Cas oti les moments ,u, a, '/' sont; unis. — Il en
€St ainsi quand les forces extérieares sont nulles on se réduisent à une seule appliquée au point iixe. Il en est de même quand le solide est libre et que la force est appliquée au centre de gravité, en particulier s'il n'y en a pas d'autre que la pesanteur. Les formules se réduisent à
A -|- -f (C — B)(/r = 0. B -^ + (A - C^pr = 0 ,
En les ajoutant multipliées soit par p, g, r, soit par Ap, Bg', O, on trouve
d'où
Ap» + Bç» + Cr» = F, kY + B«g» + CV« = G* ,
F et G étant deux constantes positives ; F comme on l'a vu est la force vive. On peut tirer de ces intégrales deux des inconnues, par exemple^, g, et en les substituant dans l'une des équations, €lle prendra la forme dt = f{r)dr^ de sorte que la solution sera ramenée aux quadratures.
Mais il existe d'autres données simplifiant la solution. Soit H le point ayant pour coordonnées A^, Bj, Cr par rapport aux axes principaux, d'où résulte évidemment OH = G. Nous avons assimilé les quantités de mouvement à des forces ; à ce point de vue OH est le moment principal de leur système, puisque ses projections A^^ etc., sont les sommes des moments par rapport aux axes.
Les équations primitives du mouvement rentrent dans la forme
-- = tx, ou S = const., puisque p = o. Or nous avons trouvé
S = aAp + bBq -\- cCr ; S est donc la projection de OH sur un des axes fixes; puisqu'elle est constante pour chacun d'eux le
point H est immobile dans Tespace, De là résultent deux conséquences, l'une géométrique, Tautre analytique.
Conséquence géométrique. — Figurons la rotation par la droite 01 de sorte que p, q, r soient les coordonnées du point I, et soit par rapport aux axes principaux
l'équation d'un ellipsoïde accompagnant le mouvement du solide. Elle est constamment satisfaite en remplaçant a;, y, jsi par p, g, r, et par suite le point I est toujours sur la surface. Menons à tout instant le plan tangent en ce point ; les cosinus de la normale en tout point de la surface sont proportionnels à Ax, By, C^; en I ils le sont à Ap, Bg, Cr ou à ceux de OH ; par suite le plan tangent est constamment perpendiculaire à OH, et comme en outre le point de contact est sur l'axe instantané et a une vitesse nulle, ce plan est immobile dans l'espace. Par conséquent, le mouvement du solide est défini par celui de V ellipsoïde, qui roule sans glisser stir un plan fixe. La droite 01 allant au point de contact est l'axe instantané, et sa longueur est la vitesse angulaire.
Soient a, 6, c les demi-axes et a > 6 > c; 01 est toujours compris entre a et c. Si à un certain instant le solide tourne autour de OX', 01 coïncide avec a, et par suite avec la normale OH, et cela ne peut cesser d'avoir lieu. Si l'axe instantané est très près de OX' la distance du plan tangent à l'origine diffère peu de a et par suite 01 restera toujours rapproché de OX' et de OH. Ainsi la rotation autour de OX' est stable; si une cause faible change peu les constantes du mouvement, il continuera d'avoir lieu à peu près autour de OX'. La même démonstration s'appliquerait évidemment à OZ'; ces deux axes sont ceux auxquels correspondent le plus petit et le plus grand moment d'inertie.
Si l'on avait A = B = C, l'ellipsoïde deviendrait une sphère, le
point de tangence serait toujours sur la normale OH, et l'axe instantané serait immobile dans le corps et dans l'espace.
Si A = B, C étant différent, il est clair que pendant le roulement l'axe 01 décrira un cône de révolution autour de OH ; il en décrira un autre à l'intérieur du solide autour de l'axe de figure OZ' de l'ellipsoïde. Au reste, dans le cas général où A, B, G sont inégaux, ce dernier cône est encore du second degré, car les relations
donnent
^G'' — AF)Ap« + (G* — BF)Bç* + (G» — CF)Cr^ = o ,
OÙ jp, q, r sont proportionnels aux cosinus de l'axe instantané.
Conséquence analytique. — Nous avons vu au numéro 44 que les cosinus de l'axe fixe OZ qui était alors OZ' par rapport aux axes mobiles, désignés par a% h'\ c", avaient pour valeur
a" = sin 6 sin y, 6" = sin 6 cos y, c" = cos 6 .
