K K II
R' %x£ 4- yy' + »»' , „„
7 = ' + Rï — - + '*"••
les termes suivants étant an moins du second degré de petitesse, et
M „^ ry«' - ly' , 3(xg' + m' + »') Çy»' - ^')^
en négligeant dans la série les termes du troisième degré. Ceux du premier sont
et disparaissent, parce que l'origine étant au centre de gravité on a l.my = 0, imjs = 0. Les axes sont principaux ; par suite
^mxy — 0, ^mjz = 0, ï.myz = a.
et fx se réduit ainsi à
ou
A, B, C étant les moments d'inertie principaux.
Pour les sommes fx' ^i des moments relatifs à OY, OZ, on trouverait de même
Si la terre était ce que nous avons appelé une sphère à densité régulière, on aurait évidemment A = B = C ; les moments jut, f*', fx" seraient nuls, et la rotation suivrait les mêmes lois que s'il n'y avait pas de force extérieure. Mais sa forme est celle d'un solide de révolution légèrement aplati, de sorte qu'en prenant pour OZ son axe de figure, A et B seront égaux, C en différant très peu. En outre, on peut la regarder comme symétrique par rapport aux plans coordonnés, et il est évident que dans toute somme telle que 2wir*y*V, où les entiers i, i\ i' ne seraient pas tous trois pairs, les termes se détruiraient* Il en est ainsi pour les termes du troisième degré que nous avons négligés ; les valeurs de fx, \k^ fx", sont donc exactes au quatrième degré près.
En remplaçant B par A on a fx'' =s o, et en substituant les valeurs de fx, ji', \k' dans les équations d'Euler, la troisième se
dr
réduit à -^ = 0, d'où r = const. Les deux autres deviennent
A-| + (C-A),r=ii»^(C-A).
ËD posant
elles prennent la forme
En négligeant les seconds membres leurs intégrales complètes seraient
(2) p = F cos fi— G sin ft, g = F sin /"/ + G cos ft,
F et G étant des constantes arbitraires. Ces valeurs satisferont encore lès équations avec leurs seconds membres en supposant F et G variables et tels qu'on ait
dF dG . dF . ., , dG „,
F = Ay' cos ft — X' sin ft)dt, G = fl — X' cos ft — Y' sin ft)dt.
Ensuite des relations
. ^ . (hl , db
p = sin 6 sin ^ -p + cos y — ,
. ^ d'], db
q = sm 6 cos ç -p — sin (p — ,
on tire
sin 6 -T^ = p sin y + 9 cos '^, — = p cos îp — q sm y .
En y substituant les valeurs (2) de p^ g, et posant (4) ç + /-f = (p'
on trouve
d^ db
(5) sin 6 - 7 = ^ sin œ' + ^' cos œ', —- = F cos œ' — G sin œ'. c< * * ai ^
D est clair que r est sensiblement la vitesse angulaire du mouvement diurne ; les coordonnées rr*, y\ z sont donc rapportées â
des axes entraînés par une rotation rapide. Soient x^ y^z les coordonnées du point H par rapport à de nouveaux axes ne partageant pas ce mouvement ; ils se. déduiront des autres en les faisant tourner autour de OZ' de Tangle cp dans le sens rétrograde, OX venant de la sorte se placer sur l'intersection du plan des xy et du plan fixe. On aura ainsi is/ = ^, a;' = ic cos cp + y sin ^f», etc., et, d'après les formules (1),
X' = X cos 'f -f- Y sin '^, Y' = — X sin y + Y cos ^p,
en posant
\m\xz muy
En substituant ces valeurs de X', Y' dans les équations (3) on trouve
F = A Y cos y' - X sin (p')d^ G = Ç{-^ X cos y' — Y sin <pyt.
Les expressions X, Y sont d'une extrême petitesse, et il en est de même de -^, -j- ; en négligeant le second ordre par rapport à ces quantités, on pourra dans leurs valeurs, d'après la relation
dt ^^ dt
supposer
l étant une constante. Il en résulte, d'après (1) et (4),
(8) -y ou 2î + /"f = r'^ -f /. r' = r + /• = --^ r .
quantité très peu supérieure à r. En outre les axes actuels doivent être considérés comme fixes.
