = sm' ^ a, on aura en série
1/ 4" rf^ = " - = du I /lo + /i|3 cos» u + ^,9' cos* u + etc. L .
y * vi — pcos'u L j
A^, A,, etc., étant les coefficients du binôme pour . ou
(1 — rc) *, c'est-à-dire
En intégrant et remarquant que u^=o pour < = o, on trouve
ï/ -y- = Aj^M -+- /i,p I cos* mitt + etc.
OÙ Ton substituera
I cos' udu = I I - -f- — cos 2m I dtt = — t* + -7- sin 2tt, etc.
La durée T de l'oscillation se trouve en remplaçant u par tt, ou en intégrant de o à tt. Pour cela, posons
cos udu = 7C I ,
91 étant un entier quelconque positif ou nul ; la série intégrée sera
(/■y- T = T:(hX + ^pi, + K^V+ etc.).
Pour trouver I,» on a
— l^sm tt cos «^ = COS u — (2n 4* i) cos u(l — cos' m) =
= (2n "f-2) cos** * M — (^2n + 1) cos*" u.
En multipliant par du, intégrant de o à ir, sinw cos*" "^ * u s'annale aox deux limitas, et en divisant par ir^ il en résulte
En posant » = o, 1, 2, etc., on en tire
Or I^ = — i'' du= 1 ; de la sorte fl„ I,, I,, etc., sont les mêmes que A„ A,, A„ etc., et l'on a
l/ -|- T == 7c(/i,' +/i,'p -H /^,*P* + etc.)
et en y remettant les valeurs de jS, A^, fe^, etc.,
On voit maintenant que la série est convergente quel que soit a ; d'ailleurs non seulement la suspension par un fil ne permet pas de prendre a > 90"^, mais a est très petit dans toutes les applications de cette formule, de sorte qu'on peut négliger oc* ; comme
sin-^a = -^a — ~â~\~^^ ) + ^^^-y ^° ^^^* ^^^^^ remplacer
sin* Y' « P*^ ( "q- « ) d'où résulte
le terme -r^ se nomme la correction d'amplitude.
Si les oscillations sont assez petites pour qu'elle soit négligeable, la durée est indépendante de l'amplitude. Il ne faut pas confondre cet isochronisme avec celui des oscillations d'une pendule ; celles-ci ne sont isochrones que parce que l'amplitude est constante ; c'est la répétition d'un mouvement identique. Si elle
varie un peu, comme elle n'est pas très petite, la durée change. Mais la marche de la pendule ne dépend que de la durée moyenne.
67. Recherche de la brachystochrone. — Ou nomme ainsi la courbe joignant deux points donnés A, B, et telle qu'un point pesant, partant de A sans vitesse initiale, et contraint de suivre la courbe, arrive en B dans dans le temps T le plus court. Nous supposons la courbe dans un plan vertical ; B est moins élevé que A, sans quoi il ne pourrait être atteint.
Prenons A pour origine, AZ étant la verticale inférieure, et AX dirigée du côté où se trouve B. La valeur de T se tirera de l'équation V* = 2gz ; parmi toutes les lignes allant de A en B, il y en a certainement une pour laquelle T est minimum; mais pour cette comparaison, ne sachant rien de la courbe cherchée, nous devrions admettre comme possibles toutes les formes, même celles qui présenteraient des angles ou pour lesquelles x tantôt croîtrait tantôt décroîtrait entre A et B, etc. Comme ces singularités de forme rendraient le calcul moins simple, il convient de les exclure con\me il suit : [-V
Partageons un arc CMD quelconque de la courbe en éléments MN ; chacun est plus grand que sa projection M'N' sur la corde CD; si en même temps il est plus élevé comme dans la figure, z est plus petit, et il serait parcouru avec une vitesse moindre que M'N' ; par suite la durée totale serait diminuée si le point suivait la corde au lieu de l'arc, ou parcourait LCM'L'. Il en serait de même si la corde était verticale, la vitesse étant alors la même en MN et en M'N'. Ces deux dispositions sont donc impossibles pour la courbe cherchée. La seconde nous indique que x ne pourra nulle part être décroissante entre A et B, et la première que la courbe est partout concave en dessus.
Si la courbe présentait un angle en E, soit 2x celui des tangentes ; en prenant des cordes EC ED = h,
€t supposant h très petit, le rapport de la corde CD à l'arc CED <;onvergerait vers sin oc, et la vitesse serait sensiblement la même sur la corde et sur l'arc; ainsi pour une valeur finie de A la durée du trajet serait abrégée si le point suivait la corde et non l'arc. La courbe cherchée n'a donc pas d'angle; en outre js^ ne peut passer par un minimum, ce qui produirait une convexité au-
^ dessus ; ainsi ou z croît sans cesse de A en B,
ou z croît de A en E, puis décroît de E en B.
^ Ce dernier cas étant moins simple, nous sup- ^ ^ poserons que ce soit celui de la courbe cher-
<;hée ; le calcul qui suit s'appliquera aisément au premier cas, en supprimant les particularités relatives au point E.
Considérons x comme fonction de s et soit - - = rc' ; on a
dz
€Uf signifie l'accroissement de z d'un point à un autre dans le sens du mouvement ; ainsi
V ig (Il =^ [__ ,
pourvu que dans la portion EB où dz est négatif, on prenne V^l + X* avec le signe — , l'accroissement dt étant toujours positif. Il en résulte pour la durée totale T
V 2.7 T = 1 Pdz, où P = ^ VJl^- ,
h est la valeur de -2^ en B ou la valeur finale de ^, qui peut dans l'intervalle croître au delà.
Nous supposons que la courbe rend T minimum ; cette durée ne peut donc qu'augmenter si l'on altère un peu la courbe en remplaçant pour chaque point la valeur de x par x + du^ a étant une constante très petite, et u une fonction de z choisie à volonté ;
mais nous supposerons u = o, soit en A et B où rr a une valeur déterminée, soit dans l'intervalle FF de deux points très rapprochés de part et d'autre du point E où a/ devient infinie. Alors^
en posant — = u' et négligeant a', sf se change en x' + au' et
Pen
P + Qau',oùO = (^) =
L'accroissement de ^^ T est ainsi
CL I Qudz .
