DE SOLIDES

87. I^oi des aires. — Bien que nous ayons à nons occuper spécialement des solides, nous devons commencer par une loi qui s'étend à un système physique ou un assemblage de matière quelconque. Partageons-le en portions de masse w, m', m\ etc. Soient rr, y, Zj oi^ y\ etc., les coordonnées de leurs centres de gravité, et X, Y, Z, X', Y', etc., la somme des projections des forces agissant sur chacune d'elles. Les équations du mouvement du centre de gravité de la première sont

dl* dt* dt^ ^ dt^ ^

En ajoutant cette équation et ses analogues pour les autres masses, on aura

S^C^'î'-V^'^)^,, où o = I(^Y-yX),

de sorte que g est la somme des moments par rapport à l'axe des z des forces agissant sur les centres de gravité. Considérons spécialement l'action mutuelle des masses m, m', faisant toutes deux partie du système. D'après le principe d'égalité de l'action et de la réaction les sommes de moments pour les forces exercées par m sur m', et par m' sur m sont les mêmes en signe contraire. Les moments qui entrent dans t ne sont pas ceux-là, puisqu'on y suppose toutes les forces transportées au centre de gravité ; mais

comme on l'a vu au numéro 48, on peut prendre pour m, m' des éléments de masse, considérés comme formés d'une matière continue, et en môme temps assez petits pour que toute force agissant sur l'un d'eux puisse sans erreur être supposée appliquée au centre de gravité. Les moments auxquels s'étend la somme a deviendront alors les mêmes que les autres et se détruiront. Toutes les forces intérieures disparaissant ainsi, on ne devra compter dans a que les moments des forces extérieures.

On trouverait des relations analogues entre x etz, y et ^, et leur ensemble constitue la loi des aires. Celle-là et la loi du mouvement du centre de gravité d'un système sont les seules où les forces intérieures disparaissent, et qui s'appliquent par suite à un système de nature quelconque.

La loi des aires reste la même par rapport à des axes mobiles, ayant pour origine le centre de gravité du système, et parallèles aux axes fixes. En effet, par rapport à ceux-ci soient x,, y^ les coordonnées du centre de gravité, tandis que a;, y sont celles de l'élément m relatives aux axes mobiles. En remplaçant x^ y par

x-^ x^^y-\-y, dans l'équation des aires, i/mx ^se changera en

lm{x + x,^ - ^^^]r2^«J = Y.mx -J^ + x,Sm ^ + Ji Smx + x, -J,» Im.

Or l'origine étant au centre de gravité, on a

^mx = 0, Ltny = o, 2m —- = o .

En outre im = M, masse totale du système. En transformant de

de même imy -, l'équation devient

,^ (-'•!' - y''^) + M (^"-^/-i^.)! = s(xY -, X) + x.i:y - y.SX .

Le centre de gravité se meut comme un point matériel de

masse M, auquel serait appliquée une force f, , résultante de toutes les forces extérieures agissant sur le système, transportées parallèlement. Ses projections seraient par suite 2X, ZT et les équations du mouvement du centre donnent ainsi

De la sorte lés termes contenant x^ , y^ se détruisent et l'équation

ci-dessus prend la même forme que par rapport à des axes fixes.

S'il n'y a pas de force extérieure, l'équation s'intègre et donne

^^ /xdy — ydx\

Ltn I — — I = const.

Or, comme on l'a vu au numéro 57, /— ^"7---) est la dérivée

-^ de l'aire u décrite par la projection du point sur le plan des xy. L'équation prend ainsi la forme

-j- Lmu = const.

Par conséquent, si aucune force eodérieure n'agit sur le système, la somme des produits de chaque élémsnt de masse par Voire que décrit sa projection sur un plan fixe, varie proportionneUement au temps. Le même résultat aura encore lieu si, le plan étant celui des a^j on a 2(a;Y — ^X) = o, ou si les forces extérieures ont un moment nul par rapport à l'axe des z.

