ABC...K — A'B'C...K

et son produit par T ou le travail total sont du second ordre de petitesse.

Second cas. — Supposons que l'une des extrémités A, K, par exemple A, soit le commencement d'un arc d'enroulement AR, et non un point d'attache du fil, le reste de la figure et de la disposition étant le même qu'au premier cas.

Dans un petit déplacement du fil seul, en sup- -^ j^\ — posant qu'il se déroule, son point A vient en A" et il est tangent au solide en I, de sorte que AI est infiniment petit et par suite AA" infiniment petit du second ordre.

Si le solide se déplace aussi, que son point A vienne en A et celui du fil en A', c'est la distance A A" qui est du second ordre, comme on le voit en considérant le mouvement relatif du fil.

Par suite en évaluant le travail de la tension de AB sur le point A du solide on pourra prendre pour son déplacement AA" au lieu de A A, comme si le point A du solide n'avait pas quitté celui du fil, le second cas se réduit ainsi au premier, où le fil était attaché en A.

Si le fil s'enroulait, devenant tangent suivant IL, on placerait A" sur son prolongement ^ à la distance A"I égale à l'arc AI, et le résultat sefrait le même.

Troisième cas, — Dans le cas général désignons par 6 la somme des travaux des tensions pour un déplacement déterminé. Elle serait nulle s'il n'y avait aucun point 0 de bifurcation ou de croisement des fils, car ils se décomposeraient en portions telles que celles du premier et du second cas. Si ces points 0 existent, ima-

••.♦•-.ti»".

ginoDS qu'on place en chacun d'eux un solide infiniment petit du système, auquel tous les fils concourants seraient séparément attachés si c'est une bifurcation ; si c'est un croisement le point 0 porterait un double anneau que les deux fils traverseraient librement. De la sorte les tensions, les eftets du fil comme liaison et les petits déplacements réguliers du système ne seraient pas changés, non plus que la valeur de H pour le même déplacement et les mêmes travaux que ci-dessus; mais pour le système entier la somme des travaux serait Ô + S'? ^' étant celle des travaux des tei^ions sur les solides en 0. Or comme il n'y aurait plus de bifurcation ni de croisement, il en résulterait (^ -}- ô' = o ; d'autre part les solides 0 ayant une masse nulle, les tensions qui agissent sur eux auraient entre elles les relations d'équilibre, de sorte que pour chacun séparément la somme de leurs travaux serait nulle ; il en résulterait donc à la fois â 4- 9' = o, W ^- 0, d'où 6 = 0, ce qu'il fallait démontrer.

98. Priiielpe des vitesses virtuelles. Seconde forme des équations du mouvement d'un système.

-— Comme nous l'avons dit au numéro 19, il convient d'examiner de nouveau le principe des vitesses virtuelles. Toutefois pour trouver les équations du mouvement, ce qui est actuellement notre but, nous n'avons pas besoin de ce principe appliqué à un système, mais seulement à un solide libre. Nous allons le vérifier pour ce cas, en faisant abstraction de la démonstration du numéro 8, et nous supposerons seulement que les conditions d'équilibre d'un solide libre aient été trouvées par une méthode quelconque. Voici l'énoncé du principe.

Pour V équilibre des forces agissant sur un solide libre il faut et il suffit que leurs travaux corresjjondant atout déplacement infiniment petit du solide aient une samme nulle.

Nous avons employé au numéro 12 deux transformations élémentaires des forces agissant sur un solide. La première est le

déplacement du point d'application d'une force sar sa direction ; la seconde consiste à remplacer plusieurs forces appliquées à un même point par leur résultante ou l'inverse. Nous allons vérifier que la somme des travaux des forces correspondant à un même déplacement infiniment petit du solide n'est pas changée par ces deux transformations.

1° Si l'on déplace le point d'application A de ^ y^ ^, la force f en A', ces points ont une distance constante, de sorte que pendant tout mouvement les projections de leurs vitesses sur AA' sont égales ; il en est de même des projections des petits déplacements et -de leurs produits par f, ou des travaux de cette force dans les deux cas.

2^ Si l'on remplace plusieurs forces par leur résultante, on a vu au numéro 10 que le travail de la résultante est la somme de ceux des composantes ; la somme totale des travaux n'est donc pas changée.

Si des forces agissant sur un solide libre satisfont les six conditions d'équilibre, nous avons vu au numéro 13 que leur ensemble, en répétant les deux transformations précédentes, se réduit à une force nulle ; la somme des travaux des forces est donc nulle pour tout petit déplacement. C'est la première partie du, principe à démontrer.

Réciproquement si cette condition est satisfaite, les forces se font équilibre. En effet, en supposant que le solide ne fasse que glisser suivant l'axe OX sans tourner, ou que tourner autour de lui sans glisser, la nullité de la somme des travaux entraîne comme conséquence, d'après le numéro 1 1 , que la somme des projections des forces sur OX, et celle de leurs moments par rapport à OX sont nulles ; comme il en est de même pour 0 Y et OZ on retrouve ainsi les six conditions d'équilibre. La condition énoncée est par suite suffisante.

Forme muvelle des conditions d'équilibre d'un solide libre et

des équations as son mouvement. — La condition d'équilibre précédente peut s'exprimer par

(A) 2(XSa; + Y8y + Zbz) = o ,

la somme I s'étendant à tontes les forces qui agissent sur le solide ; X, Y, Z étant les projections de chacune d'elles, et èx^ èy^ Iz les variations des coordonnées de son point d'application, correspondant à un déplacement élémentaire quelconque du solide, de sorte que X8rc -f- Y<ïy + Zèz soit son travail.

Nous avons vu au numéro 88 que les équations du mouvement du solide coïncident avec celles que fournit le principe de d'Alembert, c'est-à-dire consistent en ce que des forces appliquées à chaque élément m de masse, et ayant pour projections

satisfont les six conditions d'équilibre.

