Attraction d'une sphère et ses applications
— Pour abréger nous dirons qu'une sphère a une densité régulière si la densité est la même en des points situés à égale distance du centre. Nous emploierons la même expression pour une couche comprise entre deux surfaces sphériques concentriques. La sphère et la couche, en menant des surfaces sphériques infiniment rapprochées, sont décomposées en couches élémentaires infiniment minces, dont chacune séparément est homogène et peut être assimilée à une surface attirante. Par conséquent :
1° L' aUra<:tmn d'une couche à densité régtdière sur un point qui lui est intérieur est mdle, car il en est ainsi pour chacune des couches élémentaires dont elle se compose.
2® L'attraction d'une couche^ou d'une spJière à densité régulière sur un point extérieur est la même que si sa masse était condensée au centre, car cela ne change pas l'attraction des couches élémentaires.
Attraction de masses quekonqu^s sur une sphère à densité régur- Hère, — On peut conclure de ce qui précède que le fnouvement du centre de gravité de la sphère, c'est-à-dire de son centre 0, produit par cette attractions est le même que si sa masse m était concentrée en 0.
En effet, pour calculer ce mouvement on suppose que toutes les forces agissant sur chaque élément de la sphère sont déplacées parallèlement et appliquées en 0. Considérons en particulier celles qui proviennent d'une seule particule v ; celles-là sont égales et opposées aux attractions des éléments sur v. Or ces dernières ont pour résultante l'attraction qu'exercerait sur v la masse m placée
en 0 ; les premières auront donc une résultante égale et opposée à
la précédente, ou l'attraction de v sur la masse m placée en 0. Il
en est ainsi pour chaque particule v dont les masses se composent, et par suite pour Teifet de leur ensemble on peut supposer la masse de la sphère ainsi condensée.
La plupart des astres paraissent être à très peu près des sphères à densité régulière et par suite on peut sans erreur sensible assimiler chacun d'eux à un point matériel, soit qu'il s'agisse de ses attractions sur les autres, ou de son propre mouvement produit par celles des autres.
Cas où le point attiré H est à Vûttérieur du corps attirant. — Si ce point est extérieur mais devient infiniment voisin d'un point A
de la surface/l'attraction --- de la masse m placée en A croîtrait
à l'infini si réellement une masse finie m s'y trouvait concentrée : mais il n'en est plus ainsi quand elle est {répartie dans le corps d'une façon continue. L'attraction totale reste -alors finie même si H coïncide avec A. Il en est ainsi pour celle d'une couche plane indéfinie, car on a vu au numéro 82 qu'elle est indépendante de la position du point H.
De même s'il s'agit d'une sphère de rayon r, dont la masse est
l'attraction et le potentiel sont -, - -, quand H est extérieur, à la distance R du centre, et se réduisent à
s'il est à la surface.
Tous deux auront donc aussi une valeur finie et déterminée si H est intérieur à la masse attirante. Supposons par exemple que celle-ci soit une sphère S homogène, de rayon a, le point H étant intérieur, à la distance R du centre. Soit S' une sphère concen-
trique de rayon R, et S" le reste de la sphère S, c'est-à-dire une couche sphérique dont les rayons extérieur et intérieur sont a et R; on aura pour le potentiel total V -- V + V", V étant celui de S' et V" celui de S". Comme H est à la surface de S' on trouve comme ci-dessus
Ensuite partageons S'' en couches infiniment minces par des surfaces sphériques concentriques. Pour la couche dont les rayons sont r et r + dr la surface est éirr', le volume 4-rrr*rfr et la masse m - éirDrVZr; on a vu au numéro 82 que le potentiel à l'intérieur était , a étant le rayon désigné ici par r ; H étant intérieur à la couche son potentiel sera 47rDrrfr. En y faisant croître r de R à rt et ajoutant les résultats, nous aurons pour le potentiel de S"
V" =^ i-D rdr = 2;cD(a* — R«) ,
V = V -f- V" = "^ (Sa" — R») = rfi: (3a» — x*-f — l'j .