Supposons par exemple que le système soit un plateau de balance contenant des corps pesants et suspendu à un point fixe par un fil lui permettant de tourner sans résistance. En prenant le plan des xy horizontal les forces extérieures, qui sont la pesanteur et la tension du fil, auront un moment nul par rapport à l'axe des z vertical. Ainsi le mouvement de rotation du plateau ne pourra être modifié à moins que l'un des corps qu'il contient ne tourne sur lui.

.^Af ■■ m.

Le système solaire, en négligeant Tattraetion des étoiles, n'est animé d'aucune force extérieure, de sorte qu'on a pour lui

S« (?^^) ^ eonst.

en prenant pour origine le centre de gravité total. En outre, la portion de la somme relative à l'un quelconque des astres du système peut comme ci-dessus être transformée en

M étant la masse totale de l'astre, x,^ y, les coordonnées de son centre de gravité, et o la somme

étendue aux éléments m de l'astre, a;, y pour.chacun étant relatifs à son centre.

Le moment des forces extérieures agissant sur chaque astre est nul par rapport à son axe de figure, imperceptible par rapport à un axe mené par son centre et perpendiculaire au plan de Técliptique. Si donc on prend ce dernier pour celui des a?y, cr en appliquant à l'astre la loi des aires sera constant pour chacun séparément, et pourra être supprimé dans la somme totale, où n'entreront plus pour chaque astre que x,^y,. C'est la forme sous laquelle se présente la loi des aires quand on ^assimile chaque astre à un point matériel.

88. Principe de d'Alentbert* — Ce principe a pour but de trouver les équations du mouvement d'un système, connaissant ses conditions d'équilibre. Le système se compose de solides théoriques ou indéformables, liés entre eux d'une manière quelconque. En outre, on reconnaît qu'un ensemble de forces extérieures est en équilibre, ou qu'elles se détruisent mutuellement, à ce que leur

action simaltanée ne modifie pas le mouvement. Les relations qu'elles doivent avoir entre elles pour cela sont en général les mêmes qui produisent l'équilibre en statique, et pour abréger nous les nommerons les conditions (E). Ce sont des relations entre les projections X, Y, Z, X', etc., des forces extérieures appliquées aux éléments de masse w, w', m'\ etc.

Admettons que le mouvement soit produit par un système F de forces extérieures f] f\ f\ agissant sur w, m\ w", etc. Nommons 9 pour l'élément m une force qui aurait pour projections

fit - ,— , tn - - -, m -- ,

dt* dt* dt*

ces quantités étant calculées d'après le mouvement qu'il a réellement ; cette force, si le point était libre, Ini donnerait ce même mouvement; soient cp', cp" ... pour m\ m" ... les forces analogues qui leur donneraient, s'ils étaient libres, le mouvement réel. S'il n'y a pas d'autre force, mais que les points soient liés entre eux, ces liaisons ne gêneront point le mouvement, et ils le prendront encore. Mais elles n'agissent pas^ et à la place du système G des forces cp, <p' ..., c'est le système F qui agit, produisant le même mouvement que G. Soit G' le système des forces — ep, — 9', — cp"... appliquées aux mêmes points que ç, (p', <p" ... auxquelles elles sont égales et opposées. Le mouvement dû au système F n'est pas altéré en lui joignant les systèmes G et G dont les forces se détruisent deux à deux. D'autre part, le système G seul produirait ce même mouvement ; donc l'ensemble des forces F et G qui lui sont adjointes a un e£fet nul, et par suite elles ont entre elles les relations propres à l'équilibre. Elles se composent defet — cp appliquées à m, àefet — cp' appliquées à m', etc. Pour — cp, — cp', les projections

sont — m -T^, etc. ; pour f, f ... désignons-les par A, B, C, A', etc. Pour/* et — cp réunies elles seront

d^x rf*t/ dH

et poar les antres points leur valeurs sont analogues. Puisque ce sont les projections de forces en équilibre, les conditions que nous avons appelées (E) seront satisfaites en y remplaçant X, Y, Z par les expressions précédentes, et X', Y', Z', X" ... par leurs analogues. Ces équations deviendront ainsi celles du mouvement. Il est plus simple d'employer ensuite les lettres X, Y, etc., au lieu de A, B, etc., ce qui revient à remplacer de suite

X par X — m - -, Y par Y — m -~, etc.