Toutes ces équations sont donc comprises dans Tunique formule

jS^ + (Y-m|f)8, + (z-m^*)8.j=o.

qui doit être satisfaite pour tout déplacement. Il ne faut point confondre le déplacement réel avec celui-là, auquel correspondent Sxy Sijj Sz, Il est virtuel et suppose le corps partant du repos dans sa position actuelle. D'ailleurs Sx^ Sy, Sz ne sont que des coefficients ayant des valeurs multiples, et tels qu'en les remplaçant par ces divers systèmes de valeurs, les formules (A) et (B) deviennent les six conditions d'équilibre et les six équations du mouvement.

Exteïision des formules (A) et (B) à un système. — La relation (B) est satisfaite par chaque solide séparément, pourvu qu'on le considère comme libre, en remplaçant les obstacles au mouve-

ment par des forces. Parmi celles-ci se trouvent les forces de contact, définies comme au numéro 96, les autres étant classées avec les forces extérieures.

Admettons maintenant qu'on prenne un déplacement régulier quelconque du système pour celui auquel correspondent àc, 5i/, <S^, et ajoutons les relations (B) pour tous les solides. Cette somme a encore la forme (B) ; mais les termes XSx + Y(îy + Z5^ correspondant aux forces de contact se détruisent, et ces forces sont ainsi éliminées, car nous avons vu au numéro précédent que le déplacement étant régulier, leurs travaux avaient une somme nulle. De là résulte le principe suivant •

Tout système ayant un mouvement régulier satisfait la rdation (B) quel que soit le déplacement virtuel régulier auqusl correspondent 8rc, ây, 8z^ les sommes 2 détendant soit aux élé^nents m de masse, soit aux projections X, Y, Z de toutes les forces extérieures.

Il est clair que la formule (A) s'étendrait au système comme la formule (B), moyennant les mêmes conventions. Elle signifie alors que si le système est en équïlïbre, les travaux des forces extérieures correspondant à tout déplacement régulier infiniment petit ont une samme ntUle,

n reste à examiner si cette condition est suffisante, ce que nous ferons au numéro suivant.

L'énoncé qui précède est celui du principe général des vitesses virtuelles sous une forme peu différente de celle que nous avons employée en statique.

99. Principe des forces vives. Réciproque du principe des vitesses virtuelles. — Dans la formule (Bj appliquée à un système nous avons supposé que le mouvement réel était régulier. Elle doit donc être satisfaite en prenant celuilà pour le déplacement virtuel auquel correspondent 5a;, Sy,S^] en

les remplaçant alors par dx, dy, dz, projections du déplacement réel, on aura

La force vive d'un système est la somme Imv* de celles de tous ses éléments de masse, la vitesse v dans chacun d'eux étant supposée commune à tous ses points. En substituant

l'équation précédente prend la forme

d . ^- Imv* = l(\dx + \dy -f- Zdz) ,

OÙ la somme S du second membre s'étend aux forces extérieures, et signifie la somme de leurs travaux élémentaires pendant le temps di. On voit qu'elle est égale à l'accroissement de la demiforce vive pendant ce temps.

Si l'on ajoute ce résultat pour les instants dt consécutifs on en conclut que r accroissement de la demi-farce vive d'un système pendant un temps quelconque est égal à la somine des travaux des

forces extérieures pendant ce temps.

C'est ce qu'on nomme le principe des forces vives. Si les forces ont la forme potentielle on obtient ainsi une intégrale du mouvement du système.

Réciproque du principe des vitesses virtuelles. — Nous supposons que la somme des travaux des forces extérieures est nulle pour tout déplacement régulier, et il reste à chercher si ces forces se font équilibre.

Si le système n est pas strict il faut évidemment une condition additionnelle, savoir que les forces ne soient point capables de produire une cessation de contact ; il faut même admettre que

cette cessation n'est pas sur le point de se prodaire, ou ne résulterait pas d'une modification infiniment petite des forces.

Si les forces extérieures f, /*', f\ etc., ne se faisaient pas équilibre, soit A un des points en mouvement, et AA' l'espace qu'il décrirait pendant un instant très court. Supposons qu'on fasse agir outre /", f^ etc., une force additionnelle 9 appliquée en A et directement opposée à AA'. Si elle est suffisamment petite, non seulement d'après la condition ci-dessus il n'y aura pas de cessation de contact et le mouvement sera régulier, mais il difi*érera aussi peu qu'on voudra de celui qui se produisait sans elle, de sorte que le déplacement AA" du point A différera peu de AA' et fera un angle obtus avec la force <p, dont le travail sera, par suite négatif. D'ailleurs ceux des forces f,f^ etc., ont par hypothèse une somme nulle pour tout déplacement régulier infiniment petit, entre autres pour celui-là. En leur joignant la force 0? le travail total serait négatif et devrait être égal à l'accroissement de la demi-force vive ; or c'est impossible, puisqu'elle est positive et sa valeur initiale nulle.

Par conséquent, si le système est strict, ki condition exprimée par la formule (A) est non seulement nécessaire, mais suffisante pour V équilibre. Si le système est non strict, la condition additionnelle (À-dessus est en outre nécessaire.

Extension du principe des forces vives. — Si le système n'étant pas strict une cessation de contact venait à se produire, le mouvement régulier, comme on l'a vu, se changerait en un autre également régulier d'une certaine durée. Le principe des forces vives serait exact jusqu'à l'instant de la suppression, et le serait aussi à partir de cet instant ; il le serait donc encore pour les deux périodes réunies, et on en peut dire autant quel que soit le nombre des périodes.

Par conséquent, pour tout système strict ou non le principe des forces vives reste exact tant qu'il ne se produit pas des changements brusques de vitesse résultant d'une percussion.

