EVALUATION DES SOMMES GÉOMÉTRIQUES
74. Préliminaires. — Dans un grand nombre de questions, après avoir partagé un corps en éléments de masse w, on est amené à évaluer des sommes de la forme iPm, c'est-à-dire à ajouter les produits Pw de chaque élément par une fonction P de sa position. Pour les coordonnées j;,, y,^ z^ du centre de gravité d'un
corps, par exemple, on a a;, = -. ~ -, etc., et l'on doit évaluer la
somme 2 en supposant P = ^r, «/, ^, ou 1 .
Dans ce chapitre nous nous occuperons soit de cette évaluation en général, soit de ses principales applications, savoir la recherche des centres de gravité, des attractions et des moments d'inertie qui seront définis plus tard. Ces questions se rattachent soit à la dynamique, la notion de masse étant employée, soit à la statique ; mais elles forment un sujet d'étude à part, et se résolvent par les mêmes méthodes.
Le rapport d'une petite masse à son volume se nomme en mécanique la densité, qu'il ne faut pas confondre avec la densité physique ou le poids spécifique. En la désignant par D on aura
SPm = SPDv.
Si le corps est hétérogène, D est une fonction de la position de l'élément v, et on peut la faire rentrer dans le facteur P. Si le corps est homogène D est constant; dans tous les cas on est ramené à évaluer des sommes telles que
S = SPi; ,
étendues à tous les éléments de volume d'un corps, et que nous nommerons des sommes géométriques. Dans le cas où P = 1 la somme devient le volume lui-même et rentre dans les applications du calcul intégral. Dans le cas général, la méthode est analogue avec quelques complications de plus. La question doit toujours être ramenée à évaluer la somme des produits f{t)dt des petits accroissements successifs d'une variable t par la valeur correspondante d'une fonction f(t) ; alors si t croît de /3 à 3c, en supposant jc > |3, cette somme a pour valeur l'intégrale définie
I = f^ f{t)dt = F(a) ^ F(p) ,
F(^) étant une fonction dont fXt) est la dérivée.
Nous chercherons en premier lieu pour les divers cas les exprès-
sions de la somme S en intégrales, en numérotant ces formules pour les employer dans les applications qui suivront.
En désignant l'ensemble du corps ou Iv par V, il pourra être un volume, une surface ou une ligne ; mais dans ce dernier cas la transformation est immédiate. En désignant par 5 Tare de courbe compté d'une origine fixe, les petites portions v sont les accroissements dSy et Ton a
P pouvant être considéré comme une fonction de s. Dans ce cas, et dans le cas général, les différentielles de la variable dans les intégrales définies sont des quantités absolues, essentiellement positives.
n faut les distinguer de celles qu'introduisent parfois les procédés d'intégration et où la variable est décroissante ; ainsi en supposant a > |3 comme dans l'exemple ci-dessus, soit
r= / f (Orf^ = F(p) - F(a) .
On a r = — I, et l'on peut encore regarder F comme une somme, toutes les valeurs de dt étant des diminutions négatives ; tel est le cas où l'on substituerait sin ecîe = — d. cos 6, cos 9 étant une nouvelle variable. On peut alors changer le signe en renversant les limites.
n se présente aussi des cas où la variable est tantôt croissante tantôt décroissante ; cela suppose la fonction fit) multiforme, sans quoi dans l'intégrale les périodes de croissance et de décroissance se détruiraient. Ces périodes, et la forme de la fonction qui correspond à chacune, doivent alors être indiquées à part.
Cette indication peut d'ailleurs être géométri- ^ que. Soit par exemple y l'ordonnée d'un contour convexe AMBN, compris entre les ordonnées extrêmes AA', BB', et posons
r = fxdx ,
la somme s'étendant au contoar en tournant dans le sens de la flèche. Sous forme de somme ordinaire, cela signifie que
dx d$
ds.
mais la forme précédente est plus simple ; elle est est la différence
des intégrales jydx étendues aux arcs AMB , ANB , dx étant
positif dans chacune ; celles-là représentent les aires AMBB'A', ANBB'A', et leur différence F est par suite Taire intérieure au contour.