Il faut remarquer que la signification nouvelle de X, Y ... n'est plus alors la même ; au lieu de forces indéterminées appliquées à tous les éléments, ce sont les projections des seules forces extérieures qui agissent réellement.

La règle pratique précédente constitue le principe de d'Alembert. On en déduit aisément entre autres les équations du mouvement d'un solide, et nous verrons en outre qu'elles sont une conséquence immédiate de la loi des aires.

Premier cas. Le solide ne petit que tourner auiUmr d^tm aœe. — La seule condition d'équilibre est que la somme des moments des forces par rapport à l'axe soit nulle, ou qu'en le prenant pour OZ on ait 2(a;Y — y\) = o. Par le principe de d'Alembert il en résulte l'équation du mouvement.

..("^ï^«), >,.,, XV

Second cas. Le solide ne peut que tourner autom d'un point fixe 0. — Le point étant pris pour origine, il faut et il suffit alors pour l'équilibre que la somme des moments des forces soit nulle par rapport à OZ, et qu'il en soit de même par rapport à OX, OY ; la

première condition donnera le résultat ci-dessos, et les deux autres sont analogues. Les équations du mouvement sont ainsi

£♦» (^^^^rf^) = S(yZ - *Y) ,

^. ) = £(.X-xZ).

(^V^Vï('V-,«.

Trotsièw6 eos. Le solide est entièrement libre. — En prenant à volonté l'origine 0, l'équilibre exige d'abord les trois mêmes conditions, qoi donneront pour le mouvement les trois équations précédentes, n faut en outre pour l'équilibre que les sommes des projections des forces soient nulles, ou qu'on ait 2X = o, etc., ce qui donne pour le mouvement

Sm^=EX, 5;taÇ,=2Y, Sm|? = £Z.

Autre démonstration. — En désignant par M la masse totale par x,,y^y z^ les coordonnées du centre de gravité, on a

ïmx = Mx,, ï,m — = M -r J, etc.

et les trois équations précédentes expriment la loi connue du mouvement du centre de gravité. Les trois autres équations pour un solide libre sont celles de la loi des aires, sans changement.

n en est de même pour le second cas où le point 0 est fixe ; la loi des aires est applicable pourvu qu'on regarde le corps comme libre, en substituant au point 0 la force qu'il exerce ; mais les moments de cette force appliquée à l'origine étant nuls^ ceux qui forment le second membre restent les mêmes.

Dans le premier cas, où il y a un axe fixe, on peut lui substituer deux points fixes 0, 0', et à ceux-ci les forces qu'ils exercent ; le corps sera alors libre et la loi des aires applicable, ce qui donnera l'équation trouvée en prenant 00' pour axe des z ; les forces appliquées en 0, 0' disparaissent du résultat, leurs moments par rapport à OZ étant nuls.

Nous avons vu que la loi des aires restait exacte en prenant pour origine le centre de gravité du système. Il en sera donc ainsi pour un solide ; les équations des aires étant celles du mouvement de rotation autour d'un point fixe, on voit qu'un solide Vibre tourne uînUmr de son centre de gravité comme si celui-ci était flooe^ les forces extérieures restant les mêmes.