Principe des forces vives dans le mouvement relatif à une figure invariable ayant une translation redUigne et uniforme. — Toutes les lois de la mécanique s'étendent à ce mouvement relatif, entre autres le principe des forces vives, pourvu que les solides extérieurs d^où résultent les liaisons soient relativement immobiles ou partagent la translation. Souvent toutefois cette condition est superflue ; prenons pour exemple une locomotive ayant un mouvement rectiligne et uniforme, en l'assimilant à un système théorique. Le principe des forces vives aura lieu en calculant soit les vitesses, soit les déplacements correspondant aux travaux des forces, par rapport à des axes qui accompagneraient son mouvement. Les rails, il est vrai^ ne le partagent pas, mais occupent la même position que s'ils le partageaient, de façon à produire le même eflfet comme liaison, et la même pression normale. D n'y a de changé que le frottement, c'est-à-dire une force extérieure.

Évaluation de la force vive. — C'est celle d'un système de solides ; il suffit donc de la trouver pour chacun d'eux ; désignonsla par F.

P Si le solide n'a qu'un mouvement de translation la vitesse v est commune à tous ses points, et l'on a

2^ Si le solide tourne sans glisser autour d'un axe fixe ou instantané, on a t; = rw, ^^ étant la vitesse angulaire, et r la distance de l'élément à l'axe. Il en résulte

C étant le moment d'inertie par rapport à l'axe.

3^ Si le solide tourne en tous sens autour d'un point fixe 0, on a comme on l'a vu au numéro 90,

A. B, C étant les moments d'inertie par rapport aux axes princi-

paux d'origine 0, et^, g,r les composantes de la vitesse angulaire soivant ces axes.

4° Dans le cas général désignons par x,yy„ z^ les coordonnées du centre de gravité par rapport à des axes fixes ; par x^ y, z celles de Télément m par rapport à des axes parallèles aux autres et de même sens ayant pour origine le centre de gravité ; il en résulte

on a

àx a/

et en transformant de même les autres termes, on trouve en désignant par M la masse totale, et posant

De la sorte v, est la vitesse du centre de gravité, et Imv'* la force vive relative à ce centre. Elle est la même que si le solide tournait autour de lui comme un point fixe ; il en résulte

5^ Le cas particulier où le solide peut être assimilé à une figure plane se mouvant dans son plan se ramène au second cas ci- dessus, la figure tournant toujours autour d'un centre instantané.

Supposons par exemple qu'il s'agisse d'une tige, figurée par une droite dont les extrémités A, B se déplacent sur une circonférence de centre 0 et sur une droite OL. Soient :

M sa masse ;

G son centre de gravité ;

C son moment d'inertie par rapport à un axe mené par ce centre et perpendiculaire au plan de la figure ;

V la vitesse du point A ;

I l'intersection de BI perpendiculaire à OL, et du prolongement de OA.

C!omme lA, IB sont perpendiculaires aux vitesses des points A et B, I est le centre de rotation instantané; le solide tourne avec la vitesse angulaire u autour d'un axe mené par I et perpendiculaire au plan de la figure ; on a i; = w x lA, d'où

D'ailleurs, en comparant les axes menés par I et G,

C = G' + M X ïG^ F = ^:-± ;^ ><J^ ,.

valeur connue dans toutes les positions de la tige.

100. Remarques sur les formales (A) et (B) du naméro 98. Équations dn mouveiiient sons forme finie. — P Signification des formules (A) et (B) quand le système est strict, — Le mouvement ne peut être alors que régulier ; tout déplacement du système l'est aussi ; la condition d'équilibre qu'exprime Téquation (A) est nécessaire et suffisante ; elle coïncide donc avec le principe des vitesses virtuelles tel qu'il a été énoncé au numéro 9 pour les systèmes normaux, dans lesquels rentrent les systèmes stricts. Il en résulte une seconde démonstration de ce principe.

Pour que des forces extérieures se fassent équilibre pendant le mouvement, ou que leur effet soit nul, il faut et il suffit qu'elles disparaissent de la formule (B) ou que les travaux X.èx ^ Yèy -h Zèz qui leur correspondent se détruisent pour tout déplacement ; cela

signifie que ces forces satisfont séparément la formule (A), et par suite les conditions d'équilibre sont les mêmes à l'état de mouvement qu'à l'état de repos, comme le suppose le principe de d'Alembert. Aussi les équations du mouvement se déduisent des conditions d'équilibre, ou la formule (B) de (A), en remplaçant X par

2^ Cas où le système n'est pas strict. — La formule (B) donne encore les lois du mouvement si l'on est assuré qu'il restera régulier. C'est, du reste, un cas très général dans lequel rentre un grand nombre de machines. Si l'on n'est pas certain de cette régularité on ne peut eu juger qu'en recourant à la première forme des équations du mouvement.

Les conditions d'équilibre à l'état de mouvement et de repos ne peuvent plus s'exprimer comme ci-dessus, et d'ailleurs ne sont pas toujours les mêmes, comme on l'a vu au numéro 88.

Le principe des vitesses virtuelles donné par la formule (A) n'est exact que moyennant la restriction indiquée au numéro précédent. Aussi doit-on préférer la iorme plus précise du même principe trouvée au numéro 8, savoir que la somme des travaux des forces doit être nulle ou négative pour tout petit déplacement possible, régulier ou non.

3^ Équations et forces de liaison, — Bien que nous ayons évité do faire usage de ces termes, il convient de les mentionner, à cause de leur emploi dans plusieurs démonstrations du principe des vitesses virtuelles.

Les équations de liaison sont des relations qu'on suppose exister entre les coordonnées des points d'application des forces extérieures. Les forces de liaison sont celles qui en agissant sur ces mêmes points remplaceraient les liaisons ; elles n'ont donc aucun rapport avec celles que nous avons nommées les forces de contact.

Les liaisons ne sont définies que par les équations, leur nature restant indéterminée.

La formule (A) étant démontrée, on en conclut la formule (B) par le principe de d'Alembert en supposant les conditions d'équilibre les mêmes à l'état de mouvement et de repos.

