W TT
\ = ÎTTflc I p cos ttdti, Vj, = 2îcac' | p sin u cos udu ,
u croissant de o à -^-dans le demi-ellipsoïde.
Bornons -nous au cas où c > a et désignons pare l'excentricité. De la sorte
— - — = c*, p* = i — e* sin* u, prfp = — c* s!n u cos udu
d'où
/ p siu tt cos udu = l p«dp = — -|^ ,
et entre les limites,
Soit ensuite a = arc sine, et 6 une nouvelle variable telle que e sin e^ = sin d ; 0 croîtra ainsi de o à a, et en substituant p = cos 6,
cos eicîe^ = — cos Odd, on aura
ÎTCflC
1^ * cos*erf6 =^ I (i + cos 2e)d6 =^ (a + sin a cos a) .
En remarquant que e = sin a, 1 — e* = cos' a, on en tire
2c^ fi - Oj-^*)|^l __ } r 1 — cos» g 1
* "" 3^ La "i" sin a cos aj ~ 3 Lsin a(a -h sin a cos a)J'
En supposant e et œ très petits, on peut substituer sin a = a,
cos a = 1 ^ a', cos' a = 1 — ^ a', ce qui donne
Le centre de gravité d'une surface hémisphérique est donc au milieu de la hauteur, résultat déjà trojjvé au numéro 17 pour une zone quelconque.
Cinquième exemple. Centre de gravité de la surface convexe d'un cône de révolution tronqué, — Un plan parallèle à la base d'une pyramide quelconque, mené au tiers de la hauteur à partir de la base, contient le centre de gravité de chaque face latérale et par suite celui de toute la surface convexe. Il eu est donc de même pour une surface conique quelconque. Celle que nous considérons est de révolution autour de OZ, mais tronquée par un plan incliné AB ; le plan de la figure est perpendiculaire à celui-là, coupant le cône suivant OAB, contenant le sommet 0 pris pour origine, les axes OZ et OX. C'est un plan de symétrie et par suite il contient le centre de gravité cherché G, qui se trouve en outre sur la droite A'B',
en prenant OA' = - OA, OB' = - OB. Il suffira donc de cher-
cher rr,. D'après les formules (5) on aura
cos t cos t
les sommes s'étendant à tous les éléments v' de l'aire plane E', projection de la surface convexe du cône ou de sa base supérieure E sur le plan des xy ; i est l'angle de ce plan et du plan tangent ; comme il est le même pour tous les points, il en résulte
COS f cos î Iv
La première donne la surface totale; l'autre est la même que s'il s'agissait dn centre de gravité de l'aire E' ; or celle-là est une ellipse, et les projections A", B" de A, B sur le plan des xy en sont deux sommets ; le milieu de A"B" en est le centre de gravité ; il est la projection du milieu C de AB ; puisqu'il est aussi celle de
6, ce point sera déterminé par l'intersection de G6 parallèle à OZ, et de A'B'.
Sixième exemple. Centre de gravité de la surface et du volume d'un cylindre tronqué à base circulaire. — Menons le plan de la figure par Taxe OZ da cylindre, perpendicalairement an plan de la base supérieure ; il coupe le cylindre suivant ACBB'A'. C'est un plan de symétrie, contenant les centres de gravité 6, G' ; nous emploierons les lettres G, V, x^^ j,, pour le volume, et G', V, x^j z^ pour la surface. La base inférieure est un cercle de rayon a, ayant pour centre l'origine 0. On donne la hauteur OC = A, et l'inclinaison a de AB sur le plan des xy. De la sorte en posant pour abréger tang a = ^^ l'équation du plan de la base supérieure, en
6 plaçant OX sur OB' est ^ = fe -(- ^^•
Pour la surface nos formules sont en défaut, car dans l'équation (5) il faudrait supposer cos i^^o. On pourrait trouver des formules spéciales fort simples pour les surfaces cylindriques ; mais dans le cas actuel il suffit de prendre pour v l'intervalle de deux génératrices très voisines ; c'est un rectangle ayant pour côté un élément ds de la circonférence inférieure, et la hauteur h -^ tx d'après l'équation ci-dessus ; on aura de la sorte i; = (fe -j- tx)ds^ et en substituant ds = ad^,
x{h -h tx)adff .
la somme s'étendant à toute la circonférence de rayon a.
Pour le volume on devra dans la formule (4) prendre jsf = o^ ^' = h^ te, d'où
I I xi^dzdrd'f =1 | a:(/i + tx^rdrdf .
Oc/04/0 t/O^O
La limite a étant constante on peut intégrer d'abord par rap-
port à 9 ; la ^eule lettre qui en dépende est x ou r cos cp ; il en résulte
/27C /»2ir I r*2it
xiff = 0, I xHff = — - r« I (l -f- cos 2^)rfy = -jrr* ;
de même dans Va?, on aura a; = a cos cp,
/2« /*2ir
On trouve ainsi
Sxy =1 fîcr» X rdr = /tc -y- , V'x, = /Tca».