75. Expression des sommes étendues à une aire plane. — Première forme, en coordonnées linéaires : on désigne
ainsi les coordonnées x^ y^ z. Supposons Faire dans le plan des xy^ comprise à l'intérieur du contour A'RB'S ; AB est sa projection sur Taxe des x^ déterminée par les tangentes extrêmes A'A, B'B, parallèles à OY, et pour lesquelles ic = a ou |3. On partagera d'abord l'aire en tranches minces par des ordonnées très voisines telles que SRN, S'R'N', correspondant h.x^x-\- dx\(m partagera encore la tranche en petits rectangles par des parallèles à OX ; si Tun d'eux, en M, est compris entre les parallèles correspondant à y, t/ + ày^ sa surface qu'on prendra pour V sera v = dvdy^ Désignons par Vdx la somme partielle des produits Vv pour la tranche; dx étant facteur commun, on aura
?'dx = IPdxdy,
F = ypdy ;
dans cette somme x est constant ; dy est l'accroissement de la variable y augmentant de y' à y% ordonnées de R, S ; P étant une fonction de y, on aura
'^f''wy;
y et if sont des fonctions de x données par l'équation du contour ; P est donc aussi une fonction de x,
Pour trouver S ou 2P«;. il reste à ajouter les valeurs de Vdx pour chaque tranche ; x est une variable croissant de « à (3 ; P en est une fonction, et dx étant son petit accroissement, on aura
S = V^'àx^ P Vdx;
en substituant la valeur de Vdx^ S devient
(l) S = r f^^Vdydx.
en remarquant que dans toute intégrale multiple, l'intégration doit commencer par la variable pour laquelle la différentielle est
écrite la première et le signe f le dernier ; dans l'intégration relative à y y on considère x comme constant.
Si le contour est non convexe, il se peut qu'une tranche ait plusieurs portions séparées, par exemple ST et LR ; au lieu d'intégrer de y' à y" on devra alors le faire de y à y, puis de y'" à y ^, et ajouter les résultats, y, y, y, y étant les ordonnées des points R, L, T, S.
Il est clair qu'on pourrait échanger le rôle de x et y y en intégrant d'abord par rapport à x considéré sur le contour comme une fonction de y. Les limites seraient les mêmes dans les deux cas si y' et y" étaient indépendantes de x^ ou si le contour était un rectangle ayant ses côtés parallèles aux axes.
Seconde forme, en coordonnées polaires. — Nous supposons encore l'aire dans le plan des xy^ et nous la partagerons en tranches minces par des rayons partant de l'origine 0, tels que ONL, ON'L', ayant pour angles polaires a, cp -f" ^?; ^^^^ partagerons encore cette tranche par des arcs de cercle de centre 0 très rapprochés et nous prendrons pour v la petite portion M comprise
entre ks arcs de rayons r et r+ dr; on peut Tassimiler à un rectangle de hauteur rfr, de base r&^y d'où v = rdrd<^ ; P est une fonction des coordonnées polaires r, cp de l'élément M, en y substituant a; = r cos <p, î/ = r sin (^ .
Soit Fdçp la somme partielle des produits Vv ou Vrdrd<^ pour tous les éléments d'une tranche ; on aura
P' = SPrdr ;
dr est un petit accroissement d'une variable r qui augmente de ON = R' à OL = R ; P en est une fonction, a restant constante. Il en résulte
R ' Prdr ;
R et R' sont des fonctions de cp données par l'équation du contour ; P' est donc aussi une fonction de cp. La somme S est celle des valeurs de P'rfcp pour toutes les tranches ; pour celle-là d^ est un petit accroissement d'une variable dont F est fonction ; par conséquent
S = 2P'd9=p'p'rf(p,
J et cp'' étant les valeurs de cp limitant celles pour lesquelles il existe des tranches. En substituant la valeur de F<?cp, on trouve
S = l I PrrfrAp.
Il est clair que si le contour était non convexe on pourrait avoir à intégrer par rapport à r entre des limites R' et R'', puis R'" et R^, etc., en ajoutant les résultats ; mais ce cas n'a aucune importance pratique.