En outre, dans ces démonstrations tout système est considéré comme strict ; aussi avons-nous employé une autre méthode pour trouver les équations du mouvement. Il est d'ailleurs avantageux de préciser comme nous l'avons fait ce qu'on doit entendre par les forces extérieures et les liaisons.

4^ Frottement. — A l'état de repos la valeur et le sens de cette force restent indéterminés ; on peut y avoir égard comme nous l'avons fait au chapitre II, mais non dans le principe des vitesses virtuelles, dont l'emploi est ainsi fort limité.

Au contraire, pendant le mouvement le frottement à une valeur et un sens déterminés, et on peut en tenir compte, tout en employant les équations du mouvement où il est supposé nul, pourvu qu'on le fasse rentrer dans les forces extérieures. "»

Si son effet devait être calculé avec précision, ce qui n'est pas toujours nécessaire, on serait forcé de connaître les pressions, et pour cela d'employer comme au numéro 95 la première forme des équations du mouvement.

5^ Équations du mouvement sous forme finie. — Admettons comme [précédemment que toutes les variables des solides soient exprimées dans les mouvements réguliers en fonction de variables indépendantes u^^ u^, u^, etc. ; les coordonnées a?, y, z de chaque point en seront aussi des fonctions, de sorte que pour tout déplacement régulier on aura

^^ = © ^"' + Gt) ^"' + ""■-

I, etc., étant des dérivées partielles. La formule (B;

(rf«,) '

éki^

doit être satisfaite quelles que soient les variations (îw^, 5w,, etc., et par suite quand une seule diffère de o; en la désignant par d«,

substituant la valeur de Sx^ de même que ses analogues pour ^y, §z et supprimant le facteur èu^ on trouve

En remplaçant u par u^^ u^, w,, etc., on aura toutes les équations du inouvement ; en effet, leur nombre est celui des inconnues u^j u^, etc.

Les sommes contenant m s'étendent à tous les éléments de masse, et les autres à toutes les forces extérieures.

101. Conditions additionnelles. Liiaisons due» aux solides sans masse* Cas ofi les liaisons sont fonctions du temps. — P Conditions additionnelles, — On est quelquefois assuré d'avance que les variables u du système, en désignant ainsi u^, u^^ etc., satisferont toujours dans le mouvement régulier des équations ou conditions additionnelles que nous désignerons par L, indépendamment des conditions trouvées jusqu'ici et provenant des liaisons.

En ce cas on pourra, au moyen des relations L, exprimer les variables u en fonction d'un nombre moindre de variables v^ , ?;,, etc., qui seront complètement indépendantes, de sorte que le mouvement régulier sera moins général ; nous dirons alors qu'il est restreint.

Il rentre dans les mouvements réguliers et par suite la formule (B) est satisfaite en faisant correspondre Sx, 5^, Sz au seul mouvement restreint.

Toutes les valeurs de x, y^ z sont alors des fonctions de ?;,, ?'„ etc. En supposant qu'une seule v varie, comme nous l'avons fait pour u au numéro précédent, nous trouverons de la même manière la formule (C) où l'on devra remplacer tour à tour ti par

t;,, î;,, etc. Las équations étant en même nombre que les inconnues V le mouvement sera entièrement déterminé.

S'il s'ngit par exemple, comme au numéro 95, de la machine d'Atwood, en négligeant le frottement, et supposant que le système part du repos, il n'y a aucune raison pour que les fils cessent d'être verticaux, ou que les poids se balancent d'un côté plutôt que de l'autre, ni pour qu'ils tournent dans un sens plutôt que dans l'autre.

Les conditions additionnelles consistent alors en ce qu'ils auront une simple translation verticale. En outre, bien que le système soit non strict, on est assuré que le mouvement restera régulier, ou que les fils ne se détendront pas.

2° Conditions additiannelles dîces aux solides extérieurs. —

Soient : t le système donné de solides S, dont la position dépend des variables u] ^' mu système de solides extérieurs S', mobiles, ayant des contacts avec a, et dont la position dépend des variables u', c'est-à-dire u\, u\^ etc.

Désignons aussi par E l'ensemble des équations entre les variables w et 2^', qui dans un mouvement régulier proviennent des contacts entre <7 et t'.

Il peut arriver qu'en éliminant les variables ul entre les équations E on obtienne entre les seules variables u des conditions additionnelles L, qui par suite seront toujours satisfaites. Elles expriment ainsi les conditions géométriques qu'entraîne pour le système t l'existence des corps S' ; mais en même temps ceux-ci étant extérieurs et mobiles, ou compris parmi ceux que nous avons désignés par P', on devra regarder comme des forces extérieures celles qu'ils exercent sur t.

Le cas précédent se présente en particulier quand les corps S auxquels on applique les équations du mouvement ne forment qu'une portion d'un système ; de la sorte tout en étant exactes, elles ne déterminent pas complètement le mouvement, qui dépend en partie de celui des autres solides.

3° On doit considérer comme de simples liaisons les solides extérieurs S' s^ils ont une masse nulle et qu'aucune force extérieure n'agisse sur eux. Cela signifie qu'on ne doit pas compter parmi les forces 'extérieures celles qu'exercent leurs contacts. Par conséquenty pourvu qu'on ait égard aux relations L qui peuvent en résulter, les équations du mouvement de t sont les mêmes que si les corps S' n'existaient pas.

Pour le démontrer appliquons la formule (B) aux systèmes a et -7' réunis en un seul.

Les masses des corps S' disparaîtront de cette formule. Par

exemple, bien que les termes m — Sx qui leur correspondent soient

en nombre pour ainsi dire infinis, leur somme est inférieure au

produit de la plus grande valeur de ^ 8rc par la quantité négligeable im.