En outre l'attraction totale Q se réduira à celle de S', H étant intérieur par rapport à la couche S'' ; le point étant à la surface de S' on aura donc comme on Ta vu
47tDR ^■~ 3 •
Quand lejmnt H est intérieur au volume attirant les projections X, Y, Z de la force sont encore les dérivées du potentiel, mais r équation (D) du numéro 81 est remplacée par
Bien que ce soit en général exact quand la densité D varie
d'une manière continue, nous nous bornerons à le vérifier en la supposant constante.
Si le corps est la sphère S, la valeur ci-dessus de V satisfait identiquement l'équation précédente. En outre la force Q étant
dirigée vers le centre, ses cosinus sont — ^^y etc., et ses projections
X = — Q-p- = ^ etc.
Elles sont ainsi les mêmes que (-jr)) ^^C-
Supposons ensuite le corps quelconque, et soit S une sphère en faisant partie et contenant le point H. On aura pour le potentiel et les projections de la force
V == V + V", X = X' + X^ Y = Y' + Y", etc. ,
V, X', etc., correspondant à la seule sphère S, et V", X", etc., au reste du corps. Comme H ne fait pas partie de celui-ci nous savons déjà que
d«v" d^r d^r ^„ (dv\
IrT -*- dy^ + d^ -'' ^ = (l^h ''''
On vient de voir que pour la sphère
d'V d-\' , d'Y . ^ „ /dV'\
En ajoutant ces relations on trouve celles qu'il fallait démontrer, ou
d*\ , d'V d'V . ^ ^ /dV\
I? ■+■ dir« -^ dii = - *"°- ^=(dir''-
Évaluatio7i numérique de V attraction, — Il ne s'agit ici que de l'attraction universelle, dont la pesanteur est un cas particulier. Prenons pour unité de longueur le mètre, et pour unité de force celle du poids. L'attraction d'une particule sur un point ou un petit corps H est proportionnelle à leurs masses ou à leurs poids,
c'est-à-dire au poids jp du corps, au volume v de la particule et à son poids spécifique ^ ; elle peut donc être représentée par
kvSp
p étant leur distance et k une constante absolue. L'attraction de la terre, regardée comme une sphère à densité régulière, est la même que si toutes ses particules étaient placées au centre, ou
kpZvS
p étant la distance de H au centre.
Si H est à sa surface, p est le rayon terrestre r, et cette force est sensiblement le poids p du corps, d'où
On nomme densité moyenne de la terre son poids spécifique moyen, c'est-à-dire un nombre A tel que
A = vr- ^
fîTdésignant ainsi le volume T de la terre. Il en résulte
En mesurant directement dans l'expérience de Cavendish, l'attraction Q' d'une masse connue sur un petit corps H de poids /), on a
Où v\ 5', 0 correspondent à cette masse. Tout est connu dans cette relation sauf A ; en la divisant par la précédente k disparaît, et l'on peut tirer A du résultat. Sa valeur, déduite de plusieurs séries
d'expériences, est environ 5 ^-. En substituant A = 5-;r-, T=-t dans l'équation
on trouve
k 227cr' :|
7rr OU la demi- circonférence terrestre est 20,000,000, d'où résulte en nombres ronds
valeur ainsi indépendante de l'unité de poids.
Dans les numéros précédents la force élémentaire était supposée
-7 ou — . On voit qu'en remplaçant D par k$ l'attraction d'une
masse sera rapportée à l'unité de poids du corps attiré. Par exemple si un observateur est placé m
en M sur un plateau d'une grande étendue, d'épaisseur e, son attraction Z pourra être assimilée à celle d'un plateau indéfini; sa valeur trouvée 27rDe sera remplacée par
Z = 2nkSe. Pour le terrain on a en général S = 2 -^, et d'après
la valeur ci-dessus de k, en supposant e = 1000°*, on trouve environ Z = 0,0001. C'est la fraction dont la pesanteur sera augmentée ; elle est d'autre part diminuée par suite de l'accroissement d'altitude .