Si cette expression n'était pas nulle, a étant très petit, elle l'emporterait sur les termes négligés en oc% a', etc., et en prenant ex positif ou négatif, T serait tantôt augmenté, tantôt diminué, contrairement à l'hypothèse. La courbe cherchée doit donc satisfaire la condition
0 = / * Qu'dz = jQdu = fld.Qu — udQ).
Or w = 0 de F en F, et en intégrant de A à F, de P à B on a
jd.Qu = 0, u étant nulle à ces limites. Il en résulte
A dO , M , dz = 0.
dz
Si en un point de la courbe - n'était pas nulle, on pourrait prendre îi = o partout excepté dans le voisinage de ce point, où ti et — auraient un signe constant, et la condition précédente ne
serait pas satisfaite. On a donc en tout point de AF, BFV^' restant finie,
-— = 0, U = const., ou - = const., -— — — = const.
La constante est la même sur les portions AF, BF' ; car en faisant converger F et F vers E, cd pour ces points croîtra à l'infini, et
approchera de la même limite
L'équation de la courbe cherchée est donc l'intégrale de
y. — __ 1 2tt, ou -^ = 2a,
x"" dx* •
a étant une constante. Or pour la cycloïde nous avons trouvé
z = a(\ + cos 6), dx = a{\ 4- cos e)'/e, dc^ f dz^ = 2a«(1 + cos0)d9*.
valeurs qui satisfont l'équation, et il en serait de même en suppo- A 0 sant
7 7 X = a(() 4- sin G) + h,
^ b étant une constante arbitraire. L'intégrale
8 complète de l'équation représente donc une
cycloïde, l'origine des coordonnées étant en un point arbitraire de
la droite ÂD. Mais nous avons supposé l'origine en A et en ce
point on & fi = — tt. La durée est ainsi
j^j rV^ + ^-\. 1
où 9 + '^ ^st l'angle de rotation du cercle générateur depuis le point A jusqu'à la position correspondant à B. Les points A et B étant donnés, il leur correspond toujours une cycloïde ; en effet, menons-en une quelconque partant de A et coupant AB en B' ; il
suffira de changer son rayon dans le rapport de AB' à AB pour que le point B' vienne en B.
68. Pendule conique. — Plus généralement considérons d'abord le mouvement d'un point pesant sur une surface de révolution ayant son axe vertical ; en le prenant pour l'axe OZ dirigé de haut en bas, on a par le principe des forces vives
c étant une constante. En outre on peut regarder le mobile comme libre en joignant à son poids la pression de la surface. Or ces deux forces sont dans un même plan avec l'axe ; leur moment par rapport à OZ est donc nul et en désignant par X, Y la somme de leurs projections sur OX, OY, il en résulte xY — yX = o. On a vu au numéro 57 que cette relation a pour conséquence l'intégrale des aires, et que celle-ci peut s'écrire
"" dt ^ '
d étant une constante, et r, cp les coordonnées polaires de la projection du mobile sur le plan des ocy.
Nous laisserons de côté le cas où l'on aurait c' = o ; si r était constamment nul le point se mouvrait sur OZ, et tant que cela
n'aurait pas lieu, il faudrait supposer J- = o, rp = const. ; le
mouvement s'effectuerait alors dans un plan vertical invariable, deviendrait celui du pendule ordinaire sur une courbe donnée quelconque.
En permutant OX, OY entre eux, on change le signe de d, que nous pourrons par suite supposer dans tous les cas positif et différent de 0.
Les relations a; = r cos y, y = r sin 9 donnent
di' dl' dt^ dt* '
et en substituant dans l'intégrale des forces vives la valeur de
f -^ \ tirée de celle des aires, on aura pour les équations du mouvement
auxquelles on devra joindre l'équation de la surface. La seconde équation montre que r ne s'annulera jamais, ou du moins il faudrait pour cela que z fût infini.
Le mouvement devient celui du pendule coniqtie quand la surface est sphérique ; on peut alors supposer le mobile suspendu au centre O par un fil de longueur 2, rayon de la sphère ; en prenant le centre pour origine, désignant par h l'angle du fil et de la verticale, on a r = Z sin d, ^ = Z cos 6, et en substituant ces valeurs, les équations deviennent
dt dn ^ l^ sm» e
Dans la seconde il est préférable de mettre 2gl en facteur commun au second membre, en remplaçant c, d* par les nouvelles constantes
k étant positif comme d. On troave ainsi
(1) sin'0-$ = * l/M,
dt y i
TT = -r cos 0 + A — -. , J ,
D entre dans la seconde les quantités variables 6, ces Ô, sin 3, qu'on doit évidemment réduire à une seule, en posant cos Q = x;
l'équation multipliée par — sin' 9 prend alors la forme
L'expr^essioD f(ix>) doit être positive pendant le mouvement ; eUe l'est certainement pour les conditions initiales correspondant à hy ftj d^aïitre part eUe est négative pour x= ± 1^ valeurs extrêmes de X ou cos 0. L'équation f{x) = o doit donc avoir un nombre pair de racines comprises entre ces limites ; par suite il y en aura nécessairement deux a et 6, et x doit rester dans leur intervalle pour que f{x) soit positif. Comme on l'a vu au numéro 52, en supposant 6 > a, a; ne fait tour à tour que croître sans discontinuer de a à fe, ou décroître de même de bha.
On a f(x) > 0 quand x est négatif très grand, f{x) < o quand X == — 1 ; ainsi l'équation f{x) = o a une troisième racine négative — Cj c étant positif.