Aucune force extérieure agissant sur t' n'entrera dans la formule, non plus que celles des contacts de <t et a' ; elle sera donc la même que si on l'appliquait au seul système g, l'autre n' n'existant pas, mais les déplacements réguliers étant assujettis aux conditions additionnelles provenant des contacts.

Sans doute des solides, s'ils sont creux, peuvent avoir des masses négligeables ; toutefois le cas précédent s'applique plutôt à des dispositions purement fictives, imaginées dans le but de réaliser un mode de liaison donné.

4^ Cas où le mouvement du système d est connu d'avance. — Désignons alors par E comme ci-dessus toutes les équations entre les variables u et u' provenant des contacts entre les systèmes a et t', comme si les solides S' devaient servir de liaison.

Nous admettrons qu'on en ait tiré en tout oti en partie les valeurs des variables u en fonction de u\^ «^',, etc. Celles-ci étant connues en fonction du temps, w,, ^f,, etc., le seraient de même si on pouvait les tirer toutes de cette manière, et le mouvement de <t serait ainsi déterminé.

En laissant de côté ce cas, on trouvera les valeurs des variables u en fonction de ti ,^ e*\, etc., et d'un nombre moindre de variables indépendantes i;,, i;„ etc.

Supposons maitenant qu'on applique la formule (B) aux système T et rs réunis. Bien que ei',, «^',, etc., varient dans le mouvement réel, la formule est exacte pour tous les déplacements virtuels, indépendants du déplacement réel. Nous ne l'emploierons que pour ceux où v,, i;,, etc., varient seuls, w',, w\, etc., restant constants, ou le système n immobile.

En ce cas tous les termes des sommes s correspondant à t' disparaissent, èx^ Sy, Sz étant nuls pour chacun d'eux. Les forces exercées par t' sur t aux contacts n'y entrent pas non plus ; la formule (B) ne s'applique ainsi en réalité qu'au seul système ^ et se change comme ci-dessus dans la formule (C) en y remplaçant u par V,,.?;,, etc., et supposant les variables u' constantes dans les

dérivées partielles [ . ), etc.

Si donc u\, u\y etc., sont connues en fonction du temps, la formule (C) fournira autant d'équations qu'il y a d'inconnues t^,, t;,, etc., et déterminera complètement le mouvement du système t.

Il faut remarquer dans les applications que u\, u\, etc., étant des fonctions données du temps t, les équations E existent entre t et les variables u. Celles-ci se trouvent ainsi déterminées en fonctions de t, <;,, v,, t^,, etc., et il en est de même de toutes les valeurs de x, y, z. De la sorte, en les substituant dans la formule (C) appliquée au seul système t on aura toutes les équations de son mouvement.

Les forces des contacts de t' et t n'entrant pas dans le résultat, les corps S' jouent le rôle de liaisons. On dit en ce cas que les liaisons sont fonctions du temps.

Le principe des forces vives n'est plus alors exact, parce que le système t' est supposé immobile dans les déplacements virtuels employés, qui par suite ne contiennent plus comme cas particulier le déplacement réel.

En supposant t;,,t;„ etc., seuls variables, la formule (B), telle que nous l'avons employée ci-dessus, coïncide avec celle qui correspondrait à (7 seul, en regardant les corps S' comme fixes dans leur position actuelle. Par suite si le système est strict, les conditions d'équilibre d'un ensemble de forces pendant le mouvement sont les mêmes à tout instant que si le système ? était fixe, et le système t en repos.

Nous nommerons mouvement contraint celui d'un corps, lorsqu'il est assigné d'avance, indépendamment des forces que le système peut exercer sur lui, comme on l'a supposé dans ce qui précède pour les corps S'.

L'existence de mouvements contraints est fréquente dans les applications. Les corps extérieurs servant d'appuis à une machine sont emportés par le mouvement de la terre ; le cas est analogue si elle est placée sur un navire, et qu'on puisse négliger l'influence du mouvement de la machine sur celui du navire. Les effets des tremblements de terre «n sont un autre exemple. Si un système où les forces enjeu sont faibles se trouve en contact avec une machine puissante, le mouvement de celle-ci peut encore être considéré conmie contraint.

On doit faire rentrer dans cette classe non seulement tous les cas où un solide du système est en contact avec une surface emportée par un mouvement contraint, mais aussi celui où cette surface se déforme suivant une loi quelconque donnée en fonction du temps, ce qui équivaut à un mode de mouvement. Il en est de même de celui où un point d'un solide du système est fixé aux corps extérieurs de manière à avoir lui-même un mouvement contraint, etc.

5° Cas simples des m^mvements contraints. — Nous nommerons

ainsi ceux où tous les corps S' ayant ce mouvement forment un

système invariable, ou se réduisent à un solide unique; c'est

entre autres le cas du mouvement terrestre. On peut alors, sans

employer les résultats précédents, en trouver l'effet en rapportant

le monvement da système à des axes qai partagent celai dn corps S'. Le moavemeDt relatif d'un point matériel, comme ou Ta va au numéro 71, soit les mêmes lois que si le corps S' et les axes étaient fixes, moyennant l'adjonction de forces fictives aux forces réelles. On peut en dire autant pour le mouvement d'un système de solides et même d'un système matériel quelconque.

102. Forntnlefl de I^agraiige. — On désigne ainsi une nouvelle forme remarquable des équations (C) du mouvement.

Au lieu d'employer les lettres w,, w„ etc., ou v,, v^. etc., il sera plus simple de désigner par p^ q, r, les variables du système, et même de n'en supposer que trois, le résultat s'étendant aisément à un plus grand nombre.

Nous admettrons que les liaisons puissent être fonctions du temps t.