Il faut remarquer qu'aux intégrales (7) seraient ajoutées des
constantes quelconques P, G'. Les termes qui leur correspondraient dans les valeurs (5) de sin ^ -^> -ir seraient ce que deviennent ces expressions dans l'hypothèse où F, G resteraient constants, c'est-à-dire où M = o, X = Y = o, de sorte qu'il n'y aurait pas de force extérieure.
Or en ce cas nous avons vu à la fin du numéro 92 qu'en choisissant convenablement les axes fixes, Taxe de la terre ferait avec l'un d'eux OZ un angle 6 constant, et décrirait autour de lui
un cône avec une vitesse angulaire -i- = -. ;, r, qui serait ainsi
^ dt A cos 6
un peu plus grande que la vitesse angulaire r du mouvement diurne.
Cette inégalité se joindrait de la sorte à celles que produisent les attractions ; mais l'observation a montré qu'elle est absolument nulle, et par suite il en est de même des constantes F, G'.
Èvàltmtion approchée de V effet du soleil. — Prenons pour le plan de la figure celui des y^, Y de sorte que OX, dirigé en avant, soit l'intersection du plan des xy^ c'est-à-dire de l'équateur et du plan fixe qui sera l'écliptique.
Soient af^ y, / les coordonnées de l'astre attirant relatives à de nouveaux axes, ceux-ci étant déduits des autres en les faisant tourner de l'angle f) autour de OX dans le sens rétrograde, de façon que OY' soit sur l'écliptique. Nous aurons
X = x\ y = t/' cos 6 H- z' sin 6, « = — t/' sin 6 + 2' cos 6 .
Si l'astre est le soleil / = 0 ; nous supposerons en outre, ce qui diffère peu de la réalité, qu'il décrit autour de la terre une circonférence de rayon a d'un mouvement uniforme. De la sorte
r = a cos[nl -j- g)^ y = a sin(M/ + 9) ?
net g étant des constantes. On aura alors dans les formules (6) R = a, et on doit y substituer
X == a cos {nt + g), y = a cos Q sin {nt + jf), z = — a sin G sin {nt + g).
En posant
(9) — ^ = jj,, ft sin 6 cos 6 = a ,
on trouve ainsi
X = — 2(1 sin 6 sin {nt + g) cos {ni + ^), Y = — 2a sin' (^ni + g) ,
OU
X = — (t sin e sin {int + 2flf), Y = a cos (2w( + 2^) — a ,
Si l'on substitue le seul terme Y = — oc, en remarquant que ^' = r't + l. les formules (7) et (5) donneront
a sin c
ou
a cos ffi' rfô
dfl sin 6 -,< -
d^ (i cos 0
et 0 pouvant être supposé constant dans cette expression, l'angle \{^, en vertu de ce seul terme, varierait proportionnellement au temps,
dans le sens rétrograde, puisque ^ est négatif.
Si Ton substitue le reste des expressions X, Y, où entre 2nt r 2g sous les signes sinus et cosinus, il est clair que cet angle y entrera encore dans les intégrales et dans les expressions (5) ; on pourrait même vérifier que dans celles-ci il entrera seul, cp' ayant disparu. En intégrant de nouveau pour trouver 0 et vp, il en résultera des termes variant périodiquement avec le temps en restant toujours très petits. Ainsi la ligne des nœuds, dont \j^ est l'angle polaire, se déplacera d'une vitesse sensiblement uniforme, avec de légères
inégalités, et celles-ci existeront seules pour 0 qui restera presque constant.
Le mouvement du nœud se nomme la précession. On pourrait l'évaluer numériquement pour Tefifet du soleil seul, en remarquant que le nombre M dans la formule (9) a la même signification que la quantité /"M ou A;' ==• /"(M -f- m) employée au commencement du numéro 6 1 , de sorte que
En outre à la fin du même numéro on a trouvé —r = r^, . T étant
fl' T*
l'année. En substituant u = , et en outre / ou r =^, T' étant
la durée d'un jour, on a
,„ d'j> |i cos e „ .. , , T' 37tX eus 6
pour l'angle T .^- décrit en un an par la ligne des nœuds.
Indication de la solution exacte, — L'effet de la lune s'ajoute à celui du soleil, et en employant les valeurs exactes de X, Y, que nous ne pouvons développer ici, on arrive aux mêmes conclusions : '\f varie d'une manière uniforme, et ô reste constant, avec de légères inégalités périodiques pour chacun.