D'après ce qui précède, h, k ne sont pas quelconques, mais telles que les racines a, b existent, et celles-ci étant les constantes naturelles de la question, il convient de les employer au lieu de h et k. On pourrait exprimer ces dernières en fonction de a, fe, au moyen des conditions f(a) = o, f[b) = o ; mais on le fera plus simplement en remarquant que f{x) est divisible par x — a, et le quotient par x — b,x-\-c] de la sorte, le premier terme de f{x) étant — a;', on a à la fois
et dans cette identité par rapport à x, on peut égaler les coefficients des puissances sepiblables ; pour la première on trouve
ab — ae — hc = — 1 ,
qui donne c ; quant aux autres la valeur de h est inutile, et celle de k s'obtient plus simplement en posant x = 1 dans l'identité. On trouve ainsi
i 4- ab
Comme a et 6 sont compris entre + 1 , 1 + ^^ ^st positif ; il en
ir
est de même de c et par suite de a -(- &? de sorte que a et 6 ne sont pas complètement arbitraires.
D'après le numéro 52, a; oscillant entre a et 6, on doit pour l'intégration substituer
X = a cos* u -\- h sin' u ,
u étant toujours croissant avec le temps, et «* = o correspondant à ic = a. Il en résulte
f(^x) = (6 — x)(x — a) (a; + c) = (6 — a) cos' u(h — a) sin' t» (x + c) ;
en substituant les valeurs àef{x) et x dans l'équation (2), et divisant par (6 — ay sin* u cos' u on trouve
il du*
— - -r-r = (a; + c) = c + fl cos* u A- h sin* u , g dt*
On ne peut intégrer cette équation sous forme finie, mais bien en série. En posant a = cos ô', b = cos Ô", on a 9' > &\ puisque a < 6 ; ainsi (f est le maximum de l'angle 9 et 9" son minimum. Si d'abord nous supposons faible l'étendue de l'oscillation, & et 9" seront de petits angles, et a, b différeront peu de l'unité. En posant
(i) sin g e' = a. sin-2-e" = p,
on a a = 1 — 2ol% b = 1 — 2(3*, et c'est suivant les puissances de a et |3 qu'il convient d'ordonner la série. Les valeurs de a, b donnent
x = a cos* u -i- 6 sin^ u = 1 — 2*, où s = a' cos" m + p* sin' u,
de sorte que 5 est très petit. Nous avons donc à intégrer
2[du*=^+c ou dt==i/^ .- ^"
en remarquant que u est croissant et -^ positif. On a ensuite d'après les valeurs de a, h,
1 + at» 2 — 2a' — 2p' + 4a'p' "" 0+6 — 2 2a*— 2p»
et comme c'est 1 -j- c qai entre dans l'éqnation précédente et dans la valeur (3) de k, il est plus simple de poser 1 -|- c = 2/*, de sorte que
quantité peu supérieure à l'unité, d'équation ci-dessus se réduit ainsi à
(6) i/ -L.it= ~^ où » = a'co8'u-t-p'sin'«.
D'après les valeurs de a, 6, c + 1, la formule (3) devient de même
et en substituant les valeurs précédentes de dt et de A; dans la formule (1) on aura
• ..j * /"â'dtt 4aB/T. au sm" ôdcp = —^ = — '^ ^ ^ .
En outre, on a remplacé cos 9 ou a; par 1 — 2s, d'où sin* 0 = 1 — (1 — 25)*, et par suite
(7) A.= -^VT.àu
Supposons maintenant 6', H" de grandeur quelconque, mais satisfaisant la condition a + & > o ou cos ô' + ^^s 6" > o, que nous
avons vu être nécessaire ; elle sigiûfie que ^' est aigu et Ô' < ar — &" ; d'ailleurs
cette quantité étant positive la valeur (5) de f dépasse l'unité ; celle de « étant comprise entre a" et jB*, on a toujours — < 1 ; or
cette condition est suffisante pour que — . ou {f — s) ^ soit
exprimable en série convergente, et il en sera par suite de même des intégrales des formules (6) et (7) ; toutefois nous continuerons de supposer que a et j3 sont de jpetits nombres, de façon à pouvoir négliger les termes qui les contiennent au quatrième degré. En substituant dans les formules (7) et (6) les développements
de — = — et 7 en série, on a
ou
En négligeant les termes du quatrième degré par rapport à a, /3, on a /* = 1 d'après la valeur (5), et en remarquant que s est du second degré, les équations précédentes se réduisent à
Nous avons vu que la valeur w = o correspond à a; = a ou a ==ff] supposons qu'on ait alors f = o, cp = o ; l'instant d'un maximum d'écart de la verticale sera ainsi l'époque initiale, et en substituant la valeur de 5 les équations ci-dessus donneront
, 3 „ '. /•« afirfu
f=y + ^a?u, où y=J^ ____.,-^^
= u ( 1 -j -—- I + — -Ï-- sin u cosu .
La durée d'oscillation T est le temps aa bout duquel le mobile est revenu au point le plus élevé, ou 6 à son maximum & ; il correspond à ?i = TT ; au degré d'approximation auquel nous nous arrêtons on a
d'où résulte
en supposant 0" = o, le mouvement devient celui du pendule simple, et la valeur de T coïncide avec celle que nous avons trouvée au numéro 66.
La valeur de l'expression y, en divisant haut et bas par a* cos* w, peut s'écrire
de sorte que tang y = '^ - tang e^. Il faut remarquer que u =si o
et
correspond à y = o, et que y croît constamment avec u; ainsi pour u^ ^ on SL y = ^-7 et quand w croît au delà, y augmente de même. Par conséquent 3/ et e^ sont toujours compris dans le
même quadrant, et toutes les fois que u devient un multiple de t. ,
y lui est égal.