Les résultats d'ailleurs s'accordent mal avec l'expérience ; il faudrait supposer l'attraction Z beaucoup plus faible, et il en est de même pour celle des montagnes. L'erreur provient sans doute de ce que les densités intérieures du sol ne sont pas réparties audessous des montagnes comme au-dessous des plaines.
Attraction mutuelle de deux hémispMres. — Pour nous rendre compte du rôle que joue l'attraction dans la constitution des corps
solides, cherchons Tattraction mutuelle des deux moitiés d'une sphère de rayon a, de poids spécifique 5, le plan de séparation étant
horizontal Nous pouvons pour cela évaluer Tattracg /• tion deFhémisphère inférieur F sur chaque élément v du supérieur F, puis composer toutes ces forces entre elles, car elles sont évidemment réductibles à une seule, verticale et passant au centre 0. Mais il est plus simple de chercher d'abord pour tout point A de F' l'attraction de la sphère entière et non de F seul ; de cette façon nous comptons de trop l'attraction exercée sur A par les autres points B de F', mais ensuite en évaluant l'attraction totale sur B nous comptons aussi de trop celle de A sur B qui détruit la première. Pour l'élément A, en posant OA = r, l'attraction de la sphère se réduit à celle d'une sphère concentrique de rayon r, le reste étant une couche à laquelle A est intérieur. On doit supposer la
masse attirante transportée en 0, et son volume étant V -•= — — ,
l'attraction a pour valeur — ^ = -^ r: Nous devons la remplacer par sa composante verticale ; en prenant 0 pour origine, OZ vertiçal, le cosinus de son angle avec OA est — , ce qui donne pour
la composante —^ z.
Elle agit en A sur l'élément v^ et en désignant par P le poids de l'unité de volume du corps, celui de v est Pi;. La force absolue agissant sur v est donc
-^- X Pv ,
et pour l'attraction totale des deux hémisphères il en résulte
„ 4it/t8r ., Z = — - — \zv ,
la somme s'étendant à tous les éléments v de F.
Or 1.ZV = z, V, où V est le volume ^ de rhémisphère, et z^ l'ordonnée -r- de son centre de gravité, d'où usv = -. - ; en outre
P = èV\ V étant le poids d'un mètre cube d'eau ; il en résulte
Si l'on évalue Z en grammes, F = 10\ fe = 7= — — -, P'À;= ,-a.
Si par exemple la matière est du fer, 5 = 7,2, Z = 1 ,137a* ; de la sorte pour un rayon d'un décimètre l'attraction est d'environ
— de milligramme.
On voit que la force énorme s'opposant à la séparation des hémisphères provient uniquement de leur cohésion, et que l'attraction universelle ne joue aucun rôle dans la constitution des corps. En outre elle est négligeable pour les corps de petites dimensions.
85. Attraction d'nn ellipsoïde homogène sar un point intérienr. — Soient H le point; x^ y, z ses coordonnées par rapport aux axes de l'ellipsoïde; a, fe, c les demi-axes. En posant
son équation sera
Cherchons d'abord la droite HH' = R allant du point H à la surface, en fonction de ses cosinus a, p, 7. On a — ^ — = ^j ^^^m x\ y\ z' étant les coordonnées du point H'. En substituant
x' = X -h aR, y = y + pR, 2 = î +7R
dans réquation de la surface elle donne
où
G = /a* + 7np« +nf. G' = lax + m^y + n-fz ,
G" = Ix^ + my^ + nz' — 1 .
Il faut remarquer que la valeur de G" augmenterait si l'on faisait croître x, y, z dans un même rapport, ou si l'on déplaçait H sur la droite OH en l'éloignant du centre ; or quand H serait à la surface, G" serait nulle ; quand H est intérieur, G" est donc négatif, G positif, et des deux valeurs de R que donne l'équation cidessus, l'une est positive, l'autre étant négative doit être exclue. On a donc
— G' + }fW^^^'
Pour l'attraction élémentaire du volume v nous prendrons — j
à la distance p, ce qui revient à laisser de côté un facteur constant. Traçons une sphère t de centre H, de rayon 1, et partageons le volume en pinceaux coniques de sommet H. Celui qui correspond à l'élément o) de <t est encore partagé en volumes v = tù'^^do dont l'attraction sur H se réduit à c^dp. Pour tous les éléments d'un même pinceau ces forces ont la même direction et ne font que s'ajouter, ce qui donne
(I) I dp = (I)
La projection de la force sur OZ est >a)R. En désignant par X, Y, Z les projections de l'attraction de l'ellipsoïde entier sur les axes, prises en signe contraire ou dirigées vers 0, et remplaçant R par sa valeur, on aura
la somme 2 s'étendant à tous les éléments co de <7.