Les six équations du mouvement d'un solide libre ne dépendent que des sommes des projections des forces sur les axes, et de <5elles de leurs moments par rapport aux axes. Par conséquent, reflet de deux systèmes de forces équivalents, tels que nous les avons définis en statique, est aussi le même quand il s'agit du mouvement, les six sommes précédentes étant égales pour chacun d'eux.

Remarques sur le principe de d'Alenibert — P On l'exprime quelquefois en disant que les forces extérieures font équilibre aux forces dHnertie; on désigne ainsi celles dont les projections sont

- «î ^, etc.

2° Il semble résulter de ce principe que les conditions d'équilibre du système sont satisfaites par les forces extérieures seules si les masses de chaque solide so?it négligeables^ car il en est alors de même des forces d'inertie.

Ce résultat peut se démontrer directement en remarquant que chaque solide peut être supposé libre en remplaçant les obstacles à son mouvement par des forces. Or l'équation

du mouvement du centre de gravité se réduit à 2X =o si la masse M est négligeable. On déduirait de même des autres équations du mouvement que les sommes des moments des forces extérieures sont nulles, en comprenant parmi elles les forces des contacts. Or les conditions précédentes, satisfaites pour chaque solide séparément, sont celles de l'équilibre de leur ensemble.

Cet équilibre existe seulement entre les forces extérieures ayant une grandeur finie, celles qui seraient proportionnelles aux masses comme la pesanteur étant négligeables.

Ce qui précède est applicable à des solides formant une chaîne infiniment mince et légère, et s'étend par suite à un fil de masse négligeable. La tension y restera donc constante d'un point à un autre comme cela a lieu dans l'état de repos.

3® Nous avons admis que des forces ayant un effet nul pendant le mouvement se feraient équilibre en agissant seules sur le système en repos. Or ce n'est pas exact sans exception. Si par exemple deux forces /*, f égales et directement opposées tendent à séparer deux corps appuyés l'un contre l'autre, il se peut que d'autres forces agissant outre f et f^ les corps restent appuyés pendant le mouvement. L'effet defetf est alors nul, sans l'être à l'état de repos quand ces forces agissent seules.

Ces exceptions n'ont pas d'importance, car nous avons démontré les équations du mouvement d'un solide sans employer le principe de d'Alembert', et il en sera de même plus tard pour celles d'un système, qui se trouveront d'ailleurs conformes à ce principe.

89. Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe. 2. Pendule composé. — En prenant l'axe pour OZ^

N-..^M nous avons trouvé pour ce mouvement l'équation

Pour un point quelconque M^ soient r sa distance MN à l'axe^

projetée en OM' sur le plan des xy^ et <p l'angle polaire de OM' ; les coordonnées x^ y sont les mômes pour M et M', savoir

j; = r cos y, y = r siii y .

Gomme r reste constant pendant le mouvement on a

ix . d(p dy d(p

dt ^ dt dt ^ dt

Or -^ est la vitesse angulaire u pourvu qu'on la regarde comme

positive quand la rotation a lieu dans le sens direct, ou celui dans

lequel y augmente, et comme négative pour l'autre sens. On a

a donc

dx du

d'où

2m (y ~" y ] = lm(ux' -+- uy^) = ttlm{x' + y*) = uC ,

C étant le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe. L'équation du mouvement peut s'écrire

fx étant la somme des moments des forces extérieures par rapport à l'axe. Elle se réduit ainsi à

(C«) = ,.. ou ^ = -^.

On nomme . V accélération angulaire; elle est égale au rapport du moment des forces au moment d'inertie.

Dans le mouvement rectiligne d'un point, v étant la vitesse,

f la force, m la masse, on a -:j- = -- ; -r- ^st l'accélération ana-

' ' ' dt m ^ dt

logue à -^. L'effet de la force dépend alors de son intensité f;

pour la rotation c'est de son moment fx ; de même dans ce cas c'est le moment d'inertie C qui remplace la masse. S'il devient deux fois plus grand il faut un moment double pour donner au corps la même vitesse angulaire.