Il n'en serait pas ainsi et 9 varierait également d'une façon continue si le plan de l'orbite lunaire était immobile ; mais il tourne en dix -huit ans autour de la normale à l'écliptique, ce qui convertit le changement continu de 0 en une inégalité périodique de même durée, nommée nidation.
La précession annuelle observée est d'environ 50"; c'est la
valeur de T - ^ et par un calcul analogue à celui que nous avons fait ci-dessus pour le soleil, on en déduit
X ou -"7 - == 0,00:J29 , A ». »
ce qui détermine le rapport des moments d'inertie principaux de la terre.
95. Première forme des équations du mouvement; d^un système de solides. Applleatlon â la maehlne d'Atwood. — Tout solide en repos ou en mouvement, comme on Ta vu au numéro 21, peut être considéré conmie libre en remplaçant les obstacles à son mouvement par des forces.
La première forme des équations du mouvement se composera ainsi de celles de chaque solide séparément, en représentant par des lettres inconnues les forces dues à leurs contacts entre eux ou leurs liaisons, comme nous l'avons fait au chapitre II, pour trouver les conditions d'équilibre. Dans le cas actuel également, il n'est pas nécessaire de remplacer ainsi les contacts avec des obstacles fixes.
Mouvement de la machine d'Atwood en ayant égard au frottement — L'appareil se compose d'un fil enroulé sur ^.— >v une poulie fixe D, et dont les extrémités supportent ff[ -^ V en B un poids p, et en A un poids p + p' : le poids de la poulie est p'\ son rayon a. L'appareil partant b. sans vitesse initiale, v est la vitesse du point A au bout du temps t, et 0 la hauteur verticale dont il est descendu ; T est la tension du cordon AA', T' celle de BB'.
Frottement de la poiUie, — Considérons-la comme un solide libre ; les forces extérieures qui agissent sur elle, outre celles des contacts avec ses appuis, sont T, T' et j)% qui se réduisent à une seule force verticale
dirigée de haut en bas.
Quant aux appuis nous admettrons que la poulie D embrasse comme un collier un cylindre horizontal fixe, désigné par H, et pour simplifier nous regarde-
rons les forces comme tontes situées dans le plan de la section droite OMH, de centre 0. En un point M de contact elles sont la pression P suivant OMP, et le frottement cP, c étant son coefficient ; il est dirigé suivant la tangente MF, en sens contraire de celui de la rotation, indiqué par la flèche. Quant à la distribution des points frottant sur la circonférence H, on peut la concevoir de plusieurs manières :
1^ Supposons d'abord que ce soit deux points donnés MM', la pression en M' étant F. Ces deux points, en laissant de côté le reste de la circonférence, suffisent pour déterminer la position du collier ou du solide D. Celui-ci est supposé libre, et son centre de gravité restant immobile, les équations de son mouvement exigent que les projections horizontales et verticales des forces aient une somme nulle. Il en résultera deux équations entre P^ F et f d'où l'on tirerait P, F de même que les frottements. Ces forces dépendraient de la position de M, M', et pourraient devenir très considérables. Dans le cas où il y aurait sur H plus de deux points de contact donnés les pressions seraient indéterminées, parce que deux suffisent pour fixer la position du solide. Le cas serait analogue à celui d'un corps pesant reposant sur un plan horizontal en plus de trois points. Si l'on supposait égales les circonférences de H et du collier, elles ne pourraient évidemment coïncider dans toute leur étendue ; les saillies les plus imperceptibles suffiraient pour réduire les contacts à un nombre limité de points, et dans cette disposition le frottement serait en général considérable. Aussi pour que la rotation s'opère aisément doit-on supposer que les deux circonférences sont légèrement inégales, ou qu'il y a un peu de jeu. Il en est nécessairement ainsi quand les surfaces ont des enduits, et cet état de choses s'établit de lui-même par l'usure si une machine marche pendant longtemps.
2® S'il en est ainsi pour la poulie, les deux circonférences ne se touchent qu'en un seul point M, ou un arc extrêmement court, dont la position d'ailleurs n'est pas donnée, mais résulte du mouve-
ment. En désignant par OZ la verticale, et par a l'angle MOZ, on a ponr l'égalité des projections horizontales et verticales des forces,
P sin a — cP cos a = o, P cos a + cP sin a == /",
d'où c = tang a, de sorte que a est l'angle dn frottement, on une constante, et en outre
P = fcos a, eP = f sin a,
OM est le bras de levier du frottement, et en posant