On peut toujours supposer les éléments a> répartis en groupes de deux égaux et diamétralement opposés, pour lesquels a, jS, y seront les mêmes en signe contraire. Pour ceux-là G, G", G'* et par suite le radical sont les mêmes, mais son produit par 7 est le même en signe contraire. Par conséquent, ce produit disparaît et d'après la valeur de G' on aura
X = tes ^- (D + wiyS 4?" » + ^*^ r ^'
(j bu
n est clair qu'on peut aussi supposer les éléments symétriques par rapport au plan mené par H parallèlement à celui des xy. Ils seront répartis en groupes de deux éléments égaux pour lesquels a et /3 sont les mêmes, y le même en signe contraire, et G le même ; ainsi les deux premiers termes de Z se détruisent. On calculerait de même X, Y, et l'on aura ainsi
X = Ax, Y = By, Z = C2,
en posant
n en résulte A -f B -(- C = 20 = 47r. Comme A, B, C sont indépendants de Xj y, isr, cette relation coïncide avec l'équation générale
en remarquant qu'on a supposé D = 1, et changé le signe de X, Y,Z.
Supposons menés par H des plans parallèles à ceux des xy, des xzet des yz] nous avons déjà admis que les éléments a> étaient symétriques par rapport au premier, et comme G est indépendant du signe de a, |3, y, il suffit d'étendre les sommes aux éléments
pour lesquels y est positif en doublant le résultat. Mais on peut supposer la même symétrie par rapport aux deux autres plans, et par suite
en n'étendant la somme qu'aux éléments pour lesquels a, ^^ y sont tous trois positifs.
D'après le numéro 77, on a en coordonnées polaires
a = sin 6 cos y, p = sin 6 sin y, y = *^^ ^ »
G = / sin* 6 cos* y + m sin* 6 sin* y + n cos* 6, w = sin 6^6^^ ,
et Ô et cp ne varient que de o à -^. De la sorte
C = 8 I ' ni cos* 6 sin 6^6, où I = | ^ -^ .
Or en posant
P = // sin* 6 + » cos* e, Q = /m sin* 6 + n cos* 6 ,
on peut écrire G = P* cos" <p + Q" sin' 9, où P et Q sont indépendants de cp. On en déduit, en divisant haut et bas par P" cos" (p.
dy 1 f'\ «'•(ptangy)
J^ P*cos*(p+Q*sin> PqJ^ i+^;tang*ç'
'intégrale indéfinie étant -5^ arc tang f ^ tang cp j , il en résulte
I = 2PQ. C = 4;r«J ^ p^^ .
OU, en remplaçant i, m, t^ par -^, —, -^ dans P et Q,
p j I 2 at cos* 6 sin 6^0
0 \' (a^ cos* e + c* sin* 6) (6* cos* 6 + c* sin* e)
— JÇ-
On en déduirait A et B par des échanges de lettres. Ces expressions se simplifient en posant cos 9 = e^, sin' ô = 1 — «**, sin OdO = — du, et renversant les limites. On trouve ainsi
A /^i bcu^du
C*«'({tt
/[(o» — 6«) tt« + *•] [(c« - 6») «* + 6»] '
/l abuyu , /[(«» - C) «' + c'î ["(6»'- c») u' +>
On peut effectuer l'intégration si deux demi-axes sont égaux ; supposons par exemple a = fe, et en outre c < a, de sorte que l'ellipsoïde soit de révolution et aplati. En posant
on aara
C r^ a*u'du ri (1 + \*)u'dtt
4i:' ~J . la' — c«>'"+ c' ~J , X'u' + 1 ~
«t en remarqaant que la formule A -f- B + C = 4-rr donne 4it — C
C = 4r (l +^) Tl - ~ arc tang xl •
Les valeurs générales de A, B, C restent les mêmes quand on fait varier a, b, c dans un même rapport, et par suite l'attraction sur un même point ne change pas quand on remplace l'ellipsoïde par un autre semblable et semblablement placé, les axes homolo-
gués coïncidant. Par conséquent, la couche comprise entre lea surfaces des deux ellipsoïdes n'exerce aucune attraction sur un point intérieur à toutes deux.