On doit évaluer directement le travail élémentaire des forces extérieures correspondant à des variations Sp^ Sq, ir de py g, r, de sorte qu'il aura la forme

On trouvera P par exemple en supposant que p varie seul. Chaque solide ayant alors une translation ou une rotation élémentaire, le travail s'en déduira aisément, et nous supposerons dans ce qui suit que les quantités P, Q, R sont connues en fonction de

Ce seront des fonctions de jp, g, r, t si les liaisons sont fonctions

du temps ; mais en ce cas, en évaluant le travail, on regardera

jp, g, r comme variant seuls, ou t comme constant, de sorte que

dans le déplacement des solides du système les corps ayant un

mouvement contraint doivent être considérés comme immobiles.

Le travail des forces est

l(\8x + Y8i/ + ZSz) .

et par suite P représente l'expression

De la sorte la première équation (C), eiî y remplaçant u par |), prend la forme

Les antres s'en déduisent en remplaçant p par g, r et P par Q,R.

Pour les transformer nous devons établir d'abord quelques relations auxiliaires.

Désignons -, -J-, -^- par a^, y , /, et ^,-^, -^^ par y, i f.

Le cas où les liaisons sont fonctions du temps renfermant tous les autres, on a par hypothèse pour l'élément m,

d'où

ou x' = H + Ap' + ^' + Cr' ,

H, A, B, C étant les dérivées partielles

toutes fonctions de <, ^, q, r. De la sorte

\dq) \dp) \dpdql'

et l'on a de même,

\dt)~\dpr \dq)~\dpr \dr)^\dp)'

La dérivée complète -^ , en faisant varier t, p, q, r, se forme de même que celle de x, d'où

et d'après les relations précédentes on peut l'écrire

It ~ [dp)

dp/ \dp/

/d\^\ .,(dC\ .

Considérons maintenant les dérivées partielles de l'expression

x' = H + Ap' + V^q + Cr',

en regardante, j), î, r, |?', g', /, comme des lettres indépendantes; noas aurons

\ip ) \dp

dX (dx

j el

Transformons ensuite le premier terme \ de la formule (C), ou

orx { dx\

J-] est le même que (-^^ j ou A. On peut donc écrire

, dx' d.{kx) , dk

X^mk-^m-^^mx-^,

OU d'après les relations précédentes,

Jdx'\ m d, (d.x'\ m /d.af*\

En transformant de même les antres termes de Féquation (C) elle devient

("dy (^'« + 2/'« + z'*)l [d.^i (V« 4- y' + z'il

^L dp' J~^L dp J = ^'

les dérivées par rapport hp etp' étant partielles ; m{af* H-y** +/*) est la force vive de l'élément m. Si donc on désigne par T la demiforce vive totale du système, et qu'on joigne à l'équation précédente ses analogues relatives à q, r, etc., on aura quel que soit le nombre des variables,

d. /dT\ /dT\ ,. d. /dT\ /rfT

/dT\ /dT\ ,, d. /dT\ /dT\

Ce sont les formules de Lagrange. De la sorte, au lieu d'avoir à calculer les sommes 1 relatives aux masses qui entrent dans les équations (C) on doit simplement exprimer la force vive en fonction des variables I?, q, r, etc., et de leurs dérivées jp', g', etc., qui y entrent nécessairement au second degré. Elles entrent au pre-

mier dans ( .-) etc., et par suite les équations sont linéaires par rapport à -J-, -^ , etc.

103. Mouvement dn gyroscape. — Il s'agit ici de l'appareil imaginé par Foucault, composé d'un solide de révolution dont le centre de gravité est fixe et dont l'axe de figure en outre est contraint de se mouvoir dans un plan n. Si la rotation autour de cet axe est très rapide, il se déplace d'une manière sensible sous l'influence de la force centrifuge composée due à la rotation terrestre.

Pour simplifier nous supposerons que le plan n contient la droite OL dirigée vers le ^) pôle boréal du ciel, 0 étant le centre de gravité immobile. Nous définirons les angles polaires t|;, 6, cp comme au numéro 44, le ^^^"

1 'JS", ■~i«ST7i"

plan fixe L'OD étant perpendiculaire à OL ; mais nous emploierons trois systèmes d'âxes; le premier est celui des axes principaux, mobiles avec le solide, OZ' étant l'axe de figure, et le plan des autres OX', OY' coupant le plan fixe suivant OD ; pour le second OZ est le même et OX est placé sur OD ; pour le troisième OZ" est sur OL et OX" sur OD. Pour chacun le sens anf par rapport à Taxe des z est celui de la rotation terrestre, indiqué par la flèche : 6 est compté de OL vers OZ ou de OY" vers OY dans le sens direct par rapport à OD ; <p est compté de OD vers OX' dans le sens direct par rapport à OZ. Quant à ^ ou LOD il est constant le plan n étant perpendiculaire à OD.

l^ Emploi des formides de Lagrange. — Le système se réduit

à un solide dont les variables sont 9 et <p; en désignant —, -^

par 0', cp', ces formules deviennent

dtW) \r/6/ ' dt\d'f) \drp) ^'

P et Q sont tels que la somme des travaux des forces extérieures pour un petit déplacement soit VdO -f- Qd(p ; cette somme est ainsi Pd& lorsque rf<p = o ou que le corps tourne autour de OD; le travail est d'autre part le produit de l'angle décrit dO par la somme des moments par rapport à l'axe de rotation. Par conséquent P signifie la somme des moments des forces extérieures par rapport à OD, et pour la même raison, le corps tournant autour de OZ quand dO = Oj Q est la somme des moments des forces par rapport à OZ. La force vive totale est, d'après le numéro 90.

D'ailleurs B = A, et les valeurs de jp, q, r du numéro 44, en y remplaçant '^ par o, ^ ^t -ir par 9', <p', sont

(1) p = 6' cos <p, 9 = — 6' sin ç, r = y'.

