XI

(;n p* -^ - -It- = T — T' — Y(T + T' -h p") .

^ q dt

Quant aux poids on peut admettre que les directions des forces T et T passent au centre de gravité de chacun. Il n'est ainsi soumis qu'à deux forces verticales directement opposées, et les poids partant du repos n'auront qu'une translation verticale sans rotation. Les équations du mouvement se réduisent ainsi pour chacun

à une seule m-j- = Z, m étant la masse, et Z la force verticale,

prise positive dans le sens de la vitesse v du poids. Il est clair qu'on aura ainsi

g dt ^^ ^ ' g dt ^

Il ne reste qu'à éliminer les forces de contact T et T' entre l'équation (3) et les précédentes. Celles-ci donnent

et l'équation (3) devient ainsi

p" dv , ±p + p dv r^ . I P dv ^ 1

"" , dt P g dt ^1 P^P g dt^^j'

ou

Q dv

g dt

eu posant

Q = py -f 2p + p' - YP'. 0' = P' - ïC2p +P+ f) .

Il faut supposer

ou Q' positif, sans quoi -r- serait négatif, c'est-à-dire que le frottement semblerait déterminer le mouvement en sens contraire, ou ce qui revient au même, il l'empêcherait de commencer. Il est même évident que l'inégalité précédente doit être satisfaite en calculant y d'après la valeur du coefficient du frottement au départ.

Ensuite, Q et Q' étant positifs, et v s'annulant avec f, on aura

v= gl, où g =='q9'

L'accélération g de la chute est ainsi réduite dans le rapport ^ .

96. Ifature du ftystème. — Nous avons à préciser ce qu'on entend par les liaisons, les forces extérieures, etc., et à chercher une seconde forme des équations du mouvement, pour laquelle on ne soit pas obligé, comme au numéro précédent, d'éliminer les forces de contact, de façon que cette élimination soit en quelque sorte faite d'avance. Il est nécessaire, comme on l'a vu, de connaître ces forces, ou les pressions, si Ton veut avoir égard au frottement; aussi nous supposerons que celui-ci n'existe pas. Nous verrons plus tard comment on peut en tenir compte.

Nous désignerons par S les divers solides du système, choisis à volonté et bien définis.

Les corps extérieurs sont ceux qui ne font pas partie du système. Parmi ceux qui ont quelque influence sur son mouvement, nous nommerons P ceux qui sont des solides fixes, tels que des appuis.

La position d'un solide S est définie par les trois angles qai la déterminent par rapport à son centre de gravité, et par les coordonnées de ce centre ; c'est ce que nous nommerons les six variables du solide.

Tous les obstacles au mouvement peuvent être regardés comme des contacts, même s'ils proviennent de fils, et nous savons qu'on peut les assimiler à des forces extérieures- Mais en les remplaçant tous ainsi on serait ramené à la première forme des équations du mouvement. Pour qu'il en soit autrement nous ferons une distinction entre eux.

Liaisons. — Nous nommerons spécialement forces des contacts une catégorie particulière de ces forces dues aux obstacles, et liaisons l'ensemble des contacts correspondants, tandis que les autres seront assimilés à des forces extérieures. Voici comment se détermine ce choix :

L'existence des contacts entraine en général des conditions géométriques que les solides S doivent satisfaire, et par suite des relations entre leurs variables.

Nous nommerons liaisons l'ensemble des contacts tels que les relations correspondantes soient bien définies, et ne contiennent pas d'autres variables que celles des solides S. — Moyennant ces conditions les forces des contacts définies ci-dessus disparaîtront, comme on le verra, des équations du mouvement.

Il nous reste à chercher quelles sortes de contact on peut prendre pour des liaisons.

Les conditions précédentes sont évidemment satisfaites par les contacts proprement dits entre deux solides S, ou entre un solide S et un P.

Considérons maintenant le contact entre un solide S et un corps extérieur Q quelconque.

1^ Si celui-ci est un solide mobile ses variables entrent dans les relations provenant du contact, contrairement aux conditions ci-dessus, et par suite le contact ne peut être pris pour une liaison.

On le pourrait toutefois si la masse de Q était nulle et dans un autre cas. Nous examinerons plus tard l'effet de ces complications qui doivent être exclues pour le moment.

2^ Nous devons exclure également les cas où Q serait un corps déformable autre qu'un fil, puisqu'il présenterait des variétés de forme en nombre infini. Quant aux fils on doit pour la même rai* son les supposer d'épaisseur négligeable, parfaitement flexibles et inextensibles. De la sorte tout fil a une masse nulle.

Désignons maintenant par P' les divers corps extérieurs différents des solides P et des fils, de sorte qu'aucun de leurs effets comme obstacles ne puisse être pris pour une liaison.