Si l'origine est intérieure à l'aire, les tranches ont toutes les directions possibles, et les limites cp', cp'' sont o et 2tr. Dans la figure, où l'origine est extérieure à l'aire, il est clair que <p', cp" sont les angles polaires des tangentes OA, OB ; mais l'emploi des
coordonnées polaires est fort compliqué dans ce cas, et nous le restreindrons à celui où l'origine est sur le contour ; on a alors R' = 0 de même que si elle est intérieure. Il en résulte
Prdrd(p,
dans le cas général où l'origine est intérieure ; si elle est sur le contour, on remplacera o et 27r par cp', ç" angles polaires des tangentes OA, OB limitant le contour ; elles peuvent être quelconques, entre autres si l'aire est o, un secteur.
Si l'aire est un cercle ou un secteur, l'origine étant au centre, R est indépendant de (p, et l'ordre des intégrations est indifférent. Sauf dans ce cas, il n'y a jamais d'avantage à intégrer d'abord par rapport k ^f,
76. fi^ommes étendues â un volume ou une surface courbé 9 en coordonnées linéaires ou semipolaires. — Premier cas. Volumes. — Soit G le contour dont l'aire intérieure est la projection totale du volume sur le plan des xy. Nous partagerons cette aire en éléments v\ et sur l'un quelconque d'entre eux M', pris pour base, nous élèverons un prisme très mince, parallèle à OZ. La portion AB du volume
qu'il intercepte sera encore partagée par des plans parallèles à celui des xy^ et nous prendrons pour v une quelconque de ces parties, telles que M, comprise entre les plans ayant pour ordonnée z et z -{- dz; ce sera un petit prisme de base i/, de hauteur dz ; on aura donc Vv = Wdz. En désignant par PV la somme des produits. Pi; correspondant au prisme AB, il en résulte
P' = IPdz .
Dans cette somme a; et ^ sont constants, P fonction de z seul, dont àz est un petit accroissement ; il en résulte
»'= I Pdz,
s! et /' étant les ordonnées de A et B, ou des fonctions de x^ y, données par l'équation de la surface ; P' est donc aussi une fonction de a?, y. Si le volume est non convexe P' pourra être la somme de plusieurs intégrales analogues à la précédente.
En réunissant les sommes partielles PV on aura ensuite S = sp'v', et cette nouvelle somme s'étend aux éléments t/ de l'aire plane intérieure à C ; il restera à l'évaluer par les formules (1) ou (2), en y remplaçant P par la valeur ci-dessus de F. On aura ainsi en coordonnées linéaires, en employant a;, y^ z^ V = 'ifdz = dxdydZy et
(3) • s = r r j Pdzdydz ;
en employant les coordonnées r, <p, ^, dites semi-polaires, on aura V = v'dz = rdrd^idz,
I I Prdzdrdrp .
Second cas : Surfaces courbes. — Soit encore l'aire C dans la même figure la projection de la surface sur le plan des xy ; si plusieurs portions de la surface avaient une projection comniune nous les regarderions comme des surfaces distinctes ; de la sorte toute parallèle à OZ ne coupera' la surface qu'en un point. De quelque façon qu'on la partage en éléments v, la projection de l'un d'eux sur le plan des xy est if = v cos i, i étant l'inclinaison du plan
tangent sur celui des xy ; en substituant v = — : , on a ainsi
S = ÏPt; = ï — . v\
cos l
Cette somme s'étend maintenant aux éléments t/ de Faire plane intérieure à C, et s'évaluera par les formules (1) et (2) ; P et cos i sont comme z des fonctions connues des coordonnées ^^^ ^ de t; ou de t/ ; il en résulte pour une surface courbe
cos t J J ^^^* J J ^^^ ^
les limites étant les mêmes que dans les formules (1) et (2).
