tt = - - i -f const

dt k A '

La durée désignée par T est celle qui ramène 6 owz k une même valeur extrême, et d'après la relation

i = j" cos' u + z' sin" u ,

il est clair qu'en même temps u augmente de tt. On a donc

^ Cr ^ ^ ijck

Cette durée ayant r en diviseur est imperceptible ; il en est de même de ^, /' et par suite de cos a — cos 0, de sorte que 0 différera toujours très peu de sa valeur initiale. D'après la formule (4)

-^ aura une valeur moyenne constante affectée d'inégalités toutes

pareilles entre elles, de durée T, pendant lesquelles cette dérivée variera entre un maximum et un minimum pouvant être très différents. En laissant de côté ces inégalités, l'axe de figure décrira autour de la verticale un cône d'un mouvement uniforme.

93. Mouvement d'ane toaple dont la pointe repose «ans Trottement sur un plan horizontal. — Nous emploierons les mêmes dénominations qu'au numéro précédent sauf que l'origine 0 sera le centre de gravité du solide et h la distance OL, L étant la pointe ; l'angle ZOZ' ou 6 sera toujours aigu et positif.

Mouvement de transloMon. — Nous devons regarder le coi^ps comme libre, en remplaçant le plan horizontal par la pression normale Q qu'il exerce en L de bas en haut. Soient x, , y ^ z^ les coordonnées du point O par rapport à d'autres axes fixes, le plan horizontal étant celui

des x,^ y^ et 0^ la hauteur du point au-dessus de lui. Les seules forces extérieures sont le poids P et la pression Q toutes deux verticales, d'où résulte pour le mouvement du centre de gravité

M étant la masse totale. Ainsi la projection horizontale du point 0 se meut en ligne droite avec une vitesse uniforme. On a en outre évidemment z^ =li cos 6, d'où

r^ ^ ... rf'cos 6

et les lois du mouvement de rotation une fois trouvées, z^ sera connu.

Mouvefnent de rotation. — Le corps tourne autour du point 0 comme s'il était fixe ; le moment du poids est nul et l'on n'a à tenir compte que de celui de la force extérieure Q ; son moment principal est dirigé encore suivant OD perpendiculaire au plan de la figure en avant ; son bras de levier est h sin 9, et par suite les deux équations différentielles du mouvement de rotation seront les formules (1) du numéro précédent, avant toute intégration, en admettant que b désigne Qfe au lieu de Pfe, ou, ce qui revient au même, d'après la valeur de Q, en 'désignant encore Pfe par 6, mais remplaçant cette lettre dans les formules ( 1 ) par

Dans la première équation différentielle (2 , fe étaitjéliminé, de sorte qu'il en résulte la même intégrale (4) ou

dà Cr sin* 6 — n = -i- s + /c', où 2 = cos a — cos 6 .

L'autre était

(^' et A

,^^, + ,rf,, = Ç sin m

et se change en

En intégrant et remplaçant 2>' + q^ par sa valeur on trouve

sin

À' étant la valeur initiale du premier membre. En multipliant par sin' 6f et substituant la valeur de Jv tirée de l'autre intégrale, on a

(l + A« sm.. e) (-^) = s,n' e (- + *)- (^ + * ) ,

Le second membre* est la même fonction f(x) ou /(^) qu'au numéro précédent ; ainsi en supposant r très grand on verra de

même que z reste constamment très petit, ou que les variations

M de h sont très faibles, et comme le coefficient 1 + 4- ^' sin' 6 est

alors sensiblement constant, la nature du mouvement sera exactement la même. L'axe de figure semble décrire autour de la verticale un cône de révolution avec une vitesse uniforme, bien qu'il éprouve une suite d'oscillations très petites, qui nous échappent par leur rapidité, et pendant chacune desquelles la vitesse angulaire -^ varie entre un maximum et un minimum.

ai

De même si le déplacement horizontal du point 0 est nul, OL décrit aussi un cône et la pointe L trace une circonférence sur le plan horizontal. Celle-ci en réalité est affectée de sinuosités imperceptibles, et en outre si le point 0 avait un mouvement horizontal, il se composerait avec celui de la pointe.

94. Mouvemeiits de l'axe de la terre. — Soient x, j/, js les coordonnées d'un élément de masse m de la terre, rapportées aux axes principaux passant à son centre de gravité 0; x', y\ /,

par rapport aux mêmes axes, les coordonnées d'un point attirant H, représentant le centre de gravité d'un astre, et M l'intensité de son attraction sur l'unité de masse à l'unité de distance. Elle sera

Mm

— ,- pour l'élément w, p étant sa distance ; les cosinus de cette at-

traction élémentaire sont , etc., et ses projections — -^^-=

etc. On aura par suite pour les moments de la force extérieure par rapport à OX^ en supposant l'attraction d'un seul astre,

la somme s'éteDdant à tous les éléments m. En désignant par R la distance OH, on a

R' = x'» 4- y'»+ a'», p' = R' - %xx + yj>' + ulX -H (x» + »• + «»)

Nous supposons la distance R fort grande par rapport anx

dimensions de la terre. Par suite 4-> 4"? 4~8^^t au plus l'unité, et

-5-, -|-, -^r- de très petits nombres. Il en résulte