Pendule œmposé. — On nomme ainsi un corps pesant assujetti à tourner autour d'un axe horizontal.

Menons le plan de la figure par le centre de gra- ^, vite G, perpendiculairement à l'axe, qu'il rencontre en 0 ; on le nomme plan d'oscillation.

Soient h la distance GO ; C le moment d'inertie du corps par rapport à Taxe ; 00' la verticale sur laquelle se trouve G dans la position d'équilibre; G' la position de G à un instant quelconque ; 6 l'angle GOG ou l'écart de la verticale, pris positif à droite, négatif à gauche ; m la masse du corps. Son poids niff appliqué en G est la seule force extérieure ; il a pour bras de levier

G'N = G'O m GOG' = h sin 6.

Son moment est u = — mgh sin Ô, parce qu'on doit le prendre positif quand il tend à augmentera, c'est-à-dire à gauche de 00', où 0 est négatif, tandis qu'à droite U tend à diminuer 0.

En même temps u = ; l'équation du mouvement est

du |JL d'6 mgh sin 6

dt ^ "C"' ^" IT'^ C •

Comparons ce mouvement à celui d'un pendule simple ; il en est un cas particulier pour lequel le corps se réduit à une seule particule de masse m' ; on a C = m'l\ l étant sa distance à l'axe, ou la longueur du pendule, et fe = /. L'équation devient ainsi

(i*6 fn'gl sin 6 fif sin 6

Par conséquent, les deux éqaations seront les mêmes, et le mouvement aussi, en choisissant l de manière qu'on ait

g mgh C

T = C ' '" ^^liTh'

Cette valeur de l se nomme la longueur réduite d'un pendule composé. La loi de son mouvement étant celle du pendule simple de longueur Ij il en est de même de la durée T d'oscillation, et l'on a

oc étant l'amplitude.

Comparaison des axes de suspension parallèles. — La quantité

1/ — pour tout axe se nomme le rayon de giration du corps.

D'après les exemples du numéro 80 — est une expression du second degré par rapport à l'unité de longueur, et par suite ce rayon est une ligne. Désignons-le par k pour un axe parallèle au premier et passant par le centre de gravité G, et soit C, le moment d'inertie correspondant ; h étant la distance de G au premier axe, on a comme on l'a vu au numéro 79, C = C^ + ^^^î ^^ outre

A: = 1/ —, d'où résulte

Cette formule est propre à indiquer comment varie l quand pour

un même corps on emploie divers axes de suspension parallèles, car k* est le même pour tous.

Le mouvement sera très lent si l'axe est très près ou très loin du centre de gravité, car la distance h sera alors très petite ou très grande, et dans les deux cas la valeur précédente de l et par suite celle de T sont très grandes, pouvant croître sans limite.

Leur plus petite valeur correspond à -^ = o, ou 1 — — = o, ou

B,k= k^et Ton a alors l — 2k.

Supposons qu'un second axe soit mené par 0' ; on dit que 0 et 0' sont des centres d'oscillation conjîigtsés, lorsqu'ils se trouvent en droite ligne de part et d'autre de G, à des distances OG = h, O'G = h\ telles que hh' = k\ On aura alors pour la suspension enO

et pour la suspension en 0', la longueur réduite serait aussi la même, ou la distance des deux points.

Mesure de la pesanteur. — La valeur de g se tire de la formule

— rIO+iï)-

Elle suppose, dans l'emploi d'un pendule composé^ la connaissance très exacte de T et 2 ; la précision est moins nécessaire pour a, les observations ne se faisant qu'avec des amplitudes de 3° au plus ; mais il existe de nombreuses causes d'erreur. L'effet de la résistance de. l'air ne peut s'évaluer en l'exprimant par une fonction de la vitesse ; cette résistance est compliquée par des remous qui la rendent plus intense pendant le mouvement de descente du pendule que pendant sa montée ; ils sont d'ailleurs modifiés par les objets voisins. Les valeurs de A, C, et par suite de l ne peuvent s'obtenir directement avec le degré de précision nécessaire ; les supports et les corps auxquels ils sont fixés ont un balancement imperceptible, etc.