Il est clair que dans les relations (3), (4) et (5) on pourrait échanger le rôle des divers axes, c'est-à-dire employer les projections du volume ou de la surface sur les plans des yjs ou des xz ; cela reviendrait pour les formules (3) à intégrer en premier lieu par rapport k x ony. Mais il n'y a jamais d'avantage, en coordonnées semi-polaires, à chercher une forme de S où l'on intégrerait d'abord par rapport à cp, à moins que les limites ne soient que des constantes indépendantes de r et ^ ; or ce cas est celui d'un corps de révolution ou d'un secteur de ce corps.
Troisième cas : Solides de révoltdion autour de l'axe des z. — n est plus simple de les- partager en tranches par des plans parallèles à celui des a^ ; soient z^ z -{- dz les ordonnées des bases pour l'une d'elles. Partageons l'aire de la base inférieure en éléments t/ sur chacun desquels nous élèverons un prisme de hauteur dz ; en le prenant pour v on aura v = v'dz, et en désignant par V'dz la somme des produits Vv pour la tranche, il en résulte P = lPv[, étendue aux éléments t/ d'une aire circulaire. Les coordonnées r, cp de t/j en prenant pour origine le point 0' où la base coupe OZ, sont les mêmes que celles de la projection de t/ sur le plan des xy par rapport à l'origine 0, et par suite P est une fonction de z^ r,^; on pourra donc poser
v' = rrfrAp, 1"' = I I ^^^9^'^ »
R étant le rayon de la base. En ajoutant les valeurs de Frf^r pour toutes les tranches, on aura celle de S ou IPv, d'où
I I Prdfdrdz ,
R étant une fonction de js donnée par Téquation de la courbe méridienne, indépendante de cp, et / et z" étant des constantes, ordonnées des bases du volume total.
Qîiatrième cas : Surfaces de révolution autour de l'axe des z. — Deux plans très rapprochés, parallèles à celui des xy interceptent sur la courbe méridienne un petit arc ^5, et sur la surface une zone qu'on partagera encore en éléments v par des plans passant par l'axe. L'élément compris entre les plans ayant pour angles polaires <p et y + dy peut s'assimiler à un rectangle de hauteur d5, de base Rrfa>, R étant le rayon de la section. La somme des produits Pr ou PrfeRrfy' pour une zone entière sera donc P'tfe, en posant
Pd(p,
où R est indépendant de cp et l'on a dû substituer a; = R cos <p, «/ = R sin V dans P. On aura ensuite S = SFtfe, somme étendue à toutes les zones ou à tous les éléments ds de la courbe méridienne. On pourra y regarder R comme une fonction de S donnée par l'équation de la courbe. Il en résulte
où R est une fonction de S indépendante de <p, et 5', s'' les valeurs de S aux extrémités de la courbe méridienne.
Cinquième cas, — S'il s'agit d'un secteur d'un solide ou d'une surface de révolution, limité par deux plans passant par l'axe et ayant pour angles polaires cp', <p", on devra évidemment dans les formules (6) et (7) remplacer les limites 0 et 27r par cp', tp'\
77. Sommes étendues h un Tolume ou une surface courbe en coordonnées polaires. — Pour celles-ci nous emploierons les définitions et les notations du numéro 4.
Surface sphérique. — On doit la considérer comme une surface de révolution. Supposons l'origine au centre, et soit a le rayon. Dans la fonction P on doit substituer
X = a sin 6 cos f , t/ = a sin 6 sin <p, 2 = a cos 6 .
La courbe méridienne est une demi-circonférence, et en comptant l'arc s à partir de A, on a s = a9, d8 = ad9. Le rayon MN ou R d'une section est a sin 6, et par suite ^ pour la surface totale, Ô variant de 0 à ir, la formule (7) ^ deviendra
P sin bdrfdb .
Pour une zone on doit remplacer 0 et tt par &, 6r, valeurs de 6 pour ses deux bases. Pour un secteur de la zone, limité comme ci -dessus par deux plans méridiens, «on devra en outre remplacer les limites 0 et 27r par les angles polaires <p' et «p" des deux plans.
Somme étendue à une surface courbe. — Supposons tracée une surface sphérique t ayant pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Partageons-la en éléments a> de forme arbitraire. Circonscrivons à Fun quelconque d'entre eux une surface conique de sommet 0, formée ainsi de droites passant par tous les points du contour de a>. Nous la nommerons un pinceau conique^ et il interceptera sur la surface courbe un ou plusieurs éléments a>'.