En négligeant le quatrième degré, on peut dans le terme ^- c/^
remplacer u par la valeur au second degré près, ou par ^ 1/ -f" » et celle de <p devient ainsi
T= ¥-aPI/ -T-^ + 2/-
Si l'on néglige le terme en «^ ou que l'on pose <p = y, on aura
cp = t* quand «* = o, -^ -rr, tt, — tt, etc., de sorte qu'au bout d'une
double oscillation le mobile sera revenu au point de départ ; la trajectoire est alors rentrante, et sa projection^sur le plan des xy est de forme ovale, ayant pour centre l'origine 0. En supposant que A soit la position ini-
tiale et que M corresponde à u^ on aura OM = V sin* 6 ; on a vu que sin' 9 = 1 — (1 — 2s)* ; en négligeant le quatrième degré il en résulte OM = 21 y T ; l'angle polaire AOM = y ; d'ailleurs
S a cos M .8 sin m
tang y = --' tang u, cos y = — - . , sin y = * — — .
d'où résulte
OM cos y = lia cos u, OM sin y = 2Ip sin u.
Ce sont les coordonnées rectangulaires du point M, rapportées à des axes OA, OB ; on en conclut aisément que le lieu des points M, ou l'ovale, est une ellipse ayant pour demi-axes OA = 2?a, OB = 2lf6.
On passe de l'hypothèse précédente au mouvement exact en
supp^ant rang.epo.aire vc«„..amme„, augmenté de f ^ j/f ,;
ainsi pendant qu'en projection le mobile circule comme ci-dessus sur l'ellipse, l'axe OA tourne en même temps autour du point 0, dans le sens du mouvement, avec une vitesse angulaire constante
69. Théorie du ehoe. — Propriétés des qtmntités de mo?€' vement. — On nomme quantité de 7)iouvement d'un point matériel le produit mv de sa masse par sa vitesse ; s'il s'agit d'un corps ce terme doit s'entendre de son centre de gravité et dé la vitesse de ce centre. En tous cas on peut figurer la quantité de mouvement comme la vitesse par une droite tangente à la trajectoire, et dont
, . . . dx dy dz
les projections sont par suite m -r-, m -~, m -. .
Si l'on désigne par m, m', m'\ . . les masses de plusieurs points, par x^ y, ^, x' y\ etc., leurs coordonnées, par a?,, y,, z^, celles de leur centre de gravité, par M sa masse m -|- m' + m" -f- . . . , on a
mu I / . . m« ^^\ ^ , dx' .
mx, =^ mx -f- mx + etc., M -j-^ = m — — [- m -- -f- etc. ;
dt dt di
ainsi la projection de la quantité de mouvement du centre de gravité sur un axe est la somme de celles des quantités de mouvement des divers points. Cette somme reste constante si aucune force extérieure n'agit sur le système, le mouvement du centre de gravité étant alors rectiligne et uniforme.
Application au choc, — Le choc est supposé ici entre deux solides entièrement libres. Lorsqu'ils viennent à se rencontrer il se développe entre eux une répulsion énergique / perpendiculaire au plan tangent commun aux deux surfaces au point de contact, nommé plan du choc ; elle est accompagnée d'une déformation en général très faible en ce point. Les vitesses changent alors notablement, et d'une façon tellement rapide que pendant ce temps il n'y aucun déplacement sensible des corps, et en outre que l'effet des forces extérieures, de la pesanteur, etc., est négligeable. Ces deux circonstances sont les caractères essentiels du choc. La question à résoudre consiste à trouver autant que possible pour chaque corps sa vitesse après le choc, connaissant sa vitesse antérieure.
Pendant le choc, dont la durée est en général une fraction imperceptible de seconde, le plan du choc reste invariable, de même
qne sa normale, direction de la force f. Sapposom Taxe des x parallèle à celle-ci ; ses projections sur OY et OZ étant nulles, on
aura pour le centre de gravité C du premier corps -7§ ~ o^
— = const., et de même -^ = const. ; ainsi les projections de la
vitesse sur OY et OZ sont les mêmes avant et après le choc. Par conséquent si Von décompose la vitesse du centre de gravité au premier corps en deux attires ^ par alleles Vtme à la normale Vautre au plan du cJioCj la seconde reste invariable, et il en est de même pour le second corps.
Soient ensuite C, G les centres de gravité des deux corps ; m, m! leurs masses; v^ v' les projections des vitesses de C, C sur l'axe des a; à un instant quelconque ; u celle de la vitesse constante du centre de gravité total ; a, a' les valeurs de v, ?/ avant le choc ; A, A' leurs valeurs après. On aura constamment, d'après les propriétés des quantités de mouvement, les relations
(l) mv -{- m V =i {m -\- m)n, ^=^ ina -\- m a ^ h =
dont la dernière donne la valeur de u. En remplaçant v^ t/ par A, A, il en résulte
m(^A -— tt") -}- m\k' — tt) = 0, m(M - a) -J- ^\^ — ^') =■' ^^
En désignant par e la valeur commune de ces deux rapports, on aura.
u ayant la valeur (1). Ainsi la recherche de A, A' se trouve ramenée à celle du nombre e ; or celui-ci dépend à la fois de la forme des deux solides, et de leur degré d'élasticité. Nous allons examiner le cas où ils sont sphériques.
Œoc central de deuœ sphères. — On désigne ainsi le cas où les
centres C, G de w, m! restent sur une même ^-^
droite, que nous prendrons pour OX; les ^ — C-^ — \ c j ^ lettres v, t/, w, a, etc., désigneront alors les Vl^
vitesses elles-mêmes, prises avec le signe -|- ou — suivant qu'elles ont ou non le sens OX ; nous supposerons m en avant de m'y et pour qu'il y ait un choc, il faut que a' — a soit positif.
La distance r des centres est x — x'j x correspondant à C, et a/ à C ; il en résulte
rfr àx ix'
dr
A l'instant où commence le contact . ou a — a' est négatif et
les centres se rapprochent ; tant que r diminue la compression des sphères s'accroît et la force répulsive agit, augmentant v et
dr
diminuant v' ; il en est ainsi jusqu'à l'instant oii - = o, r = v\
et d'après la formule (1), t; = i;' = ti ; c'est la fin de la première période du choc.
Si les deux corps n'ont point d'élasticité, ou sont }}arfaHement nuniSy toute répulsion cesse à cet instant, parce qu'ils ne tendent point à reprendre leur forme primitive. Ils continuent donc de se mouvoir réunis, avec la vitesse commune m, en conservant leur déformation ; tel est le cas de deux balles de plomb.