Cette propriété trouve une application dans la théorie de l'électricité ; celle-ci se répartit à la surface d'un conducteur de telle façon que l'attraction de la couche sur tout point intérieur soit nulle. Si la surface est un ellipsoïde la masse électrique recouvrant les divers éléments de surface sera donc la même que dans une couche comprise entre celle-là et celle d'un ellipsoïde semblable très voisin. Or en ce cas l'épaisseur est beaucoup plus grande aux extrémités d'un axe si son rapport aux autres est très grand ; c'est ainsi qu'on explique l'accumulation de l'électricité aux pointes.
Bemarque sur la grandeur respective des expressions A, B, C. — Nous avons trouvé
où
Il en résulte
^ = T» ^--Tf^ G = la' + mp' + nf .
Aa« — B6« = S ^' ^ ^' 0) .
On peut supposer les éléments (n distribués en groupes de deux symétriques par rapport au plan bissecteur des plans des jsfx et des zy ; pour ces deux-là y est le même et les valeurs de a et ^ sont échangées entre elles, de sorte que les deux termes correspondants de la somme S sont
en posant G, = ?/5* -(- ma* -f ny\
Cette expression se réduit à
a)(a^ — P') (G, — G) ft)(a« — p')« (m — /) GG, " GGi
et comme m — Z = — ^v^-, on voit que Aa* — B6* a toujours le
même signe que a* — 6' ; de même Aa' — Ce* a celui de a' — c\ Cette remarque est nécessaire pour ce qui suit.
Tout ellipsoïde de révolution aplati est une forme d'équilibre mobile pour une masse liquide homogène sur laquelle n'agit pas d'autre force que l'attraction mutuelle de ses parties, qv^and elle tourne d'un mouvement uniforme autour de l'axe de figure^ en donnant à la vitesse angulaire une valeur convenable.
On a vu au numéro 70 la condition que cette forme d'équilibre doit remplir; la résultante de la force centrifuge et de la force réelle agissant sur toute particule placée à la surface doit être dirigée suivant la normale.
La forme étant de révolution, il suffira de vérifier que la condition est satisfaite pour les particules situées dans la section du plan des zx^ en se bornant à celles pour lesquelles z %i x sont positifs.
La force centrifuge apportée à l'unité de masse est en général nV, 71 étant la vitesse angulaire et r la distance à Taxe ; pour ces points elle sera donc n^x. L'attraction doit aussi être supposée
agir sur l'unité de masse. Nous avons pris , pour celle d'un petit
volume v. Sa valeur réelle, si elle agit sur une particule de poids p^
est, comme on l'a vu, — |^-, 5 étant le poids spécifique du liquide
et k le coefficient j;-;:.
Si p correspond à l'unité de masse on a -- = 1 , et par suite le valeurs kx^ Gz^ trouvées pour les composantes de l'attraction
doivent être multipliées par le coefficient f ~ kèg. Elles sont dirigées dans le sens des coordonnées négatives, et n'x dans celui des X positifs. Par suite en tout point M de la surface les composante»
de la force totale sont
^ '^ En les représentant par MD, ME la conditioa
que leur résultante soit normale signifie que
ME /Cz
^ang % = - =
MI) (/"A — n*)x '
i étant l'angle aigu de la normale et de l'axe des x. Or l'équation de la section faite par le plan des xz étant
on a
dz c*x
dx a'z
En substituant cette valeur dans la condition ci -dessus elle devient
Jk -^n« ■" c« '
elle est ainsi indépendante de x et z, et sera satisfaite en tout point de la surface si la vitesse angulaire n est telle qu'on ait
/•c'C = (M - n«)a', ou -^ ^ ^'' , ' .