Il en résulte pour la demi-force vive T,

valeur indépendante de 9 et 9. En la sabstitnant dans les éqaations de Lagrange, on tronve

^ ^ dt dt

Le moment d'inertie par rapport à OD est A ; ainsi d'après le . nnméro 89 ces denx équations sont séparément les mêmes que si le corps tournait autour de OD comme axe fixe, ou autour de OZ. 2® Emploi de la première forme des équations du mouvement — Cet emploi consiste à remplacer les obstacles par des forces équivalentes. C'est ce que nous ferons pour les forces /*de contact qui contraignent l'axe à rester dans le plan II; cette substitution est inutile pour le point 0 qui sera supposé fixe, et les équations du mouvement sont ainsi celles d'Ëuler du numéro 90, en posant B = A, ou

A % + (G - A çr = ,. + M, A-^- + (A - C)pr = ^' + M',

M, M', M'' étant les sommes des moments des forces f par rapport aux axes principaux, et /ji, /x', a les sommes de ceux des autres forces.

Les forces de contact sont appliquées à l'axe OZ et perpendiculaires au plan n ou parallèles à OD, et par suite le moment principal de chacune tombe sur OY ou son prolongement ; il en est de même du moment principal de leur ensemble que nous désignerons par L; comme OY fait avec OX', OY', OZ' les angles

M = L sin y, . M' = L cos œ, M" = 0 ,

si L tombe sur OY ; on peut-en dire autant s'il est en sens contraire en le supposant négatif.

Les forces de contact doivent être éliminées entre les équations du mouvement, et pour faire disparaître L nous devons ajouter les deux premières multipliées par cos cp et — sin çp ; elles deviennent ainsi

Les sommes de moments se transforment comme les coordonnées,

et par suite p cos cp — a sin cp est la somme des moments des

forces par rapport à OD ou celle qui a été désignée par P, et l'on

a aussi p" = Q. D'autre part en remplaçant i>, î, f par leurs

. valeurs (1) les premiers membres des équations précédentes se

réduisent à A -^, C -J-, et l'on retrouve ainsi les équations (2) que

nous avions d'abord obtenues par une méthode plus courte.

3^ Valeurs de P et Q. — Le plan des x"y" étant parallèle à l'équateur, les projections de la force centrifuge composée sur le troisième système d'axes, pour l'unité de masse^ sont d'après le numéro 73,

dt ai

n étant la vitesse angulaire de la rotation terrestre.

dx"

H n'y a pas d'autre force extérieure; ainsi en désignant ^par a, on aura

p = ïmY'Z"— z'T') == inlmz'oi = 'inlmiy sin 6 + z cos 6)» .

D'après le numéro 42, 7. étant la projection de la vitesse sur OX, on a

j)', ((yif^ étant les projections de la vitesse angulaire sur OX, OY, OZ; ' elles sont jp, j, r, pour OX', OY', OZ, et d'ailleurs se transforment comme des coordonnées, de sorte qu'on a

p' = p cos y — g sin ^, 9' = p sin ç) + ç cos y, r = r,

et d'après les valeurs (1), g' = 0, r' =: 9'. Il en résulte

a = — yy', P = — 2n(p'£my(^i/ sin 6 + :î cos 9) .

Les axes OX, OY, OZ étant principaux, on a et P se réduit à

P = — nCç' sin 6 .

On pourrait trouver Q par un calcul analogue, mais il est plus simple de remarquer que la force en chaque point est parallèle au plan des oi' ij\ perpendiculaire à la projection de la vitesse sur ce plan, et par suite à la vitesse elle-même, de sorte que dans le mouvement réel son travail est constamment nul. Ou qu'on a

Prf6 + Qd'f = 0 ou Pô' + Q'f = 0 ,

De la valeur ci-dessus de P on déduit ainsi Q = /îCÔ' sin 0, et les équations (2) du mouvement deviennent

A ^ = — wC®' sin 6, C ^ = nCô' sin 6.

On peut remarquer que le travail des forces extérieures étant nul, la force vive est constante.

4<^ Intégration. — Soient a, fc, k les valeurs initiales de Ô,cp', 6' ; on peut supposer k positif; s'il ne l'était pas on changerait scm signe en remplaçant OZ par son prolongement. Posons en outre

cos 6 — cos a = « ,

quantité dont la valear initiale est nulle. La seconde éqaation peat s'écrire

JL = „__=.^^, doù y =*-«,.

En multipliant la première équation par &dt = dQ^et substituant la valeur de ^ , on a

A6'(ie' = — nC(p' sin WG = nC(k — ns)dî ,

et en intégrant

è'« = /(«), où /(«) = ~ (2A« — n«») + *'«.

Supposons d'abord k* différent de o. L'équation f{s) = o a une racine positive et une négative et f{s) n'est positif que si s est compris entre elles. Mais cos 6 ne varie qu'entre ± 1 et 5 entre

+ s' et — 5", en posant

I — cos a = it\ I + cos a == s".

Par suite si Ton a à la fois f{s') > o, f( — s") > o, ou

f[s) OU Ô'' ne s'annulera jamais pendant le mouvement, et l'axe OZ tournera autour de 0 toujours dans le même sens. Or le phénomène que le gyroscope doit mettre en évidence ne se réalise pas

dans ce cas. Comme n est un très petit nombre on doit regarder

— comme très grand ; d'ailleurs s' = ou < 2 ; par suite la première inégalité est exacte, le second membre étant négatif. Nous devons donc supposer k assez petit pour que l'autre ne soit pas satisfaite. Il y aura de la sorte un instant où l^on aura Ô' = o, et nous pourrons le prendre comme initial ; k' est alors nul et les formules deviennent

f'=k — ns, 6'* = — (2^ - n«V, « = cos 6 — cos a ;

^., iknC 2iknC

6 * = . « = —r— (cos 6 — cos a) ,

et en la comparant à Féquation du mouvement dii pendule simple de longueur ly qui est

e'» = J (cos e - cos a) ,

on voit que les deux mouvements ont la même loi ; en supposant -y :== -T-. Quand les oscillations ne sont pas très grandes on peut prendre pour la durée T de l'oscillation