Pour Tun d'eux soit M le point de son contour
le plus rapproché de 0 ; par ce point menons une
surface sphérique de centre 0 ; 0 étant son rayon
OM, l'aire w" de sa section dans le pinceau sera
proportionnelle à p*, et par suite a>" = a>p\ On peut la regarder
comme plane, de même que 00' ; de plus la direction des généra-
trices du cône diffère infiniment peu de celle d'une perpendiculaire à la section co"; celle-ci peut donc être considérée comme la projection de cd', d'où résulte
(rt' COS î == cù" = (op",
i étant l'angle aigu de leurs plans; c'est aussi celui des normales aux plans. Ainsi i est l'angle aigu de ML, prolongement de OM, et MN normale à la surface courbe. En remarquant que a>' représente V, on a
(9) v=.^.^ S = SP«; = S^o),
COS % COS t
la somme s'étendant aux éléments a> de la surface sphérique a, limités à la portion pour laquelle les pinceaux rencontrent la surface courbe. On pourrait substituer co = sin ÔrfOdcp, P, p, i étant des fonctions connues de <9, cp, et exprimer S par une intégrale; toutefois la forme précédente est d'un emploi plus fréquent.
Somme étendue à tm volume, — Nous supposerons encore qu'on ait tracé la surface <t et les* pinceaux coniques correspondant à ses éléments. La portion que l'un d'eux intercepte dans le volume se partagera par des surfaces sphériques de centre 0, et nous prendrons pour v la partie comprise entre les surfaces de rayon p et p-j-dp; elle a la forme d'un tronc de cône dont les génératrices sont sensiblement parallèles; il peut donc être assimilé à un prisme dont la hauteur est dp et la base est la section faite dans le pinceau par la surface sphérique de rayon p ; cette section, comme on l'a vu, est égale à cop\ d'où v = (ùp*dp. En désignant par F(o la somme des produits Pv correspondant à un pinceau, on aura
p et R étant les valeurs de p aux points où le pinceau partant de
l'origine entre dans le volume et en sort. En ajoutant les valeurs de Fo) on aura en tout
= 2a) I Pp'dp,
la somme I s'étendant aux éléments de la surface sphérique «7^ limi-* tés à ceux pour lesquels le pinceau rencontre le volume. Communément Torigine est intérieure au volume, de sorte que tous les pinceaux le rencontrent, et en outre p' = o, La somme 2 s'étend à toute la surface sphérique, et en substituant ot> = sin 9d0d(f, on trouve
1 1 Pp'rfp sin MfdQ ;
R est une fonction de 61, cp donnée par l'équation de la surface extérieure.
78. Centres de gravité. — Nous supposerons le corps homogène; les masses m, m' ... étant proportionnelles aux volumes Vy t/, etc., les valeurs générales x, = -^, etc., se réduiront
k x^ = ^, etc, ou en désignant par V le volume total, pouvant être une surface ou une Ugne, à
Premier eocemple. Le corps est Varc de cercle AB, ou le secteur AOB, ou le segment ADBG. — Prenons le centre 0 pour origine, l'axe des x étant ^ OCD qui coupe au milieu l'arc et la corde, et partage le corps eh deux parties symétriques. Cette droite contient les centres de gravité G de l'arc, G' du secteur, et G" du segment, et nous avons à chercher les distances x, = OG, x^ = OG' et x^ = OG". On suppose donnés le rayon a et l'angle AOC = BOC = oc.
Pour l'arc on a t; = dis et en désignant parcp son angle polaire, V = ad^y d'où
Va;, = liVx = ^adf.a ces y = a' 1 cos tpdf = 2a* sin a ; '
en outre V = arc AB = 2aa, d'où
2a' sin a a sin a
' 2aa a
On peut remarquer que la corde AB = 2AC = 2a sin a, et la valeur de x^ donne
^ 2a sin a ^i ^^^^ ^^
a 2aa ' rayon "" arc AB
Pour le secteur, posons P = rr = r cos cp, dans la formule (2) ; les limites o et 27r pour un secteur doivent être remplacées par + ot. On trouve ainsi
I r*dr cos tpdf = — - | cos ccdç> = -jz- a' sin a ;
d'ailleurs V = secteur OAB = a"a, d'où x, = ^-. = -;r- x,.