On est parvenu toutefois, non à évaluer ces erreurs, mais à les éliminer, ou à en neutraliser l'influence au moyen d'observations combinées. Quant au frottement, non compris dans ce qui précède, nous allons voir comment on peut en calculer l'effet.

Le pendule est suspendu au moyen d'un couteau reposant sur une gouttière formée de deux plans peu inclinés. Comme on Ta vu

aa naméro 19, le tranchant doit être assimilé à un rouleau de friction^ cylindre de très petit rayon, dont Taxe forme l'axe réel de rotation.

L'amplitade étant très petite, de même que la vitesse da pendule, la pression totale du coateaa est toujours sensiblement la même qu'à l'état d'équilibre. Par suite la somme des frottements aux divers points de contact reste constante, de même que la somme de leurs produits par le rayon du cylindre, qui est pour chacun le bras de levier par rapport à l'axe.

Nous désignerons par ^j-G le moment total du frottement par rapport à l'axe, C étant le moment d'inertie, et le petit nombre a restant constant d'après ce qui précède. En ajoutant .uC au moment — mgh sin 0 dn poids, l'équation du mouvement devient

C — = — mgh sin 6 + (iC .

En nous bornant au cas de très petites oscillations nous pouvons négliger Ô', ou remplacer sin Q par Q. Soit l la longueur

réduite, n = 1/ j ; en substituant

mgh ^ £ G /

nous aurons

Le moment du frottement agit toujours en sens contraire du mouvement. Si nous supposons que pour t = o on ait & = a, 0 diminue pendant toute l'oscillation, le frottement tend à l'augmenta —

Khi. OUI LU jJb ^Ob ^VOlIfXl. JJJIl pUOCkllL '

s'écrire

ter, et par suite fx est positif. En posant -^ = e, l'équation peut

rf<. =-ne-.).

En l'intégrant et désignant par A et B des constantes, on trouve

6 — e = A cos «f -f B sin n/, ^- = — A n sin nt -f- B n cos nt .

dfi

Pour ^ = 0 on a 6i = a, — = o, d'où

B = 0, A = a — s, 6 — s = (a — s) cos ni .

L'oscillation se termine quand on a de nouveau = o, ou quand sin «f = 0, w< = -TT, t = tri/ — ; en même temps 6i - 6 = - (a - e),

Sans le frottement on trouverait 0 = — a, mais l'amplitude est diminuée de 2e, ou d'un très petit angle indépendant de a; la diminution est la même dans les oscillations suivantes. Par conséquent, le frottement n'altère pas la durée des oscillations, mais fait décroître leur amplitude en progression arithmétique.

90. nonvement d'un solide autour d'un point fixe. — Nous avons trouvé pour ce cas l'équation

xd^y — yd^x

J^-p-^'^V^lC-Y-yX)

et deux autres analogues, l'origine étant au point fixe 0. Leur forme est pareille à celle du mouvement autour d'un axe. Ce sont aussi, comme on l'a vu, les équations dn mouvement d'un solide libre autour de son centre de gravité. L'équation précédente peut s'écrire

f = ,.. oùS = v„(?'^!'.-!"^). ^ = I(.Y j,X);

ainsi ix est la somme des moments des forces extérieures par rapport à OZ ; Sa une forme pareille ; c'est par rapport à OZ la somme des moments des quantités de mouvement mv des divers

points, assimilées à des forces, leurs projections étant m -^^

du mdz dt^ dt

Soient OX', OY', OZ' les axes principaux du solide de même origine 0, et mobiles avec lui ; A, B, C, les moments d'inertie principaux ; X', Y', Z' les projections de la quantité de mouvement d'un point quelconque sur ces axes; X' n'est point exprimé par