Si les sphères sont au contraire parfaitement élastiques, la répulsion a la même valeur quand le degré d'aplatissement est le même, soit que celui-ci se trouve dans sa période d'augmentation ou de diminution, et voici ce qui en résulte.
Si dans un même temps dt les centres parcourent des espaces dx^ dcd, le travail de la force répulsive /*, qu'on peut supposer appliquée à C, C est fdx pour C, et — fdd pour C ; leur somme est f{dx — dil) = fdr,
Ge travail, dans la première période du choc, quand r éprouve une diminution infiniment petite de r' à r", est donc — f\^r' — r") ;
dans la seconde période, il viendra un instant où r croîtra de r" à r', et comme alors /* a la même intensité, le travail sera f^r^ — r") ; les deux ont une somme nulle, et en comparant ainsi les travaux élémentaires correspondant à tous les changements de r, on voit qu'ils sont les mêmes en signe contraire dans les deux périodes. Ainsi pendant la durée entière du choc le travail total de la force f sur le point C et son travail sur C' ont une somme nulle ; or ils représentent l'accroissement total de la demi-force vive de C ou C; leur somme étant nulle la force vive totale de deux sphères parfaitement élastiques est la même aidant et après le choc. Si l'élasticité est imparfaite, la répulsion a dans la seconde période une intensité moindre que dans la première, le travail négatif l'emporte, et par suite la somme des forces vives des deux sphères est moindre après qu'avant le choc.
Posons maintenant
mA' -j- f/i'A'' = P, ma* + "*'« * = P» (''* -f m')tt" = p',
m{k — u)^ + m\M — M)« = Q, m{a — uY + m\a — u)" = 7,
de sorte que /), P, p soient la somme des forces vives des sphères avant et après le choc et à l'instant de la vitesse commune. On a d'après les formules (1)
q =: [ma^ -\- wV*) -(- (m + m' )m* — ^u{jina -♦- ma^ = p -(- p' — 2p',
OM q= p — p\ et de même Q = P — p' \ or d'après les formules (2), Q = eVi, d'où
La vitesse du point C a successivement les valeurs a, u^ A, et ses accroissements u — a, A — u sont de même signe, la force
agissant toujours dans le même sens ; leur rapport —^ ou e est
donc positif ; il est nul dans le cas des corps parfaitement mous, puisque A = u. S'ils sont parfaitement élastiques on a vu que P = ^, et la relation ci-dessus donne alors e* = 1 , e = 1 ; elle
donne e' < 1 si l'élasticité est imparfaite, puisque P — ^y < p — p\ dans ce cas e est compris entre o et 1 ; aussi pour le choc on regarde le nombre e comme une mesure du degré d'élasticité.
Cfioc quelconque de deux sphères. Extension à des corps non sphériques, — Dans le cas de deux sphères, en prenant toujours pour axe des x la normale au plan du choc, désignant par fe, b' les projections des vitesses sur ce plan, la force vive de la première sphère est m{a^ + 6") avant le choc, m{A.* -j- &*) après; son accroissement est donc mA' — ma% comme dans le cas du choc central; on a de même r = x — x' pour la distance des centres et dès lors tout ce que nous avons dit soit des changements successifs des vitesses normales v, v\ soit de la valeur de 6, reste exact pour le choc quelconque.
En outre pour obtenir ces résultats, la forme sphérique n'est pas nécessaire ; il suffit que les centres de gravité C, C' des deux solides se trouvent sur la normale menée par le point de contact au plan du choc. Il en est ainsi entre autres pour deux solides de révolution dont les axes de figure resteraient constamment placés sur la droite OX.
Dans ce cas, où rentre le choc central de deux sphères, il faut
remarquer en outre que les deux solides, même élastiques, peuvent
par une cause quelconque rester adhérents après le choc ; il en résulte e = o et les formules sont alors les mêmes que pour des corps mous. La diminution de force vive, comme on l'a vu, est dans ce cas
p — p' = q = m(a — uY -f- ^^\^ — w)*,
c'est-à-dire la force vive qui serait due aux vitesses perdues, ou aux changements de vitesse a — u^ a' — w.
Si C ou C n'est pas sur la normale au plan du choc, les formules (1) et (2) sont toujours exactes, mais la valeur de e ne peut se conclure du degré d'élasticité ; en eflièt, les diverses phases de la déformation ne dépendent pas alors seulement des changements
de V et v' mais aussi de ceux des vitesses de rotation, lesquels sont également brusques.
Choc de deux sphères parfaitement dastiqtiçs. — Les formules (2) où e 3= 1 donnent
Premier cas. — La sphère C est la terre ou le sol. Dans la
valeur ( 1) de w, — est infiniment petit; elle se réduit ainsi ku^a^
ouu ^0, le sol étant supposé immobile ; les formules (3) donnent
ensuite A = o, A' = — a\ Figurons la vitesse horizontale ou parallèle au plan du p choc, avant et après le choc, par D'C = C'D> la vitesse normale par a' — BC avant le choc; elle sera l'opposée CB après, et les vitesses absolues deviennent ainsi E'C avant le choc, CE après ; elles sont égales, de même que les angles d'incidence et de réflexion BC'E', BC'E. Si la vitesse BC existait seule, le corps tombant d'une certaine hauteur, il devrait, en faisant abstraction de la résistance de l'air, remonter à la même hauteur.
Second cas, — Supposons les masses égales. Les équations (1)
et (3) donnent alors u =
ainsi les vitesses normales s échangent entre elles. Si par exemple
m était immobile, soient GC la vitesse de C avant le choc, DC et BC'*ses composantes parallèle et normale au plan du choc ; la seconde sera transmise à C qui prendra la vitesse CE = BC, tandis que C conservera seulement la vitesse CF = DC.