Il est superflu de calculer de même V, Y\ V^^, Y'z^. En effet, si l'on prenait pour base supérieure une section droite menée par C, la portion du cylindre enlevée du côté de B et celle qui serait ajoutée du côté de A auraient la même surface et le même volume ; V et V ne seraient donc pas changés ; ainsi
Remarquons ensuite qu'un plan A'^B'' ayant pour équation
4r = -^ (fe -f te) couperait au milieu toutes les ordonnées de la
base supérieure, et les génératrices de la surface. Il contiendrait ainsi le centre de gravité des éléments v de la surface et en outre ceux de tous les petits prismes parallèles à OZ dans lesquels on peut décomposer le volume. Par suite G et G' sont dans ce plan, et l'on a
Extension de la valeur de V au cas où la base du cylindre tronqué aurait une forme quelconque. — En prenant pour l'ori-
gine 0 son centre de gravité, désignant encore par ;s = h -\- tx l'équation du plan sécant, le volume V est évidemment
la somme s'étendant aux éléments 'i/ de la base ; 0 étant son centre de gravité, on a
Par suite le volume est le produit de la hase par la Jmute^tr. celle-ci étant mesurée au-dessus du centre de gravité de la base. Ce résultat, de même que l'exemple suivant, ne constituent pas la recherche d'un centre de gravité, mais son emploi dans une mesure géométrique.
Septième exemple. Théorème de Ghddin, Si Von fait tourner autour d'un axe OZ un arc de courbe AB, situé avec lui dans un même plan et ne le coupant pas, la surface de révolution décrite a pour mesure le produit de rare AB par la circonférence que décrit son centre de gravité G.
De même si Von fait tourner autour de Vaxe Faire plane comprise dans un contour C, m coupant pas Vaxe et situé avec lui dans un même plan, le solide de révolution ainsi engendré est égal au produit de l'aire par la circonférence que décrit son centre de gravité G.
Pour le démontrer partageons soit l'arc AB soit l'aire en éléments t', et pour chacun désignons par x sa distance à OZ ; soit aussi x^ cette distance pour le point G. On aura de la sorte dans les deux cas
V étant l'arc AB ou l'aire.
Dans le premier cas, chaque élément v de ligne engendre un cône tronqué dont la surface est le produit de son côté v par la circonférence que décrit son milieu, et dont le rayon est x ; cette petite surface est donc 2tzxv.
Dans le second cas, chaqae élément v de l'aire engendre an solide qu'on peut assimiler à un fil très fin, de section v^ et dont la longueur est 2'7ra; ; son volume est donc 2it2^.
Par conséquent dans les deux cas la surface ou le volume décrits ont pour mesure
conformément à l'énoncé.
Prenons pour exemple le tore, surface décrite par une. circonférence tournant autour d'un axe situé dans son plan et qu'elle ne rencontre pas. Désignons par r son rayon, et par h la distance de son centre à l'axe. Soit qu'il s'agisse de la surface ou du volume du tore, on a x, =h; il en résulte que la surface est égale à 2rrh X 2'Trr, et le volume à 2nh x -nr*.
79. Homeuts d'Inertie et axes principaux. — Pour un système quelconque on nomme moment d'inertie par rapport à un axe la somme des produits de chaque élément m de masse par le carré de sa distance à l'axe. On a besoin de cette somme pour trouver la loi du mouvement d'un corps autour de Paxe, de sort e qu'on peut avoir à la chercher par rapport à une droite quelconque. Nous devons d'abord trouver les relations entre ces divers moments d'inertie d'un même corps.
P Relation entre les moments d'inertie par rapport à des droites paraUèles. — Si ^, p sont ces moments pour deux droites parallèles DL, D'L', et h, h' leurs distances au centre de gravité G, on a
M étant la masse totale. ^
En effet, prenons pour origine le centre de gravité G, GZ étant parallèle à DL, et GX placé sur GD. La distance mR de l'élément m à GZ a pour projections
sur les axes a;, y et o, d'où mR = a;* -|- y' ; il en résulte pour le moment d'inertie [i par rapport à GZ,
Comme 6D = A, les coordonnées relatives à l'origine D sont ^ — A, y, f , d'où
[i = Sm [(J?— /i)» + y'], ji — |jl" = — 2^Imj + fc«2m .
Or 2m = M^ masse totale, et en outre ^mx = o, l'origine étant au centre de gravité. Par conséquent / = /x — MA* ; pour la seconde droite on trouverait de même / = p — Mh!\ d'où résulte la relation à démontrer.
2® Beiation enlre les moments d'inertie relatifs à des droites partant d'une même origine 0. — Soient A, B, C les moments par rapport aux axes; nous avons trouvé ci-dessus la valeur de C; celles de A^ B sont analogues, de sorte qu'on a
A = lm(y' + 2% B = 2m(i« + a?*), C = Sm(x» + y') .
y^ Soit ensuite fx le moment d'inertie par rapport à
y^x^V^ une droite quelconque OL ayant pour cosinus a, jS, y.