Il nous reste à supposer l'existence de fils quelconques ayant des contacts avec les corps S, et à faire parmi ces contacts les mêmes distinctions.

Remarques sur le rôle attribtd aux fils. — Toute portion de fil non tendue peut être supposée ne pas exister, sans que l'effet de l'ensemble soit changé.

P L'existence d'un fil entraîne des relations entre les positions des corps avec lesquels il est en contact, et l'un d'eux au moins est un solide S ; si un autre était un corps F la relation serait comme on l'a vu inadmissible comme liaison, de sorte que les fils venant de ce corps devraient être considérés comme exerçant une force extérieure. Il est alors plus simple de les assimiler au cas suivant d'un fil auquel est appliquée une force extérieure suivant sa direction.

2^ On doit en général exclure le cas où une force extérieure agirait sur un corps servant de liaison^ sans quoi il faudrait tenir compte du mouvement de son point d'application, ce qui reviendrait à comprendre le corps dans le système. Si donc une force agissait sur le fil on emploierait les modifications suivantes :

Supposons d'abord qu'un fil ait une extrémité

libre A, auquel cas une force le tend suivant AB ; — '

c'est ce qu'on suppose entre autres s'il vient d'un corps P'.

Si cette portion rectiligne va s'attacher à un solide S en B, elle est ainsi disjointe du reste des fils, ne constitue aucune liaison, et doit être considérée comme une force extérieure appliquée au point B.

Si le contact du fil AB avec le système ne rentre pas dans ce cas simple on supposera en un point 0 de la droite un très petit solide, faisant "partie du système, sur lequel une force extérieure agit suivant OA, tandis que d'autre part le fil OB lui est attaché.

Si une force agissait en 0 sur un fil ailleurs qu'à son

5 extrémité, il faudrait de même supposer en ce point un

petit solide du système, auquel la force serait appliquée

et les cordons OA, OB attachés de part et d'autre. Il est clair

que l'introduction de ces solides infiniment petits dans le système

ne changent pas les lois de son mouvement.

3*> Après ce qui précède les fils * n'ont de contacts qu'avec les solides S ou P ; ils agissent soit par leurs extrémités, soit en étant enroulés sur une surface. Cet enroulement peut être de deux espèces.

La première est celle où le fil peut glisser sur une surface sans frottement ; mais d'après les conditions qu'une liaison doit remplir, nous devons exclure les cas où il formerait une courbe d'étendue finie, variant suivant les positions du système. Nous supposerons donc que l'arc d'enroulement est infiniment court. Nous dirons alors que le fil passe sur une arête pouvant la traverser sans frottement. Il pourra aussi ou glisser le long de l'arête ou être retenu comme dans un anneau.

Le second mode d'enroulement est celui dans lequel une sorte d'adhérence empêche le fil de <^^ glisser sur la surface d'un solide Q, disposition qui se présente dans les poulies, etc. Cette adhérence est analogue à celle d'une chaîne qui serait retenue à la surface par un engrenage ; le fil CA peut avoir une extrémité fixée en un point de la

surface, ou s'en détacher suivant BD, avec une tension en général différente de celle de CA.

Il n'y a aucune raison d'exclure cette disposition, que nous nommerons Venrotdement ; mais on doit supposer donnée la courbe AB.

Liaisons, forces des contacts et forces extérieures. — En résumant ce qui précède, les contacts proprement dits entre deux solides S au entre Vun d'eux et un solide P sont des liaisons, et les forces qui peuvent les remplacer sont des forces de contact.

Quant aux fils, en supposant d'abord qu'ils forment un assemblage arbitraire, les deux premières remarques ci-dessus ont pour conséquence d'en isoler certaines portions qui constituent simplement l'application d'une force extérieure à un solide S. . Tout l'ensemble du reste, pourvu qu'il ne rentre pas dans le cas exclu par la troisième remarque, pourra être considéré comme liaison, et sa disposition la plus générale sera par conséquent la suivante :

Il peut s'y trouver des portions de fil enroulées avec adhérence sur un solide S ou P. Le reste des fils se compose de portions rectilignes. Toute extrémité de l'une d'elles peut être :

P Le commencement d'un arc d'enroulement ;

2° Un point d'un solide S ou P auquel le fil est attaché ;

3^ Un point d'une arête appartenant à un solide S ou P, sur laquelle le fil passe, pouvant ou non glisser le long de l'arête ;

4^^ Enfin un point de bifurcation ou de croisement de divers fils.

En effet, les trois premiers cas contiennent tous les modes de contact entre un fil rectiligne et un solide, et le quatrième ceux des contacts entre plusieurs fils.