Or ce sera toujours possible quand l'ellipsoïde est aplati, car on a alors a* > c', et comme on l'a va Aa* — Ce' est positif.
86. Attraction d'un polygone ou d'un polyèdre sur un point H. — P Attraction d'une aire plane quelconque C. — Prenons son plan pour celui des (vy ; soit HO = fe la distance du point H à ce plan et plaçons l'origine à son pied 0. Désignons.
par X, Y, Z les projections de l'attraction totale, prises dans le sens des axes positifs. Nous admettrons que l'attraction d'un élément V de l'aire soit représentée par -^, p étant sa distance à H.
Au numéro 82 nous avons pris ^ pour cette force, et nous avons
trouvé ^ pour la composante normale, dirigée de H vers 0. En remplaçant p par 1 nous aurons donc Z = — s, s étant, sur une surface sphérique t de centre H et de rayon 1, la portion interceptée par un cône de sommet H, ayant Taire C pour base ; nous la nommerons VamplitvÂe sphérique de Vaire vtie du point H. On a a;, y pour les projections de p sur OX, OY, et par suite
pour les cosinus de la force ? ' 9
il en résulte
xdxdy
-. En remplaçante par da^y
ydxdy 1^
les sommes s'étendant à l'aire.
Pour trouver Y intégrons d'abord par rapport à y, en remarquant que
p2 = ÔH* + Ôîi^ = /i« + a;» + y\ ,orfp = ydy ;
nous aurons ainsi, x restant constant,
p et p" étant les distances de H aux points B, B' où l'ordonnée y correspondant à la valeur de x coupe le contour. Nommons dSy ds' les deux petits arcs interceptés en B, B' entre cette ordonnée et celle qui correspond à x -\-dx; tous deux se projetant sur dx on Sidx = ds cos i ~ ds' cos i', i et i' étant les angles aigus de la tangente en B, B' avec l'axe des x, ou de la normale avec l'axe des y. Mais si nous convenons de mener la normale du côté intérieur au contour, et de prendre pour i ou i son angle avec l'axe des y posi-
tifs, i sera obtus, i' aigu, de sorte que da; = — cos i e2s, et la portion de Y qu'exprime dx Ç^l pourra s'écrire
^ COS 1 H ^ C08 t .
Si le contour n'est pas convexe l'ordonnée AB pourra le rencontrer en plus de deux points, leur nombre étant pair ; si c'est par exemple en quatre points, il est clair que le résultat précédent serait augmenté de deux termes analogues
ds" ... . rfs" P p"""
„, cos t"H — - cos r'
Soit que le contour soit ou non convexe, en ajoutant ces termes pour tous les éléments dXy le résultat sera le môme que si l'on
ds
ajoutait pour tout le contour les valeurs de — cos (3, ds étant un
de ses éléments, p sa distance au point H, et /3 l'angle de la normale intérieure avec l'axe des y positifs; cet axe d'ailleurs est quelconque et la projection X se trouverait de la même manière, n en résulte
X = S — cos a, Y = X — cos S»
a étant l'angle de la normale intérieure avec l'axe des x positife. 2° Attraction d'un polygone. — Si l'aire C est un polygone, les sommes qui expriment X, Y se composeront d'un nombre fini de portions correspondant à chaque côté. Pour l'une d'elles a et ^ étant constants, les termes correspondants de X, Y seront /*cos a,
fcos^j en désignant par /* la somme 2 — étendue au côté. Ce
sont les projections d'une force f dirigée suivant la normale intérieure, et que nous nommerons pour abréger la force dtie au côté. De la sorte X, Y sont les sommes des projections des forces /"dues à chaque côté. Par conséquent, en supposant toutes ces forces
appliquées au point H parallèlement aux normales intérieures, et leur joignant la composante normale $, nous aurons un ensemble de forces constituant l'attraction totale et que nous nommerons les forces^ dites au polygone,
3® ValetiT def. — Menons le plan de la figure par un côté AB et le point H ; soient p = HD sa dis- m h.
tance au côté, et A, B les angles HAB^
ds . . .