^'^ En désignant par M la position d'un élément w, par
0?, y, z ses coordonnées, la projection ON de OM sur OL est
«^ + /3y + y£f, et comme a* + ^* + v* = 1> ^^ a pour la distance MN à l'axe
MN* = OM* — ON' = ((y» + P' + f) (^' + !^' + 2*) — (a^ + ?» + Ï*V, OU
Or le moment fx = 2m x MN , et par suite, d'après les valeurs ci-dessus de A, B, C,
A) |i = Aa* + Bp» + Cy» — 2A'Py — ^B'a^ — 2C a? ,
en posant
A' = Smyz, B' = Smza?, C = ï^mxy .
Pour trouver le moment d'inertie fx' par rapport à une droite quelconque, il suffit donc, pour des axes choisis à volonté, de calculer les sommes A, B, C, A', B', C ; ensuite en prenant OL parallèle à la droite donnée on aura ,u par la formule précédente et on en déduira fx' par la relation entre les axes parallèles. Mais nous allons voir qu'on peut simplifier la formule (A). Pour abréger, dans ce qui suit, convenons de nommer direction d'un moquent extrême celle d'une droite menée par l'origine, et telle que le moment d'inertie par rapport à elle soit maximum ou minimum.
S^ On nomme aooes principaux tout système d'axes par rapport auxquels on a A' = a, B' = o, C = o. Par tout point pris pour origine on peut mener un semblable système. Il suffit pour cela de prendre pour OZ la direction d'un montent extrême parmi toutes les droites partant de V origine, et ensuite de prendre pour OX la direction d'un moment extrême parmi toutes les droites mrCnées dans le plan des xy.
En effet, si l'on emploie ces axes, et que OL soit dans le plan des xy, ayant cp.pour angle polaire, on a a = cos cp, ^ sin = ç?, 7 = 0. La formule (A) donne alors
[1 = A cos* ç -+• R sin* y — 2C' sin y cos (p ,
d'où
jj. — A = (B — A) sin* ^ — 2G' sin y cos (p = sin* ç 1 B — A — 2G' cot ^ 1 .
Si C n'était pas nul on aurait numériquement 2C' cot (p > B — A en prenant 9 assez petit, et en le supposant positif ou négatif, P — A aurait des signes contraires. C'est impossible puisque A est le plus grand ou le plus petit des moments [k pour toutes les droites du plan des rri/ ; on a donc C = 0. De même parmi toutes les droites tracées dans le plan des zx ou celui des zy, OZ est une direction de moment extrême, d'où résulte B' = 0, A' = 0.
4*^ Cas où il existe plusieurs systèmes d'axes principaux pour la même origine. — Pour un de ces systèmes, soit celui que donne la règle précédente ou tout autre, on a d'après la formule (A)
(B) jj, = Aa* + Bp» + Cf.
En outre C = C(a' + (3* -f- y'\ d'où
jj^C = (A-C)a' + (B-C)?«;
A — C et B — C ne peuvent être négatifs si C est le plus petit des nombres A, B, C ; on a donc alors ,a = ou > C. De même si C est le plus grand |ui = ou < C. On en peut dire autant pour A et B ; par suite le maximum et le minimum des moments p sont le plus grand et le plus petit des nombres A, B, C.
Si C est le plus grand et en outre différent des autres, (A — C), (B — C) ne sont pas nuls, et on ne peut avoir ,u = C qu'en supposant a' = p' :=: 0, y' = 1, c'est-à-dire que la direction de OZ correspond seule au moment maximum C. Par suite, s'il existe un autre système S d'axes principaux, il faudra que l'un d'eux coïncide avec OZ.
Si A, B, C sont différents et A < B < C, on verrait de même que l'un des axes S doit coïncider avec OX, pour lequel seul le moment est minimum, et par suite le système S est le même que le premier, c'est-à-dire qu'il n'y en a pas 'd'autre.
Si A = B, C étant différent, l'un des axes S doit tomber sur OZ, mais dans le plan des xy les autres sont quelconques. En effet, pour toute droite de ce plan la formule (B) donne jji = (oc' 4- |5')A = A; le moment étant le même pour toutes, une quelconque d'entre elles est une direction du moment extrême, et si on la prend pour un des axes, le système sera principal, d'après la règle indiquée plus haut.
Enfin si A = B = C, la formule (B) se réduit à fx = A ; tous les moments d'inertie étant égaux, tout système d'axes est princi-
pal, car OZ aura toujours une direction de moment extrême, et il en sera de même pour OX.
On voit que s'il y a plusieurs systèmes d'axes principaux les valeurs A, B, C des moments qui leur correspondent restent les mêmes. On les. nomme moments d'inertie principaux dans tous les cas.