On aurait pu le conclure en partageant OAB en très petits secteurs égaux ; chacun est assimilable à un triangle et son centre
de gravité est aux -- de sa hauteur ou du rayon ; ces centres sont
tous sur un arc A'B' semblable à AB et d'un rayon -^ a ; ils sont
équidistants et de même masse ; par suite en les composant on trouvera pour leur centre de gravité total celui de l'arc A'B'.
Pour le segment les valeurs de Iv, Ixv sont la différence de celles qui correspondent au secteur et au triangle OAB. La sur-
face Iv du triangle est — a* sin AOB = a' sin a cos a; la dis-
tance de son centre de gravité à Torigine est -^AC = -^acosa;
leur produit -^ a* sin ol cos' a est la valeur de Ixv.
Pour le secteur on a vu que Iv = a'a, Ixv = -^ a^ sin oc ; il
en résulte pour le segment
\x^ = ïav =
V = a\a — sin a cos a),
-;r- a" sin a ^ «' sin a cos' a = -^ a' sin' a ,
d'où
sin'a
a — sin a cos a
Seœnd exemple. Centre de gravité d'un seg- r ment de parabole compris entre la courbe, son axe OPX, et une ordonnée MP. — On donne OP == a, ^ MP = b. Soit y' = qx l'équation de la courbe; on aura dans la formule (1) pour limites de y, y = o, y" = i^^x , et en rempla- -çant P par 1, x, y.
Vx, =
Vî^i =
dydx =-- I jTq x^ dx = -irV^ «^ '
xdydx =
gx
ydyJa; =
y 9 X dx =
g-Vq « ,
- - q.Tdx = -4- a* 2 ^ 4
Le nombre q n'est pas donné, mais bien a et 6 entre lesquels on a la relation 6' = qa ; en substituant \f'Y' = — on trouve
V = y fl6, Va;, = — a«6, Vy, = -j- ab\ x^ = ^a, y, = — 6 .
Troisième exemple. Centre de gravité d'un segment de sphère à une base^ et d'un segment de paraboloïde de révolution. — Soient
AB la base du segment, 0 son sommet pris pour origine, OC = /* sa hauteur ou sa flèche^ OZ l'axe de révolution. Dans la formule (6) relative aux solides de révolution, on aura z' = o, /' = f; le centre de gravité est sur l'axe, et en prenant P = 1, ^, on a à calculer
rr /^R /^i
rd^drdz ==
rzdtpdrdz
Pour le paraboloïde, l'équation de la courbe méridienne ayant la forme R* = g^^, on aura
zdz
Vî.
j z'dt =
Pour le segment de sphère, a étant le rayon et M an point quelconque, on a MN = R, ON = 0, et
MP? = ON X NZ, R* = Z{ia — z) ,
V = j: I (2az — z*)dz = it^L— j f\ .
Vî, = ir I (.2oz' — z»)(iî = mp(|- a — j /•).
La valeur de Y est la formule usuelle du volume d'un segment ; il en résulte
2 /fl
Si le segment devient un hémisphère, /* = a, ^, = ^ ; le cen-
tre de gravité est aux -^ du rayon à partir du centre de la sphère .
Soit G le centre de gravité de la pyramide sphériqae ayant pour base un triangle trirectangle ; de la sorte, en plaçant l'origine au centre, ce volume serait intercepté par le trièdre des axes positifs. En réunissant quatre volumes semblables au-dessus du
plan des xy ils forment un hémisphère, et z^ étant le même pour
les quatre points 6, on a ^^ = -^ a. D'autre part, pour raison de
symétrie la droite OG doit faire des angles i égaux avec les axes; les carrés de leurs cosinus ayant pour somme l'unité, il en résulte