L'ensemble des forces remplaçant les fils, c'est-à-dire leurs ten- ' sions, rentre dans les forces de contact.

Toutes les forces agissant sur les solides S, saul' celles qui vien-

nent d'être indiquées comme forces des contacts, seront des forces extérieures^ en y comprenant entre autres celles qu'exercent les corps F, et en outre s'il en existe les attractions ou répulsions sensibles à des distances finies, même si elles agissent entre deux corps du système.

Les liaisons seront considérées dans ce qui suit comme les seuls obstacles au mouvement du système, les autres étant remplacés par des forces extérieures.

Équations des contacts. — Nous avons déjà remarqué que les liaisons entraînent des relations entre les variables des solides S.

Elles peuvent être des égalités, par exemple si un point de l'un d'eux est fixé à un autre solide du système.

Elles peuvent être aussi des inégalités. Par exemple si un fil joint deux solides S, sa longueur totale quand il reste tendu est une fonction des variables, qui ne peut augmenter, mais peut diminuer si le fil se détend. Si deux solides sont appuyés l'un contre l'autre et peuvent se séparer, il en résulte une conséquence analogue.

En tout cas ces relations sont telles qu'à partir de la position actuelle du système il peut prendre toutes les positions voisines pour lesquelles les variables des solides satisfont toutes les équations et toutes les inégalités, et n'en peut pas prendre d'autres.

Nous nommerons systèmes stricts ceux pour lesquels les relations ne sont que des équations. Les autres, auxquels correspondent aussi des inégalités

E > 0, E' > 0, etc.

seront des systèmes non stricts.

Nous nommerons équations des contacts toutes les équations dues aux liaisons, en leur joignant si le système n'est pas strict

E = 0, E' = 0, etc.,

OU les inégalités changées en égalités.

Nous nommerons mouvements régul^iers du système ceux dans lesquels toutes les équations des contacts sont constamment satisfaites ; pour un système non strict ils forment seulement une partie des mouvements possibles.

Un déplacement sera dit régulier s'il est compatible avec le mouvement régulier.

On peut tirer des équations des contacts les valeurs de toutes les variables des solides en fonction d'un certain nombre d'entre elles, ou plus généralement de variables auxiliaires u.^u^^u^^ etc., et celles-ci seront complètement indépendantes^ pouvant à la fois croître ou décroître à partir de leur valeur actuelle. En effet, si t^,, par exemple, ne pouvait que croître, cela constituerait outre les équations une inégalité, contrairement à l'hypothèse.

Par conséquent, à tout déplacement élémentaire régulier en correspond un autre, également régulier, que nous nommerons comme au numéro 9 son opposé^ dans lequel les espaces parcourus par chaque point du système sont les mêmes en sens contraire. En effet, si le premier est caractérisé par les valeurs de du^^ du^y du^y etc., le second le sera par les mêmes valeurs en signe contraire. Pour tout point du système les coordonnées rc, y, z sont des fonctions de t^,, u^, etc., et dx^ dy, dz dans les deux cas sont les mêmes en signe contraire.

Par suite les systèmes stricts, pour lesquels le mouvement régulier est le seul possible, sont en même temps des systèmes normauxj tels que nous les avons définis au numéro 9.

Il faut remarquer que si dans un système non strict le mouvement cesse d'être régulier, une des inégalités E > o n'est plus remplacée par E - o ; E étant devenu positif le sera encore dans les positions voisines, et la condition qui lui correspond n'existera plus. Il y a donc en ce cas une cessation partielle des liaisons.

Il peut arriver aussi qu'il naisse de nouvelles liaisons, ou que de nouvelles relations deviennent nécessaires. C'est en particulier ce qui résulte d'un choc, et en général il se produit alors un changement brusque des vitesses.

L'altération d'un mouvement régulier est un fait accidentel et instantané, de sorte que tout mouvement d'un système non strict, s'il n'est pas toujours régulier, est une succession de mouvements réguliers ayant chacun une durée finie.

97. SI le système est en repos ou a un mouvement régulier, les travaux des forces de eontaet correspondant A un déplacement régulier Infiniment petit quelconque ont une somme nulle. —

En évaluant ces travaux on doit prendre pour les forces de contact celles qui existent pendant le mouvement que peut avoir le système.

Quant au petit déplacement, il suppose que le système part du repos dans sa position actuelle. Ce déplacement est régulier quelconque et distinct du mouvement réel ; c'est ce qu'on exprime en disant qu'il est virtuel.

H faut remarquer que le déplacement peut modifier la force ; les points en contact peuvent changer, etc., mais dans le travail dont il s'agit la force est supposée celle qui existe avant tout déplacement.