5° Recherche des axes principaux, — Outre que leur emploi facilite le calcul des moments d'inertie, ces axes jouent un rôle important dans la théorie de la rotation. Leur direction pour une origine quelconque pourrait toujours s'obtenir par la formule (A) en cherchant le maximum ou le minimum de p. Mais dans le cas général c'est surtout l'existence de ces axes qu'il importait de démontrer comme nous l'avons fait, et quant à leur détermination nous nous bornerons au cas très fréquent où le corps a un plan de symétrie. S'il n'y en a qu'un prenons-le pour celui des xy^ l'origine étant quelconque dans le plan. La masse peut se répartir en groupes de deux éléments égaux et symétriques par rapport au plan, de sorte que x ^t y sont les mêmes pour tous deux, et z le même en signe contraire ; les termes correspondants se détruisent dans les sommes imzx^ Imzy, de sorte qu'on a B' = o, A' = o. Ensuite par rapport à toute droite menée par Torigine dans le plan des xy^ le moment d'inertie est
p. ^ A cos* (p -j- B sin* ^ — 2C' sin rp cos 'f ,
V étant l'angle polaire de la droite. Si C n'est pas nul on devra changer OX en lui donnant pour angle polaire la valeur de ^ qui
rend u maximum ou minimum ; la condition est }^ = o, ou
{b — A) sin "✠— 2(7 cos 2t = o, tang 2» =
Cas où il existe deux plans de symétrie. — Ils déterminent un système d'axes principaux, en plaçant OZ sur leur intersection, l'origine étant quelconque. s
S'ils sont rectangalaires on les prendra poar les plans des zx et des zy. En effet, de même que si un plan de symétrie est celui des xy on a A' = o, B' = o, on aura A' = o, C = o si c'est celui des zx^ et B' = o, C = a si c'est celui des zy ; s'il en est ainsi pour tous deux il en résulte A' = B' = C = o, et les axes sont principaux.
Si les deux plans de symétrie ne sont pas rectangulaires on aura un système principal en dirigeant OX comme on voudra dans le plan des xy ; en effet, en prenant les plans pour ceux des zx et des z;x! correspondant à deux systèmes d'axes différents^ on aurait à la fois pour chacun A' -- o^G = o, ou
d'ailleurs cp étant leur angle on peut substituer
jj' = j: cos ^ — y sin tp, y = x s\n (p -\- y cos tp ,
ce qui donne
sin 'f^mzx + cos ffùmzu = o, sin '^ cos(p^m(x^ — y^) + cos ^^^fnxy = o.
Comme par hypothèse u^ n'est pas multiple de , sin 9 et cos 9
ne sont pas nuls, et en ayant égard aux autres relations, celles-ci se réduisent à
^mzx = 0, Xm(x* — y^) = 0.
D'après la première on a à la fois A' = B' = C = 0 pour le premier système, qui par suite est principal. Il résulte ensuite de la seconde
lm{x' + z^) = ^m[y' + z') ou B = A ,
auquel cas la direction de OX correspondant à un système principal est arbitraire. Tel est le cas pour un prisme droit homogène ayant pour base un polygone régulier, en plaçant OZ sur son axe. De même pour un solide de révolution homogène on a un système d'axes principaux en plaçant OZ sur l'axe de figure, les autres étant arbitraires.
80. Homeiits d'Inertie de divers corps. — Nous les supposerons homogènes ; D sera la densité ; Y le volume total ; M ou DY la masse totale. Les axes employés pourront ne pas être principaux ; mais en ce cas le plan des oc/y étant un plan de symétrie, on aura A' = B' = o. En substituant m = Dt;, v étant l'élément de volume, on tirera A, B, C, A', coefficients de la formule (A), des relations suivantes :
^A = D(Y + Z), B = D(Z + X), C == D(X +Y), C = DZ', ^X = St;j;% Y == Svy», Z = Iw«, Z' = Svxy.
^ rx = Svx*.
P Parallélipipède rectangle, les arêtes étant a, 6, c; plaçons Forigine au centre, les axes parallèles aux arêtes, et par suite principaux. Pour Z la formule (3), où P = j', donne
'=/-. /'. J'I,'-"^- tj[. }\"^-
abc^
ou
z=;;a*c=;;v. dz=^m.
On trouve de même X et Y, et d'après les formules (C),
2^ Cylindre à base circulaire : soient h la hauteur, a le rayon. Plaçons l'origine au milieu de l'axe, OZ sur Taxe. De la sorte les axes sont principaux. On a pour raison de symétrie,
X = Y = -L(X + Y) = l-SZ{x^ + yy = -^-Ir^v.
et la formule (4), P étant -^ r* ou ^*, donne
Si le cylindre est creux, le rayon de la cavité étant 6,
„ zA(a« — h*) a* + ft« «» 4- b*
g^rft'(o'— 6') ^ ^«
et les formules (C) donnent ensuite
3^ Segment de sphère à une base, — Plaçons l'origine au centre, OZ sur l'axe du segment ; les axes sont ainsi principaux. Soient a le rayon de la sphère, et b l'ordonnée de la base du segment. On a
Le solide étant de révolution, la formule (6), dans laquelle P = -j- r" ou ;s\ donne
I I zHtfrdrdz = tc 1 h^z'dz ,
R est le rayon d'une section quelconque. En substituant R' = a*~^* on trouve
Si le segment est la sphère entière 6 = — a, d'où
4® Cas général d'un prisme ou d'un cylindre droit de hauteur h à hase qtielconque. — Menons le plan des xy parallèle aux bases, par le milieu de la hauteur. C'est un plan de symétrie et par suite A' = o, B' = o. En désignant par œ l'aire de sa section dans le prisme et par t/ un quelconque de ses éléments, la formule (3) pour le prisme est la même que
S = St;' I Pdz
la somme s'étendant à tous les éléments de Taire. 11 en résulte
^v' I z'dz =
X = £t?' I \^dz= liïiV'x^, etc.,
OU
\ = hp, Y = hq, T = /m ,
en posant
^ et g se nomment les moments d'inertie de Vaire co par rapport à OY, OY; ce moment par rapport à une droite du plan est la somme des produits de chaque élément de surface par le carré de sa distance à la droite.