Si nous prenons jOH pour OZ ils sont les mêmes que -rr-, -p,
-r-y d^où résulte
Ap = G sin 6 sin y, Bç = G sin 6 cos y, Cr = G cos 6 .
Supposons les équations d'Euler intégrées ; ^, g, r seront des fonctions du temps contenant trois constantes arbitraires, y compris F [et |G. Les équations précédentes détermineront 0, ç en fonction du temps ; elles n'équivalent qu'à deux formules distinctes, la somme de leurs carrés ou
A«p« + B V + CV» = G»
étant identiquement satisfaite. Ensuite on tirera ~ de la relation -^ -|- cos 9 -^ - = r, et \j; contiendra une quatrième constante. Il
doit y en avoir six eu tout et les deux autres sont celles qui déterminent la direction absolue de OZ ou OH. Celles-là sont données par les conditions initiales comme les autres, car on connaît pour i = 0 les valeurs de cp, \|^, 9 et leurs dérivées, et par suite py q, r et la position des axes.
AppUcaMon au cas où A = B. — La troisième équation du
dr
mouvement se réduit alors à = o, d'où r = const. Pour ne pas
multiplier les cas, remarquons qu'on peut toujours rendre r positif s'il ne Test pas en échangeant OX' et OY', et par suite aussi OX et OY.
La relation Cr = G cos ô montre que cos 6 est positif et 6 constant. Nous avons dû au numéro 44 le considérer comme un angle polaire, puisque dans certains mouvements, il peut varier constamment dans le même sens ; mais il faut remarquer qu'on pouvait choisir à volonté les deux sens OD, OD' de l'intersection des plans des a^y et des aft/ ; or on peut le faire de façon que 9 soit compris entre o et tt. Par conséquent, 6 sera aigu et positif.
Puisque 9 est constant, les valeurs générales de p^ q du numéro précédent se réduisent à
p = sin 6 sin 9 -/-, ç = sin 6 cos © -y- •
^ dt ^ dt
En les comparant aux relations
Ap = G siii 9 sin y, A5 = G sin 6 cos ç ,
on voit que ^ = -, La relation
dt A
rfœ ^ dà G cos 6
dt +""'^41
donne ensuite
J = l-i '-] G COS 6 .
On voit que nous n'avons pas employé les deux premières équations d'Euler, qui auraient d'ailleurs donné le même résultat. Les
vitesses angulaires ^, -J- sont constantes ; la première est positive comme r, ou le solide tourne autour de OH dans le même sens
qu'autour de OZ' ; mais -^ sera négatif si G > A ou si Fellipsoïde de révolution est aplati.
92. Mouvement d'un eorps i^esant an tour d'un point fixe. — Nous nous bornerons au cas où l'on a A = B, et où le centre de gravité G est sur l'axe OZ' à la distance positive 00 = h. L'axe fixe OZ sera supposé vertical de bas en haut.
Menons le plan de la figure par OZ et OZ' de façon que OZ' soit à gauche de l'autre ; l'intersection OD des plans des xy et des aft/ est perpendiculaire à celui de la figure. Supposons-la dirigée en avant et considérons comme direct par rapport à OD le sens de rotation indiqué par la flèche ; de la sorte l'angle ZOZ' = 9 restera compris entre o et t:.
Toutefois si l'on fait à tout instant cette convention, et que OZ' vienne à coïncider avec OZ et passer de l'autre côté, il est clair que la direction OD ainsi définie serait brusquement remplacée par son prolongement ; mais nous verrons que cela n'arrivera jamais pendant le mouvement, sin 6 ne pouvant s'annuler.
La force extérieure est le poids P appliqué en G ; il tend à faire tourner dans le sens direct par rapport à OD qui est par suite la direction de son moment principal. Son bras de levier est évidemment OG sin 0, ce qui donne b sin Ô pour le moment principal, h étant le produit positif Vh. Toutefois si d'autres poids étaient appliqués en divers points de l'axe positif OZ', il est clair que OD serait encore pour eux la direction de leurs moments principaux, et qu'on pourrait les comprendre dans la même valeur b sin 9. Les
moments ^, (Xj [k' se déduisent da principal 6 sin ô en le multipliant par les cosinus des angles de OD avec les axes. Ces angles sont
?> ? + -|-î -f ; îl ^û résulte
(jL = 6 sin 0 cos y, ji' == - 6 sin 6 sin ç , [i" = o . .