m-r. af restant constant; mais d'après les projections a, |3, y de

la vitesse du point trouvées au numéro 42, on aura en remplaçant

X, y, z par ^, j^, si,

X' = m[i]7: — ry\ Y' = m(rx — pz), 7/ = m{py — qx\

Par suite la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à OX' sera

I(y'Z' - zT) = lfn[y(py — qx) — z\rx — pz^\ = = pYjn'^y^ + a'*) — qïumx'y — rïimx'z' = Xp ,

puisque les axes étant principaux on a

Par rapport à OY', OZ' cette somme serait de même Bg, O. Par rapport à l'axe OZ la même somme de moments a été désignée par S ; comme on l'a vu au numéro 14, il en résulte

S = ttAp + bBq + cCr ,

a, by c étant les cosinus des angles des axes mobiles avec OZ. L'équation du mouvement, [ou — = ^x devient ainsi

. dp ^ da . ^ dr , da ^ db ^ de

Les cosinus a, &, c sont par rapport aux axes mobiles les coordonnées d'un point L situé sur OZ à la distance OL = 1 . Il est

fixe dans Tespace, mais variable par rapport aax axes principaux

qui tournent autour de l'axe instantané 01 ; -r-, -7-, -rr sont les

projections de la vitesse de L relative à ces axes ; elles ne changeront pas si Ton suppose ceux-ci immobiles, OL tournant autour de 01 avec la même vitesse, mais en sens contraire. Les projections de la vitesse du point L seront ainsi données par les expressions a, |3, y du numéro 42, en y remplaçant x^ y, z par a, 6, c et changeant le sens de la rotation ou le signe de p,q,r] il en résulte

da . db de .

di -^-'^^ Tt"^'^'-''^ ^^aq-^hp,

€t Ton devra substituer ces valeurs dans l'équation du mouvement ci-dessus. Celle-ci d'ailleurs représente à la fois les trois équations du mouvement, en admettant que ,u, a, h, c correspondent tour à tour à OX, OY, OZ au lieu de OZ seul. En outre, quelque direction qu'on choisisse pour les axes fixes, les équations forment un système équivalent ; aussi est-il plus simple de prendre pour ces axes la position des axes mobiles à un instant donné. Pour la première équation, relative à OX, on aura alors a = 1, fe = 0,

€ = o\ les valeurs de -^, etc., se réduiront à

da db de

et l'équation du mouvement deviendra

A ^ - B(/r + Cr, = |i .

La somme de moments ^x correspond ainsi à OX' comme à OX. Les deux autres équations se déduisent de la précédente par des changements de lettres, et il en résulte les suivantes nommées les formules d'Euler :

OÙ fx, u!, '/ sont les sommes des moments des forces extérieures par rapport aux axes principaux.

Au numéro 44, nous avons défini les angles \|/, 6i, uf qui déterminent la position du mobile par rapport à des axes fixes quelcon ques, et nous avons trouvé pour les valeurs correspondantes &e

/? = 8in 6 sin y -^ + cos ç> — ,

dth dH

9 = sin 6 cos çp -p — sin ^ -j- ,

Ainsi les équations d'Euler sont en réalité du second ordre entre 0, cp, 4;, et p, g, r sont des variables auxiliaires.

Désignons par F la force vive de rotation, c'est-à-dire la somme Imv* étendue à tous les éléments de masse ; on a pour chacun V = upj p étant sa distance à Taxe instantané et u la vitesse angulaire. En outre, en désignant par oc, /3, y les cosinus de l'axe instantané par rapport |aux axes principaux, nous avons vu au numéro 79 que le moment d'inertie par rapport à cet axe est

D'après la définition de ^, g, r, on a a = -^, (3 = -2-, y = ~ d'où

F = Smp*t4» = M«Smp« = Ap« + Bç« + Cr«.