Pour un cercle de rayon a, l'origine étant au centre, la formule (2) donne
y-^/'-rv;- g--*" -T
ou g = . co si le rayon est désigné par r.
Poar an rectangle de côtés «, |3, l'origine étant an centre et OY parallèle à a, la formale (1) donne
c^ r* wj p«' «*
Dans les exemples saivants nous nons bornerons à calculer j9, 2, ?^, d'où l'on déduirait aisément A, B, C, C.
5° Cas où la section est un secteur OEF, l'origine étant au centre, et OX passant au milieu de l'arc. On donne le rayon a et l'angle EOX = FOX = a; OX étant un axe de symétrie on a ^ = o. En substituant 0? = r cos (p, y = r sin ç, la formule (2) modifiée pour un secteur, donne
I rHr cos* ffd^ = — - 1 (1 H- cos 2(p)dç =
= I (a +sina cos a),
^ = I I rHr sin* yd^ == --- (a — sin a cos a) .
6^ La section est un triangle rectangle OEF, OX étant sur Y OE, OY parallèle à EF; on donne OE = a,
^^ EF = ft ; a désigne l'angle EOF. La formule (2)
0 r X modifiée donne
I rHr cos' çd(p, Ç = 1 1 ^^^^ sin* ?prfç ,
fi = I I rHr sin <p cos ^(/^^ .
D'ailleurs R correspondant aux points de EF, on a R = -— :
' cos U) '
en substituant tang oc = — , a6 = 2co, il en résulte
a* r* dip a* à' 6 o»
a«6' flft
On aurait an système principal, comme on Ta vu, en faisant tourner l'axe des x d'un angle cp déterminé par la relation
2G' Ung2<p = g-^.
Les formules précédentes permettent de trouver, par rapport à toute droitç donnée, le moment d'inertie d'un prisme ayant pour base un triangle rectangle ou un secteur ; il en sera de même par suite si c'est un polygone quelconque ou un segment de cercle.
81. Évaluation générale de l'attraction d'une niasse quelconque sur un point. — Il ne s'agit ici que de l'attraction en raison directe des masses et inverse du carré des distances. Si H est le point attiré, m' sa masse, p sa distance
à un éléments de la masse attirante, la force est f -^ . f étant
un coefficient constant. On doit composer les forces ainsi exercées par tous les éléments de la masse; mais on peut laisser de côté
la constante fm\ et prendre —7 pour la force. Ce serait exact en
attribuant à m' la valeur — ; d'ailleurs après avoir trouvé comment varie l'attraction de la masse fixe pour chaque position du point H, on pourra rétablir la constante qui multiplie tous les résultats.
Si X, y, z sont les coordonnées du point attiré H, et a/, y, z celles de m, les cosinus de la force, qui est dirigée de H vers w,
, etc., et ses projections -^^-, — -y etc. On a par suite
A = 2- — z — m, 1 = 1 — — m, /j = li „ — m,
pour les projections X, Y, Z de l'attraction totale de la masse sur le point, les sommes s'étendant à tous ses éléments m.
Mesure approximative de V attraction. — En prenant l'origine 0 quelconque dans le corps, et supposant toutes ses dimensions inférieures à OH, on pourra exprimer l'attraction en série; en effet, plaçons H sur l'axe des z négatifs, et soit OH = h\ on aura ainsi
î=-ft.
Là - ^m -
Si l'on pose -7- —
^' -fi '
= y, les nombres a, /3, y se-
ront partout inférieurs à l'unité. Il en résulte
1^/ = /i*p'« où p'« = (i + y)' + a- + ^\ 9 9" • 9
En supposant a, (3, y assez petits et substituant
^7 = 0 + 2y + a* + ?» + 7«)-2 =. 1 — 3y + etc. ,
puis négligeant les termes de degré supérieur au premier, on aura
Si on négligeait aussi le premier degré, on trouverait X --=: o^ Y = 0, Z = 7? = T7> ^I étant la masse totale ; cela reviendrait
à la sapposer concentrée à l'origine. Les termes da premier
degré, en substituant oc = -r-'l^^^» ^^^^
— - YjmXy -7- ^my\ Smz',
h li h
et ils seront nuls si l'on place l'origine au centre de gravité du corps. On a donc une valeur approchée de V attraction en supposant la masse concentrée au centre de gravité.