Si DC était nulle, ou le choc central, C deviendrait immobile. SI la sphère m était remplacée par une série de sphères égales en repos et se touchant toutes, chacune communiquerait sa vitesse à la suivante, et la dernière partirait seule avec la vitesse de C, les
autres restant eu repos. L'expérience dans ee cas est plus conforme à la théorie que dans celui d'une sphère tombant sur le sol, sans doute à cause de l'influence des mouvements vibratoires qui accompagnent toujours le phénomène, et dans ce dernier cas se dispersent au loin.
70. Équilibre mobile de rotation* — On observe souvent qu'un système matériel déformable, tournant d'un mouvement uniforme autour d'un axe fixe OZ, prend de lui-même une forme déterminée qui reste ensuite invariable. Il tourne alors autour de Taxe comme s'il lui était lié d'une manière fixe. Tel est le cas d'une lame élastique RR formant une circonférence, quand on la place en R'R' de façon que Taxe OZ lui soit soudé en B, et passe librement en A par une ouverture de la lame. Celle-ci, entraînée par la rotation de l'axe, s'aplatit d'autant plus que la rotation est plus rapide.
C'est cette position stable de la lame ou de tout autre système qui se nomme une position d'équilibre mobile, et dont la recherche peut se ramener comme il suit à une question de statique. D'après le numéro 50, en écrivant T, N au lieu de T', N', on a
dv V*
dt p
pour les composantes tangente et normale de la force f agissant sur un point ; ces équations font connaître la force produisant un mouvement donné. Si le point doit parcourir d'une vitesse uniforme V une circonférence de rayon r, on a pour le rayon de courbure
P = r, et de plus ~- = o, d'où T = o ; la force f se réduit à N ; elle est donc égale à — et dirigée vers le centre du cercle. Si le
point fait partie d'un système dont la vitesse angulaire uniforme soit n, on a
Tout système peut être regardé comme un assemblage de particules ou de points libres, entre lesquels agissent des forces mutuelles. Pour le point A de masse m, soient cp, 9', <p", ... les forces qui agissent sur lui, soit extérieures, soit provenant des points voisins. Puisqu'il tourne uniformément, il arrive nécessairement que cp, cp', cp", etc., ont pour résultante la force N ci-dessus; ainsi quand le système prend en tournant une forme invariable, elle est telle que cette condition soit satisfaite pour chacun de ses points.
On peut exprimer la même condition en disant que les forces cp, cp', cp", ... seraient équilibrées par une force N' égale et opposée àN.
Si au contraire le système est en repos, il prend une forme d'équilibre telle que pour chaque point les forces agissant sur lui se détruisent. Supposons maintenant qu'en le laissant ainsi en repos, on fasse agir réellement sur tous ses points la force N', outre les [autres ; il prendra de lui-même une forme telle que les forces N', cp, cp', cp", etc., se fassent partout équilibre ; cette forme sera donc la même qu'il avait en tournant.
La force additionnelle N' ou mn*r agit suivant le prolongement du rayon du cercle décrit par le point, et se nomme la force centrifuge. Par conséquent, pour trouver la forme du système à Vétat d'équilibre mobile, on doit chercher celle qu'il prendrait à Vétat d'équilibre immobile, en supposant tous ses points animés de la force centrifuge, outre les forces réelles. Pour le ressort ci-dessus par exemple, les forces centrifuges tendent à éloigner les divers points de l'axe et produisent l'aplatissement observé.
La force centrifuge qui a été mentionnée au numéro 50 était une force réelle, exercée par le point sur la courbe qu'il devait suivre, ou en général sur l'obstacle qui le contraint à tourner.
Toutes les fois qu'on considère cette force comme exercée non par le mobile, mais mr lui, c'est une force fictive. Dans le cas actuel on suppose que cette force agit; c'est une hypothèse inexacte, corrigeant l'erreur que l'on commet en regardant le système comme immobile pour calculer sa forme d'équilibre.
Prenons pour exemple une masse d'eau contenue dans un vase tournant avec une vitesse angulaire uniforme n autour d'un axe vertical OX ; la forme du vase est supposée de révolution autour de OX ; Teau partagera son mouvement, et sa surface libre prendra aussi la forme d'une surface de révolution ; soit AM sa courbe méridienne. EUe devra, d'après la théorie des fluides, être telle que la résultante des forces agissant sur une particule m placée en M soit dirigée suivant la normale MN. Les forces sont le poids mg de la particule, figuré par la verticale MC, et sa force centrifuge mn'r = MB, suivant le prolongement de MP perpendiculaire à l'axe. La résultante MD des deux forces étant le prolongement de MN, les triangles MNP, MCD sont semblables, et en posant PN = p, on a
^ = ^^ on 1- = ^îîi- « := ^-
"MP CD' r mn^r' ^ n* '
Ainsi p est constant ; pour en déduire l'équation de la courbe, X et y étant les coordonnées de M, et MT la tangente, on a
MP = î^, -^ «ang MTX = tang NMP = -^ ,
d'où
a étant une constante. En transportant l'origine au point A pour lequel x= a, l'équation devient y* = 2px ; la courbe est donc une parabole de sommet A, et la surface un paraboloïde de révolution.
Exa»inoDS en partieulier le cas où la forme 4la vase est eoniqae, i étant l'angle LOX d'ane génératrice avec la verticale. Si l'on augmente la vitesse n^ l'équilibre s'établissant de nouveau,
p ou -^ diminue, et la courbure au sommet augmente. Il vient
donc un instant où la courbe BB' est tangente à OL, OL'; la résrltante des forces mg, mn*r en B est alors perpendiculaire à
OB, d'où tang i = -—- : si donc on diminue le volume V de l'eau,
il faudra pour obtenir cette forme tangente CC, que nW en C soit le même, et r étant plus petit qu'en B, la vitesse n devra être plus grande.
Si la forme BB' existe, et qu'au lieu d'enlever de l'eau on augmente la vitesse, la résultante de la pesanteur et de la force centrifuge en B ne sera plus perpendiculaire à OL comme auparavant, mais telle que sa projection sur cette droite ait le sens OL ; cela aura lieu de même en tout point de BL, la force centrifuge étant plus grande. L'eau coulera donc le long de la paroi en remontant, et sortira du vase, jusqu'à ce que le volume V ainsi réduit corresponde à la nouvelle vitesse 72^, et que la courbe reprenne la forme tangente CC.