La troisième équation d'Euler, où A = B, se réduit ainsi à
dr
-— = 0, d'où r = const. Les deux autres sont
ai
An
A -yj- + (C — k)qr = 6 sin 6 cos y ,
A -^ — (C — A)pr = — fc sin 6 sin œ . at *
Ajoutons-les multipliées par sin cp, cos cp,*en substituant
dp (2 . p sin cp dcp
dq d . a cos CD , dtp
Nous aurons
d. . dç
A , - (p sin ç + g cos y) - A(p cos (p - g sin ç)-^- + (A - C)r(p cos y - g sin ^)=o .
En ajoutant les équations (1) multipliées par 2py 2q^ on trouve aussi
pdp '4- ado 2A ^^—\r^- = 26 sin 6(p cos (p ~ g sin y) .
On a
d^ (iO (2é . (i6
p = sin 6 sin y --^ + cos ç) —, g = sm 6 cos ç - 7 — sin ç --
p sm y + g cos y = sin 6 -^-^ p cos ç — g sin y = — ,
et les deux équations trouvées deviennent
4(-«^)+l(*'-'>-*iI)='-
La seconde, intégrée, donne
P' + 9* = — A cos 6 + const.
Nommons a la valeur initiale de 0 et pour abréger posons^ cos OL — cos 9 = ^. En remplaçant ^, q par les expressions cidessus dans J9' + g', le résultat prend la forme
crû k est la valeur initiale du premier membre. Dans la première des équations (2) on peut substituer
Ar=A(^^+cose^),
et en la maltipliant ensuite par sin d elle devient
I cin A ! L I l A cm A /»ac 14 ! -— ^ I .«■ cm fi
A sin e -r (sin 6 ^| -h A -^ sin Bcos 6-^ = Cr sin 6 ai \ dt dt dt
le premier membre est la dérivée exacte du produit A sin 9 x X sin 6 y ; le second est celle de — O cos 0 ou de Crz. D en
ai
résulte
OÙ a est la valeur initiale du premier membre.
En multipliant l'équation (3) par sin* B et substituant -^ tiré de la précédente, on trouvera
sin'
Si l'on pose cos 6 = a; l'équation a la forme '
Désignons par f[x) le second membre qui doit rester positif pendant le mouvement. Il est négatif quand x= + 1 et par suite, comme nous l'avons dit, sin 0 ne s'annulera jamais. En outre, il doit être positif pour des valeurs de x comprises entre ± 1 , et par suite l'équation f[x) = o doit avoir entre ces limites un nombre pair de racines ; ce ne peut être que deux a/, o(i\ entre lesquelles x ou cos ô ne fera qu'osciller.
L'intégration de la formule (5) fera connaître la loi et la durée T de ces oscillations pendant l'une desquelles d part de sa valeur maxima et y revient. Après ce temps, fi recommence à varier suivant la même loi ; il en est de même de -^ d'après la formule (4),
et de -^ d'après la relation
—f- = r — cos 6 7- .
dt dt
Le mouvement précédent est entre autres celui d'une toupie, en supposant sa pointe immobile. C'est aussi celui du gyroscope, c'est-à-dire d'un solide de révolution animé d'une excessive vitesse de rotation autour de son axe, et restant appuyé sur un point fixe, placé sur le prolongement de l'axe, de sorte que sa rotation, comme celle de la toupie, empêche le mouvement de chute.
Dans ce cas et d'autres analogues la vitesse angulaire J- est
très grande de même que r, tandis que les valeurs initiales de
.* , ^- sont faibles ou nulles, et par suite on peut en dire autant
de k et k'. Pour trouver en ce cas les caractères du mouvement, prenons z ou cos « — x pour variable au lieu de x ; de la sorte js oscille entre z' = cos a — ic', et /' = cos a — ai\ On a rf^r = — dz.
Substituant rc = cos a — -s?, et désignant par f[is) la nouvelle forme de la valeur (5) de f(x), on trouve
Or nous supposons r extrêmement grand, les nombres 6, A, G, k, Ky qui n'en dépendent pas, restant les mêmes. Si donc a avait une valeur un peu grande, le dernier terme, où ^ est multiplié par r, l'emporterait sur le reste, et f{z) serait négatif, ce qui est impossible ; par suite z est toujours très petit, et il en est de même de ^, /'. On voit en outre que rz conserve une valeur limitée. On a
COS a — k
etc.
Par conséquent, en désignant par y, /', — a les racines de l'équation f(z) = 0, elles satisfont la relation
ib