Forme potentielle de l'attraction. — La première projection de l'attraction d'un élément m est
'!^^^^ÇJ^ où p^ = (^ - xy + i^y ~ yy + (2 ~ zy.
elle peut s'exprimer par la dérivée partielle
L dx ]
pour d'antres particules attirantes w', m% ..., situées à la distance p, p", ... du point H, elle est de même la dérivée partielle de
, , - „ , etc. La même remarque s' étendant aux autres projections
on aura pour le corps entier
(âS\ ,, /dV\ ^ /(dV
dy I \ dz
V étant la somme 1 — r -] — - + ••• étendue aux particules
attirantes supposées fixes, tandis que les coordonnées Xj y, zAeH sont seules^ variables ; V se nomme le potentiel des masses m, 7n'y etc. ; il suffit de le trouver pour connaître les composantes de l'attraction.
Pour une seule particule on a
m P^ ' m \dxj m \dW p* '*
1 {d'\\ l , 3(x—xy
les valeurs de — (■j')» — ("rf") ^"^^ '^"^ forme analogue et la somme
des trois est nulle ; il en est de même pour les termes -r, etc.; ainsi
tout potentiel satisfait identiquement l'équation
en supposant comme nous le faisons que H ne soit pas intérieur à la masse attirante.
82. Applications diverses. — Premier exemple. Attrac- H tion normale d'une aire plane. — Supposons d'abord H attiré par l'aire intérieure à un contour C de forme A ) quelconque, et soit h sa distance HA au plan de l'aire. ^ Nous ne chercherons que la composante Z de l'attraction suivant HA ; nous supposerons une masse formant sur l'aire une couche uniforme infiniment mince, de sorte qu'elle devient une surface attirante, la masse étant y^ par unité de surface. Traçons une sphère a de centre H, de rayon 1, et décomposons Taire en éléments v par des pinceaux coniques. Pour l'un d'eux placé en M à la distance HM = p, on aura, comme on l'a vu au
numéro 77, î; =■"***., o étant l'élément correspondant de d, et i
(/US f
l'angle AHM de HM et de la normale à la surface. L'attraction de V, sa masse étant pi', sera ^ et sa projection sur HA, ou ^ cos /, se réduit à ^w. Pour Faire entière il en résulte
S étant la somme des éléments io correspondant à tous les pinceaux. Si Ton trace une surface conique ayant pour sommet H et pour base le contour C, s est la portion qu'elle intercepte dans la sphère t et se nomme V amplitude sphérique du cône. Si par exem-
pie C est un polygone de n côtés, s est un polygone sphérique ; sa valeur est Veoocès sphérique ou celui de la somme de ses angles sur
2n — 4 angles droits, chacun étant mesuré par -|-.
Si C est un cercle de rayon a, de centre A, on a ponr tout point
du contour cos i = ^ , . , ; s est une zone de hauteur 1 — cos i,
OU S = 27r(l — COS t). Il est clair que dans ce cas Z est l'attraction totale.
Si sans changer h on fait croître a à l'infini, on a
cos t = 0, « = 2î:, Z = 2îC|j. .
C'est Tattraction d'un plan indéfini.
Une surface attirante étant une fiction, attribuons à la précédente une petite épaisseur e ; pour l'unité de surface le volume
sera e, la masse p, et par suite la densité D = -^ ; en substituant
fjL = D£, on aura pour la couche indéfinie Z = 27rDc ; si l'on imagine d'autres couches superposées, d'épaisseurs s', e",. etc., leurs attractions qui se réduisent, comme on l'a vu, à la composante normale, seront 27rD£', 27rDc", etc., et en tout on aura Z = 27rDe, e étant l'épaisseur totale de la couche indéfinie ainsi comprise entre deux plans parallèles. Cette force est donc indépendante de la position du point H.
Second exemple. Attraction d'une surface sphérique. — Supposons une masse m répartie sur une surface sphérique de centre 0 et de rayon a; nous admettrons qu'elle y forme une couche d'épaisseur constante très petite, équivalant à une surface attirante. ^
Soit H le point attiré, extérieur ou intérieur, f oZoIlI^^ OH = R, et |ji un élément de masse superficiel, V V recouvrant un élément v de surface. On a ainsi
|j. m tnv
352' d'ailleurs la surface étant partagée comme au numéro 77,
v = a" sin MQd<p, a = — - — ^ m .
Nous compterons les angles Q à partir de OH, et en désignant par p la distance ,uH, par Y le potentiel, nous aurons
L'expression qui multiplie d(û étant indépendante de 9, il en résulte
sin QdQ
__ m /*^ si]
Prenons ensuite p pour variable au lieu de ô ; de la sorte, d'après la valeur de p', on a pdp = àR sin 6d9] en substituant
sin OdO = —, on trouve
p correspondant à 6 = tt, et p" à 0 = 0. De la sorte
p"« = R« + a* — 2aR, p'« = R« + a« + 2aR, p' = R + a .