71. Forces apparentes et leur application aux monvements terrestres. — Désignons les coordonnées d'un point matériel M par a;, y y z relativement à des axes fixes dans l'espace, et par oi^ y, si relativement à des axes parallèles aux premiers et de même sens, ayant pour origine le centre 0 de la terre, OZ' étant dirigé vers le pôle boréal ; «, (3, y seront les coordonnées du centre par rapport aux axes fixes. Nous supposerons toutes les forces rapportées à l'unité de masse, F étant la force réelle agissant sur M, et X, Y, Z ses projections. On aura
ainsi a: = a?' + a, etc. Les équations du mouvement du point seront
dt' " " d'i^ "^ ' dt^ ■" W
'"iips
et deux autres analogues. Soit P une force ayant pour projec-
d'^a d^Q fi
tiens — ^, — ^, — ^, de sorte que P soit l'accélération de
l'origine en sens contraire; soient aussi X', Y', Z' les sommes des projections de F et P sur les axes. Les équations du mouvement deviendront
dt^' ~ ' dt' "^ ' (//«""•
On pourra donc employer pour le mouvement du point les formules usuelles, en considérant le centre de la terre comme immobile, mais en prenant X', Y', Z' comme projections de la force, c'est-à-dire en supposant que la force fictive P agisse, outre la force réelle F.
Nous pouvons admettre que le sens de la rotation terrestre soit de OX' vers OY' ; imaginons ensuite qu'un nouveau système d'axes OX, OY, OZ coïncide avec les précédents quand t = Oy mais accompagne la rotation ; de la sorte, au bout d'un temps t, ils auront tourné de nt, n étant la vitesse angulaire terrestre \x^ y^ z étant les nouvelles coordonnées de M, on aura
a?' = X cos ni — t/ sin ni, t/' = xsin ni -\- ^ cos ni^ z = z.
Ces coordonnées sont les projections anciennes et nouvelles de de OM, et les mêmes relations existent entre celles de F ou de P, d'où résulte
X' = X cos ni — \ sin ni, . Y' = X sin wi + Y cos ni, T — Z,
r." ■•»tî
X, Y, Z étant les sommes des projections de F et P sur les nouveaux axes. La valeur de y donne
dy' /dx \ . ( dy \ rfV .. .
-^ = ( -^ — ny\ sin ni -f- ( -^ + nx\ cos ni, ^ =Psm ni + Qcosnf,
en posant
w^ d?x ^ dv ^ rf'v ^ dx
La valeur de af se déduit de celle de y en remplaçant nt par wf + -f-; 6t il est clair que -^ se déduirait de même de -^^, d'où résulte
-— = p cos nt — Q sin nt,
d*x' dW
En substituant les valeurs de ^, ; , , X', Y' dans les équations du mouvement, elles deviennent
P cos nt — Q sin nt = X cos nt — Y sin nt,
P sin nt + Q cos nt = \ sin nt + Y cos nt, — - = Z .
dt
Les deux premières donnent P == X, Q = Y, et d'après les valeurs de P et Q, il en résulte pour les équations du mouvement rapportées aux nouveaux axes,
d*x dv
-r^=X + 2n-^ +n'x, dt^ ^ dt ^ '
d'v ,, dx dH
Soient f, f deux forces telles que
r^, dy n. 'dx
soient les projections de f, et
Ji^x, n*y, 0,
celles de f. Comme X, Y, Z sont déjà celles de F, P réunies, les seconds membres des équations précédentes sont les sommes des projections de F, P, f, f. On pourra donc en supposant la terre immobile calculer le mouvement de M par les équations ordinaires de la dynamique, pourvu qu'on regarde le point comme animé des trois forces fictives ou apparentes P, /*, f, outre la force réelle F ; f se nomme la force centrifuge composée.
Forces relatives dans le cas général. — Désignons par S un système d'axes fixes ; par S' un système d'axes, d'origine 0', ayant un mouvement quelconque ; par x, y, z^ oi^ y/ z' les coordonnées d'un point matériel M par rapport à S et S' ; par cz, /3, v les coordonnées de 0' relatives à S. Les formules de transformation seront
et deux autres analogues, les cosinus a, ol etc., correspondant aux axes S', comme on l'a vu au numéro 4. On en déduit
expressions dans lesquelles A, B, C sont les termes contenant %. S-, % ; A', B'. c ceax où entrent ^, f, % et A", B", C" tous les autres.
P Dans ces formules ^-^ , ^-^ , -- sont les projections de la
force réelle F agissant sur le mobile, en supposant comme dans le cas de la terre toutes les forces rapportées à l'unité de masse. 2^ On a
^^ di*^ dp'^ IF ^^^* ^^^ projections sur les axes S' de la force
relative F^ , ou de celle qu'il faudrait supposer agir si Ton considérait S' comme immobile ; ainsi d'après le théorème VI du numéro 3,
A est la projection de F^ sur OX ; B et C soût de même ses projections sur OY, OZ.
3® Si le point reste fixe par rapport au système S', ou que
oi y' s! soient constantes, les valeurs de -^. -^-. -^ se réduisent à
dr al^ «r
A", B*', G% qui sont par suite les projections de la force d' entrâtnement F^ , ou de celle qui est propre à donner au point ce mouvement.
4^ On peut regarder A, B', G comme les projections d'une certaine force (p.
Par conséquent, F est résultante de F^, F^ et cp, ses projections étant les sommes de celles des autres, et en désignant par — F^,
— <P des forces égales et directement opposées à Fe et <p, i^r ^t résultante de Fy — F^ et — cp.
Signification de la force ç. — Dans le cas de la terre nous avons trouvé que l'ensemble des forces à attribuer au point pour produire son mouvement relatif, c'est-à-dire la force relative F,. , était la résultante de F, F', fetf; par suite en ce cas — F^ et
— cp équivalent à F', f et f.