HBA. Cherchons d'abord la somme 2 — 1 dm a
étendue à la portion DA ; soit DHM = cp, M étant la position de ds ; en comptant s du point D on a
p s = DM = p lang œ. p = HiM = -
'^ ^ * cos y
d'où
ds d^ d.sm f /
p cos CP
1 — sin' (p \1 -f- sin y 1 — sin ç/ ^
J* (Is 1 /i + sin (p\ y" "2" -Il -sin^j'
et comme y croît de o à -^ — A , cette expression entre les limites, devient
i , /l H-cosA\ i , /'2cos'^\ / A
T ' (r=7os a) = ¥ '' (, sin^ÂJ = ' r-^-
Ensuite pour avoir f dans le cas où D tombe entre A et B, il faudrait ajouter la somme analogue I — ou n cot — j qui correspond à DB. Si D tombait sur AB prolongé du côté de B, il faudrait retrancher la somme relative à DB, qui serait
,/ HBD\ ,/ 7c — B\ , \
cot.^
ce qui revient encore à ajouter l ( cot -^1. Ainsi on a dans tous les
cas
cot
/• = /.|cot
On peut aussi l'exprimer au moyen des côtés HA = 6, HB = a, AB = c. Pour cela on a
a* = 6* -h c' — 2fec cos A, cos A = ^ ,
d'où
l + cos A ^^^ - ^^ ,
l — cos B = - — ^ = ^^ — - - o — ^ ;
i 4- cos A sin B A B sin B (« + 6 4- c)a
r-, X -, - = COt -^ COt --- = -r-j X ^^ TT (t '
sin A 1 — cos j3 2 ^ sin A {a -^ h — c)6
d'Où
4° Attraction d'un polyèdre sur un point H, — Cherchons d'abord l'attraction d'un volume conique ayant pour sommet H et pour base Taire plane C, considérée précédemment. Partageonsle en cônes élémentaires ayant pour sommet H et pour base chaque élément v' de Taire ; partageons encore l'un de ces cônes par des plans parallèles à celui des xy et prenons pour Télément v de volume la portion comprise entre les sections ayant pour ordonnées ^ et ^ -f- rf^ ; on peut Tassimiler à un prisme oblique de sorte que V = coc?^, o) étant sa 6ase ou une section du petit cône ; celleci est proportionnelle au carré de la distance au sommet, de sorte que
r et 0 étant les distances de H à w et v\
Nous admettrons que Tattraction du volume t; à la distance r est
-, ; cette force est donc ^ , ou ^ dz: pour tous les éléments v d'un
p2 ^.2 ^^2 7 sr
même cône ces attractions élémentaires ont la même direction et ne font que s'ajouter, ce qui donne en tout
— - lidz = — - A .
Si donc on compare l'attraction du petit cône et celle de l'élément v' telle que nous Tavons employée précédemment, elles ont la même direction et le rapport constant k Par conséquent l'attraction du cône total s'obtiendra en multipliant par h celle de l'aire, ou toutes les forces dues au polygone, si l'aire en est un.
Pour en déduire l'attraction d'un polyèdre, supposons-le d'abord convexe. Si le point H est intérieur l'attraction est la réunion de celles des pyramides de sommet H ayant pour bases les faces, et par suite des forces dues à chaque polygone, multipliées par la distance h du point H à son plan. Si le point est extérieur, il en sera de même, sauf que les attractions dues aux faces visibles depuis le point H, au lieu d'être ajoutées, devront être retranchées.
Il est aisé d'étendre cet énoncé aux polyèdres convexes ou non, soit que H soit intérieur ou extérieur. L'attraction totale est la réunion des forces dues à chaque face ou chaque polygone, multipliées par la distance h du point H à son plan, celle-ci étant prise avec le signe -f- si elle tombe dans le sens de la normale intérieure au polyèdre, avec le signe — dans le cas contraire.
