Kffets de la force eentriftige composée
D'après le numéro 71, en désignant par X', Y', Z les projections de la force /*, on a
dt ' dt 40*
^v Prenons M pour origine, les axes MX, MY étant is^ parallèles aux autres ; le plan des xy sera ainsi celai ^ du parallèle du point M, et le sens de rotation terrestre celui de la flèche, allant de MX vers MY. Soit MV =s t« la projection de la vitesse du point M sur le plan
des xy ; de la sorte -^, ~~- sont les projections de M V sur MX,
MY, et en désignant par <p son angle polaire, on aura
-— = u cos ç, ~j- = M sin (p, X' = 2rïM sin y, Y' = — inn cos y ,
Qfp Cl»
OU
X' = inn cos itp — ^V Y' = inu sin (? — ■^) •
Conune ce sont les projections de la force f on voit qu'elle a pour valeur 2nu et que son angle polaire est <p ^. Sa direction MF
se déduit donc de MV en faisant tourner celle-ci de 90^ autour
du point M dans un sens opposé à celui de la rotation terrestre.
Pour nous rendre compte des autres effets de la force centrifuge composée, il vaut mieux la rapporter à l'horizon. Supposons le point mobile M dans le voisinage d'un point C de la surface terrestre. En prenant C pour origine,
les coordonnées x'j y, ^ ne différeront de a?, y, ^ que d'une
constante ; on aura donc encore
D'ailleurs la construction géométrique de f est indépendante du choix des axes CX', CY' dans le plan du parallèle ; nous prendrons donc CY' suivant le prolongement de CN perpendiculaire à l'axe OP de la terre ; CZ' étant parallèle à OP, CX est en avant de la figure ou à l'ouest du point C.
Changeons de nouveau les axes, en plaçant CX sur CX', CZ sur le prolongement de OC, et par suite CY comme dans la figure.
Nous pouvons supposer la terre sphérique ; par suite la latitude l est + ZCY' dans l'hémisphère nord, — ZCY' dans l'autre, et en tous cas Tangle de rotation des axes autour de OX est 90° — l, de CZ' vers CZ, d'où résulte, en désignant par X, Y, Z les nouvelles projections de la force /*,
Z' = Z sin / — Y cos /, Y' = Z cos / + Y sin / ,
ou
X = X', Y = Y' sin / — Z' cos /, Z = Y' cos i + Z' sio l .
On a de même a?' = rc, y' = ^ cos Z + y sin i!, et en désignant par a, |9, y les projections de la vitesse sur les nouveaux axes, et ayant égard aux valeurs (A),
— = a, :^ = p sin i + 7 cos /, X' = 2n(p sin / 4- 7 cos /) ,
r= — 2na, Z' = o;
en substituant ces valeurs dans celles de X, Y^ Z, on trouve
X = 2n(p sin I + Y cos /), Y = — 2na sin /, Z = — 2na cos L
Voici des exemples de l'effet de la force /*, en supposant tour à tour la vitesse verticale ou horizontale.
Cas où la vitesse est verticah. — Si le mobile tombe avec une vitesse t;onaa = /3 = o, 7 = — v^ d'où
X = — inv cosl, Y = 0, Z = 0 ;
la force unique 2nv cos l est dirigée en sens contraire de CX ou à l'est. Elle est toujours très faible, et la déviation de la chute à l'est qui en résulte peut se calculer. De nombreuses expériences faites dans des puits de mine donnent des résultats d'accord avec la théorie.
Cas où la vitesse est horizontale. — On a y = 0, d'où
X = 2np sin l, Y = — 2fia sin /, Z = — 2na cos / .
P Eifets de la composante verticale Z. — Supposons que le mobile accompagne un train de chemin de fer marchant à Test à raison de 90^'^ à l'heure, ou avec la vitesse a = — 25 en prenant le mètre et la jseconde pour unités. On aura Z = 50» cos /, et le
poids du mobile sera diminué d'une fraction — de sa valeur, Z
et g étant les deux forces rapportées à l'unité de masse. La rotation de la terre s'effectue en un jour sidéral, ou 86164% d'où
résulte n — ôp/n. ; g = 9,809, et pour la latitude de Paris, ou
l = 48'' 51', il en résulte — = .^^q pour la diminution relative
du poids.
Si le mobile est un baromètre, la pression de l'air étant supposée de 760"", le poids de la colonne mercurielle se trouvant
diminué d'une fraction — , sa hauteur augmentera d'autant, ou en
7fiO
tout de j^ = 0"",186. Si le train marche à l'ouest la hauteur
éprouvera une diminution égale. La différence 0"^"^,37 des indications du baromètre dans les deux cas est sensible.
2° Effets de la composante horizontale de f. — Cette force que nous désignerons par f est la résultante de X et Y. Soitcp Tangle polaire de la vitesse v ; on aura a = v cos cp, jS = v sin <p, d'où
X = %nv sin y sin / = 2nv sin / cos (tp — 90*), Y = — 2ww cos ff sin / = 2nî; sin / sin ((p — 90°).
Il en résulte que la force f = 2nv sin l et que son angle polaire est cp — 90°. Ainsi le plan horizontal contenant le mobile étant celui de la figure, pris pour celui " des a^, on voit que la direction de la force f se déduit de celle de la vitesse MV en la faisant tourner de 90° autour du point M dans le sens rétrograde, ou à droite de MV; ce serait à sa gauche dans l'hémisphère austral, sin l étant négatif. La force f dévie ainsi toujours le mouvement d'un même côté, avec une intensité indépendante de sa direction.]
Si par exemple une boule roulait sans frottement sur un plan horizontal avec une vitesse v, la force lui ferait décrire une cir-
conférence d'un rayon r tel qu'on eût f = - -. Pour la latitude de Paris f = 2nv sin l = ;:- va ; il en résulterait r = 9106^;.
En remplaçant le plan horizontal par la surface courbe de la terre, le résultat changerait à peine. C'est la force horizontale f qui produit la rotation du plan du pendule simple découverte par Foucault, la déviation des projectiles, etc. Mais ses effets sont plus importants là où ils s'accumulent soit pendant un temps prolongé, soit sur un long trajet.
Le premier cas se présente pour les fleuves, qui en pays de pUine, surtout en Russie, rongent constamment leur rive à droite. C'est le second cas pour les courants marins, qui dans l'hémisphère nord tournent toujours à droite et quelquefois achèvent presque le circuit complet. Enfin la même force joue un rôle analogue dans les mouvements généraux de l'atmosphère.