On doit prendre p'' positif, c'est-à-dire p" = R — a, p' — p" = 2a, si H est extérieur à la surface, et p" = a — R, p' — p" = 2R, s'il est intérieur. Le potentiel est donc
V = o si le point H est extérieur,
tn
V = — s'il est intérieur.
Dans ce dernier cas Y est constant ou indépendant de la position de H ; ses dérivées ou les projections de la force sont donc nulles, et il en est de même de la force. Si le point est extérieur
le potentiel -j^ est le même que si la masse m était condensée en
0, à la distance R du point attiré ; ses dérivées et la force sont donc aussi les mêmes.
Troisième exemple. Attraction d'une tige rediligne supposée infiniment mince. — En l'assimilant à une droite
AA' soient h sa distance OH au point attiré, et ,
fx la masse de l'unité de longueur. Nous supposerons OA = OA = l. Il est clair qu'en décomposant les attractions suivant HO et à angle droit, celles de OA et OA suivant cette seconde direction seraient égales et opposées ; Tattraction
totale F est donc dirigée de H vers 0, et ^ F est celle de la portion OA seule.
Pour la trouver plaçons l'origine en 0 et OX sur OA. Soient M la position d'un élément dx et p la distance
p = MH = V /i« + x^ .
lidx^
La masse de l'élément est udx et son attraction ^- ; comme
cos OHM = jjtu = — , la projection de la force sur HO est ^^.
MH p p*
En l'ajoutant pour tous les éléments de OA on aura
L'intégrale indéfinie
dx
d'où résulte
rdx r ^ X
I — % = 1 /L* I «v?^ = "lo — : + const.
h Vh^ -h 2*
Si on suppose la tige indéfinie dans les deux sens, —- -- ^ se
réduit à l'unité, ce qui donne F = -^.
L'attraction d'une droite est une fiction, mais si nous lui attribuons une petite section a>, de sorte qu'elle devienne un corps homogène de densité D, on aura pour la masse de l'unité de longueur fx = Da>, et l'attraction d'une tige mince à la distance h sera
Quatrième exemple. Attraction d'un tube ou d'un cylvndre creux indéfini. — Soient a, h ses rayons extérieur et intérieur. Menons le plan de la figure par le point attiré H, perpendiculaire à l'axe du cylindre qu'il coupe en 0. La section du cylindre est l'espace annulaire compris entre les circonférences C, C de rayons a et 6. Partageons cet espace en éléments v, et élevons sur chacun comme base un prisme indéfini dans les deux sens ; M étant la position de r, l'attraction de ce
prisme mince sur H seia d'après l'exemple précédent -r^, où la
section a> doit être remplacée par t?, et h par p, qui désignera MH. Elle est dirigée suivant HM, et sa projection sur HO est par
suite
2Dy
- cosMHO.
L'attraction totale Q du cylindre est la résultante de celles des prismes ; d'ailleurs les projections de celles-ci sur une direction perpendiculaire à OH se détruisent évidemment, et par suite la force Q sera dirigée de H vers 0, ayant pour valeur la somme des projections précédentes ; de la sorte
la somme s'étendant aux éléments v de l'aire comprise entre C et C'. Cette force est dirigée suivant la distance du point à Taxe,
Elle est fonction aniqaement de cette distance HO que noas désignerons par r. On a
rQ = 202^' cosMHO.v, P
r HO
et il est clair que si H est très éloigné ou r très grand, ou n^ est sensiblement l'unité, de même que cos MHO. On a ainsi
limite (rQ) = 2DIi; .
Cette valeur est la même que si tous les prismes attirants étaient placés sur Taxe du cylindre, où toute la masse serait ainsi condensée, car alors on aurait constamment r = p, cos MOH = 1.
On pourrait trouver Q par l'intégration directe de l'expression ci-dessus ; mais nous prendrons cette question comme exemple de l'emploi d'une autre méthode, applicable seulement quand la force, comme dans le cas actuel, est fonction d'une seule variable r, et que sa direction est connue.
Les projections X, Y, Z de la force ayant pour valeurs \-t-\ etc.,
l'équation (D) du numéro précédent, ou
peut s'écrire
dans laquelle x, y^ z sont les coordonnées du point H. En plaçant OZ sur l'axe on a r = /a;* -f yS et la force Q étant dirigée vers
l'axe, ses cosinus sont , ^ et o ; il en résulte
et en remarquant que Q est fonction de r seul,
\ix) r '^'^ ir\r ) r ' \dyl r '^ dr \ r } r '
En substituant ces valeurs dans Téquation (D) et la multipliant par r, on trouve
d'où
A étant une constante. Le même calcul s'applique aux cas où le point H est à l'extérieur ou à l'intérieur du cylindre creux ; mais ces cas sont distincts. Il n'y a pas de continuité entre eux, et la constante peut différer.
Si le point est intérieur on doit supposer A = o, sans quoi la force Q croîtrait à l'infini quand il serait très voisin de l'axe, ce qui n'a point lieu pour la valeur de Q sous forme d'intégrale ; par conséquent V attraction du cylindre est nulle sur tout point intérieur.