àx' rfv' rf^'
Or les projections A, B', C de cp contiennent -^, -—^ - -- , de
sorte que cp dépend seulement de la vitesse relative du point, et Fe seulement de sa position relative. On voit de même, d'après les projections de F', /, f trouvées précédemment, que /* dépend seulement de cette vitesse, et qu F', f n'en dépendent pas. Par conséquent — cp dans ce cas est la même que la force f\ du reste f\ comme on le verra, est la force centrifuge de la rotation terrestre, et on pourrait vérifier d'après cela que F et f équivalent à — Fe. En outre. A, B', C ne contenaient ni a, |3, y, ni les dérivées secondes de a, a' &, etc., et par suite cp ne dépend que de la position et de la vitesse actuelles du système S'; de la sorte cp ne change pas si l'on suppose que l'axe instantané et la vitesse angulaire restent toujours les mêmes qu'à l'instant actuel, la transla-
tion étant d'ailleurs quelconque. Or le cas de la terre est celui-là dans toute sa généralité.
Par suite — y est la même que f non seulement dans le cas de la terre, mais dans le cas général. Il en résulte le principe suivant : La force relative est résultante de la force d'entraînement prise en sens contraire^ de la force réelle^ et delà force centrifuge composée.
Cette dernière pour la terre était rapportée à des axes dont l'un était parallèle à l'axe de rotation ; mais nous verrons bientôt la règle qui la détermine indépendamment du choix des axes.
Toute force rapportée à l'unité de masse est la même que l'accélération correspondante ou est figurée par la même droite ; par suite le principe ci-dessus reste exact en remplaçant le mot de force par celui d'accélération.
72. Force apparente provenant de la translation terrestre. Force centrifuge. — Signification de la force F\ — En figurant l'accélération du centre par la droite OA, la la force P est MB, égale et parallèle à OA en sens contraire. C'est une sorte d'effet de recul par lequel si la vitesse du centre s'accélère, le point M tend à rester en arrière. Les forces extérieures agissant sur tous les points de la terre sont les attractions des astres ; le centre de gravité 0 en est animé comme si elles lui étaient directement appliquées, et c'est leur résultante, rapportée à l'unité de masse, que représente Taccélération OA. En supposant le soleil S agissant seul, OA est dirigé vers S. Cette force ou son égale MB n'est point négligeable; mais le point M lui-même est attiré vers le soleil avec une force MC dans la direction MS. Cette attraction est une force réelle ; toutefois on n'en tient jamais compte quand on calcule le mouvement des corps à la surface de la terre ; il convient de la réunir à la force fictive MB, à laquelle elle est presque égale
et presque exactement opposée. Toutes deux seront alors remplacées par leur résultante qui est imperceptible,
Il y faut joindre des résultantes analogues, correspondant aux attractions des autres astres ; mais sauf celle de la lune, leur effet est négligeable. Ces forces très faibles provenant du soleil et de la lune produisent les marées ; le changement qu'elles apportent à la direction de la pesanteur, quelque petit qu'il soit, entraîne des effets mécaniques sensibles en s'effectuant sur une vaste étendue telle qu'un océan. Sur terre l'effet de ces forces est négligeable. Sans doute la composante verticale de la force produit des variations périodiques dans le poids des corps ; mais cet effet serait surtout sensible dans l'altération de la marche d'une pendule et
l'écart qui en résulte ne dépasse pas ^.va de seconde.
De même la composante horizontale de la force fait bien décrire au fil à plomb une courbe journalière, mais même pour le pendule de 67^ que Foucault avait installé au Panthéon, il aurait fallu un puissant grossissement pour apercevoir cette déviation au microscope.
En résumé, nous devons négliger à la fois la force fictive F et l'attraction directe des astres sur le mobile M.
Effets de la force certtrifuge terrestre, — C'est cette force que
/■' représente. En effet, en désignant par MC = r la distance du point M à l'axe OP de la terre, la force centrifuge est n*r dirigée suivant le prolongement ML de PM ; r pris avec ce sens a pour projections x, y et o; ses cosinus sont donc
, ^ , o; les projections de la force sont ainsi 7i'r x — ou n*Xy
n^y et o, c'est-à-dire les mêmes que celles de la force /*', trouvées au numéro précédent.
En regardant la terre comme sphérique, soient a son rayon OM dont le prolongement MZ est la verticale ; MB perpendiculaire à MZ ou tangente au méridien. La latitude du point M est l'angle
MOE, E étant sur Féquateur. La force f dirigée suivant ML se décompose en deux autres ^ f mil suivant MB , f cosl suivant MZ ; la première dévie vers le sud la direction que l'attraction terrestre donnerait au fil à plomb ; ce serait vers le nord dans rhémisphère austral. Comme r == CM = a cos Z, l'autre composante est
nV cos l = n^a cos' l ,
et diminue cette attraction d'une très faible fraction, proportion-
nelle au carré du cosinus de la latitude, et qui est de -^ à l'é-
quateur.
La pesanteur est la résultante de l'attraction et de la force centrifuge, toutes deux proportionnelles aux masses, et qu'aucun procédé expérimental ne peut isoler l'une de l'autre.
La force centrifuge agit de la même façon sur les corps en repos et en mouvement. Nous avons déjà vu dans l'équilibre mobile de rotation, au point de vue purement statique, la raison de sa nature fictive. Pour des corps en mouvement on peut s'en rendre compte comme il suit :
Supposons le corps M immobile par rapport au ^^ m
sol, et tout près d'un observateur placé en A sur réquateur. Si tout à coup le corps était soustrait à l'attraction terrestre, n'étant animé d'aucune force réelle, il parcourrait la droite MM' avec sa vitesse initiale, qui est aussi celle du point A. En même temps l'observateur tournant avec la terre viendrait en A', et le point lui paraîtrait s'être élevé verticalement au-dessus de lui en M', comme animé par une force l'éloignant du centre.