Cas oii la force est due à un contact proprement dit. — La démonstration se réduit à vérifier que si f est une action mutuelle ou pression agissant en un point de contact entre deux solides S, S' du système, ses travaux sur l'un et l'autre ont une somme nulle, et en outre que si le contact a lieu entre S et un corps P, le travail de f sur S est nul. Mais le travail sur le corps fixe P l'étant déjà, cela revient à ce que les deux travaux aient une somme nulle, et Ton peut faire rentrer ce cas dans le premier où le contact était entre S et S'.

Soient alors I, T les points de S, S' en contact. La somme des travaux de f sera nulle pourvu que les espaces décrits par I, I' aient des projections égales sur sa direction, la force f étant dans chaque travail la même en sens contraire.

Si l'on considère le mouvement du solide S' par rapport à S supposé immobile, la vitesse du point I est résultante des vitesses relative et d'entraînement, et il en est de même des espaces infiniment petits correspondants. En comparant leurs projections sur la direction de /*, celle de l'espace décrit par ï est la somme de celles des espaces relatif et d'entraînement; celui-ci d'ailleurs est l'espace décrit par I. Par conséquent, la condition ci-dessus revient à ce que la projection de l'espace décrit par l dans le mouvement relatif seul soit nulle.

Voici parmi les formes diverses d'un contact les deux principales :

La première est celle où le point T est fixé au point I\ la force f est alors quelconque, et le déplacement relatif de I' nul, de même que sa projection sur la force.

La seconde forme est celle où Vune au moins des surfaces en contact a un plan tangent déterminé. — L'absence de frottement consiste en ce que cette surface ne peut exercer de pression tangentielle. Par suite la force lui est normale, et le déplacement relatif de I' a une projection nulle sur la force ; sans cela, en effet, dans un déplacement régulier opposé au premier, que nous savons être également possible, cette projection serait la même en sens contraire, et le point I' pénétrerait dans le corps S.

Après ces deux formes il reste celle où aucune des surfaces n'a de plan tangent déterminé dans le voisinage de I, T, par exemple le cas où la surface du corps S présente une arête ou se réduit à une courbe. La force f lui est alors normale par suite de l'absence de frottement, et soit que l'autre surface se réduise à une courbe se déplaçant sur la première ou à un point T qui la parcourt, il est aisé de voir que le déplacement relatif de F est perpendiculaire à la force; mais l'examen détaillé soit de ce cas, soit des diverses dispositions des surfaces énumérées au numéro 2 2 est superflu.

En effet, si les deux solides sont adhérents suivant une surface,

^* V-BT^

de façon à n'en plus former qu'un seul, la nature du contact en chaque point rentre dans la première forme principale.

S'il en est autrement, les deux solides sont mobiles l'un par rapport à l'autre. Or nous n'avons point à tenir compte, comme au numéro 22, de contacts fictifs, provenant de dispositions plus complexes, mais seulement de ceux qui existent physiquement, et pour ceux-là on a vu au numéro 23 que le contact a toujours une certaine étendue en tous sens, rentrant ainsi dans la seconde forme principale.

Propriété d'un fil tendu sur des arêtes le long desquelles il peut glisser. — Nous supposerons qu'il n'y ait que deux arêtes, le résultat s'étendant aisément à un plus grand nombre.

Soient sur la première B, B', b trois points infiniment voisins, G, C, c l'étant ^^ de même sur la seconde. Supposons le point a infiniment près de A, et d de D.

Nous allons démontrer que si la ligne brisée abcd est une position d'équilibre d'un fil passant sur les arêtes, les lignes ABCD, ABCD ne diffèrent que d'un infiniment petit du second ordre.

Soient BB' = fe, et les angles ABB' = y, CBL = y, BL étant le prolongement de B'B. Comme on l'a vu au numéro 2, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on a

AB — AB' = /i cos Y, CB — CB' = h cos ( B'BC) = — /i cos 7',

(AB + BC) — (AB' + B'C) = h (cos y — cos f ) .

Si ABC était la figure d'équilibre d'un fil, les tensions T égales de AB et CB devraient faire équilibre à la pression de l'arête, perpendiculaire à sa tangente ou à BB' ; par suite les projections des deux tensions sur cette tangente devraient être égales en sens contraire, de sorte qu'on aurait T cos y = T cos /. Par conséquent, si la ligne ABC est comme on l'a supposé infiniment voisine

de la figure d'équilibre aftc, cos y — cos y est un infiniment petit, de même que fe, et par suite

(AB + BC) — (AB' -h B'C)

en est un du second ordre. Pour une raison semblable, il en est

de même de

(B'C+Ct)) — (BC'+C'D),

et par suite de leur somme