Si le point est extérieur la valeur de rQ étant la constante A est égale à la limite de cette expression trouvée ci-dessus quand r croît à l'infini. Par suite V attraction du cylindre sur un point eodérieur est la même que si toute sa masse était condensée sur Vaxe.
En supposant l'axe vertical, et prenant pour H un point maté-
riel pesant, on aurait pour son mouvement vertical — = ^r, la
force Q étant horizontale , en même temps la projection de H sur le plan des xy circulerait autour de l'origine comme si celle-ci l'attirait en raison inverse de la distance. Nous avons vu, en effet, au numéro 60 que pour cette loi d'attraction le mouvement a toujours la forme circulante.
fi '
•Kl
83. Théorème de Oreen. Applleatlon A l'attraction d'une surface sphérlque. — Désignons par C une surface fermée de forme arbitraire, et par S la somme
S = SNv . vy
étendue à tous les éléments v de la surface, N étant pour chacun la projection de la force sur la normale extérieure. La force est ici l'attraction d'un ensemble quelconque de masses continues ou isolées ; pour simplifier nous admettrons qu'aucune particule attirante ne se trouve sur la surface même.
Le théorème de Green consiste en ce qu'on a
M étant la somme des masses intérieures à la surface C.
Supposons les masses formées de la réunion de deux groupes, auxquels correspondront les lettres S', M', N' pour le premier, S", M", N'' pour le second. Nous allons vérifier que si le théorème est ^|
vrai pour chaque groupe il l'est aussi pour leur ensemble. En effet, la force pour l'ensemble est résultante de celles qui proviennent de chaque groupe ; sa projection N sur la normale est la somme de celles des deux autres, ou de N', N''; par suite
S = INt; = ÏCN' -f N" t; = S' + S".
D'autre part, la masse intérieure M est la réunion de M', M" qui correspondent à chaque groupe. Ainsi en ajoutant les relations
S' = — 47tM' S" = — 47cM",
supposées exactes, on aura S = — 47rM, ce qu'il fallait prouver. Le raisonnement précédent s'étend évidemment au cas où l'on partagerait les masses en un nombre quelconque de groupes. Il ne reste donc qu'à vérifier le théorème en réduisant ces masses à une seule particule m. ^L/^ Traçons une surface sphérique t de centre n^^^^^Js^^^^P ) m, de rayon 1, et décomposons C en éléments x^^ ^
par des pinceaux coniques ; on a d'après le numéro 77 i; = -^ a>,
co étant un élément de ^^ p la distance vm, et i l'angle aigu de cette droite et de la normale à C ; en même temps la force pour
cet élément est — r et sa projection sur la normale N = -r- cos i\
i' étant l'angle de la force et de la normale extérieure; il en résulte
cos i
COS f
Or i' est compris entre les mêmes droites que i, et l'on a
COS t
= + 1 suivant que i est aigu ou obtus. Dans la figure la
COS t "~ ^ ^
direction de v vers m, qui est celle de la force, fait un angle obtus avec N, d'où Ni; = — m-o ; il en est ainsi en tout point où le pinceau partant de m traverse la surface C en sortant ; on a N^; = 4" m»} là où il traverse C en entrant. Si m est extérieur comme dans la figure, le pinceau rencontre la surface deux fois si elle est convexe, et en tout cas un nombre pair de fois, sur lequel il y a autant d'entrées que de sorties ; pour les éléments v correspondant à un même pinceau, w ne changeant pas, les produits Nv ont une somme nulle, et par suite S = o. Si m est intérieur chaque pinceau rencontre la surface C un nombre impair de fois, et le nombre des sorties dépasse d'une unité celui des entrées ; les produits Hv pour un seul pinceau ont donc la somme — wo), d'où résulte
la somme s'é tendant aux éléments ro d'une sphère t complète. Nous avions trouvé S = o quand m était extérieure. Le théorème de Green est donc exact pour une particule et par suite pour des masses quelconques. Il constitue un princii^e important dont les applications sont nombreuses dans la théorie de l'électricité. Nous l'emploierons dans la question suivante.
Attraction d'une surface spMrique sur un point H intérieur. —
La force /", si elle existe, est dirigée suivant le rayon OH pour cause de symétrie, car nous supposons la masse répartie uniformément sur la surface. Pour la même raison, si Ton trace une surface sphérique concentrique et passant par H, la force en tout point de cette surface aura la même valeur /*, et sera dirigée sur le rayon dans le même sens. Si donc N est sa projection sur la normale extérieure, on aura partout N = f, ou partout N = — f. En appliquant à cette surface prise pour C le théorème de Green, il en résulte
— 4:cM = SNv = ±: /ïv .
Or il n'y a pas de masse intérieure ; M est donc nul, ILv ne l'est pas ; par suite /* = o, comme nous l'avions trouvé par l'intégration directe.
Attraction d'une couche sphérique sur un point extérieur H, — Soient 0 le centre, a le rayon, R la distance OH, et H sur OH le conjugué du point H,
de sorte qu'on ait