"Vt-I/

knC '

Soit N = 86164% durée de la révolution terrestre, ou du jour sidéral, et i le nombre de tours du gyroscope, par seconde à Finstant initial ; on aura

^iz . . « à / A N . / A 21541

"=f' ^^^"^^ '^=]/^-ir = |/

L'axe du gyroscope oscillera dans le temps T de part et d'antre de la direction du pôle céleste. On a

par suite le rapport -p- n'a pas de limite supérieure, mais est au

— étant un grand nombre, cp' est presque invariable ou la rotation autour de Taxe presque uniforme. En outre 2 k — ns étant vSI

positif, 5 doit l'être aussi, de sorte que cos 0 oscillera entre 1 et .^>:j%

cos a, OU Ô entre ± a. '--jf^

En négligeant /^', le mouvement de l'axe diffère alors à peine de celui que représente l'équation

■Vi

moins^ ; il prend cette valeur si i mr' est négligeable ou si le

gyroscope a la forme d^un disque mince. En ce cas on voit que même pour i = 1^ T dépasserait à peine 100 secondes, en supposant, cela va sans dire, un appareil parfait et sans frottements.

104. Kffeto d'nu tremblemeut de terre. — Cette question sera un exemple des mouvements contraints ; nous nous bornerons à chercher l'eflFet de la secousse sur un pendule composé. Menons le plan de la figure par le centre de gravité G perpendiculairement à Taxe horizontal de rotation qu'il coupe en 0.

Prenons cet axe pour OY, OZ étant vertical dirigé en bas. Soient : OG = h\m la masse totale ; C le mo-

^ ment d'inertie par rapport à l'axe^ et 0 l'angle d'écart

ZOG pris positif du côté de OX, négatif de l'autre. Nous supposerons qu'à l'instant initial, le corps étant immobile, l'axe de rotation commence à être rapidement déplacé par un mouvement de translation rectiligne, le chemin décrit par chaque point étant une fonction donnée t^ du temps, et les constantes a,|3,y, étant les cosinus de ses angles avec les axes.

Nous désignerons—,—,-^,— par Ô', &", u\ u". Aucun point

ne pouvant prendre soudainement une vitesse finie, on aura 0 = o, & =z 0^ u = 0, u' =^0 pour t= 0.

P Emploi des formules de Lagrange. — La seule variable du système est 6, et l'équation du mouvement

rf. /dT^/i!:\ p

dt VdQ'J \ de / •

Les forces* extérieures se réduisent au poids mg appliqué en G; P est tel que P5Ô soit le travail de cette force pour un déplacement dans lequel le solide ayant un mouvement contraint, c'68t*à-dire

Taxe, est supposé fixe; P est donc le moment de la force par rapport à l'axe, d'où

P = — tngh sm 6 .

La force vive 2 T, comme on l'a vu au numéro 99 est la somme de celle du centre de gravité et de celle de la rotation autour de ce centre. Les coordonnées variables du point G sont x = hsin 0, y = 0, -2? = A cos 0, et les projections de sa vitesse relative aux axes

W cos 6, 0, — hb' sin 6.

En leur ajoutant celles de la vitesse de translation, on aura celles de sa vitesse absolue. Sa force vive est par suite

m [(ocm' + Wcos e)* I- 3»t«'' 4- (7u' — hb' sin 6)"] ,

[m'' 4- h%^ + ^2/ïM'0\a cos 6 - 7 sin 6)] .

L'angle de rotation du corps autour du point G est Ô, et la force vive de rotation C'Ô'*, C étant le moment d'inertie par rapport à un axe mené par G et perpendiculaire au plan de la figure. D'ailleurs, comme on l'a vu au numéro 79 , C = C — mh* . En réunissant les deux forces vives on trouve

2T =- CQ'' 4- ni [u'« 4- ihub\a cos e — 7 sin 6)] .

et en substituant les valeurs de T et P dans l'équation du mouvement

-j- [ce' + mhu\a. cos 6 — 7«in 6)] f twAu'e'ia sin 6 + 7 cos 6) =

= — mgh sin 6 , OU

C6' + mhxt\rf. cos 6 — 7 sin 6) = — mgh sin 6.

2* Autre méthode. Emploi d'une force fictive. — Le solide extérieur déplacé ou l'axe étant une figure invariable on peut calculer

le mouvement relatif oa la valear de H en supposant cet axe fixe, pourvu qu'on joigne aux forces extérieures une force fictive qui, rapportée à(runité de masse, sera dans le cas actuel l'accélération e^'' du point 0 en sens contraire. Elle est en chaque point proportionnelle à la masse, a partout la même direction, et par suite, comme la pesanteur, elle équivaut à une force unique mu^ appliquée en 6 ; ses projections sont

Le moment du poids par rapport à l'axe est — mgh sin 6, et en lui joignant le moment p de cette force, on aura d'après le numéro 89

CO" = — ^ngh sin 6 -j- [i;

d'ailleurs z etx étant les coordonnées de G,

pi = zX — xl = mhu"{^ sin 6 — a cos 6).

On retrouve ainsi par une méthode plus simple la même équation du mouvement que ci-dessus.

3<* Intégration. — Comme elle n'est pas possible sous la forme générale précédente, nous admettrons que l'angle 6, d'abord nul, ne prenne jamais de grandes valeurs, de sorte qu'on puisse remplacer sin & par Ô et cos 6 par 1. Nous laisserons de côté également le cas où la secousse aurait une composante verticale, de sorte que y sera nul ; l'équation ne contient pas /3 et ne dépend ainsi que de la composante de la translation suivant OX ; il est donc plus simple de la prendre elle-même pour u^ mais il vaut mieux la considérer comme positive quand elle est sur le prolongement de OX, ce qui revient à remplacer a par — 1. L'équation se réduit ainsi à

Posons ~=l^ qui est la longueur réduite du pendule et en outre

équation divisée par mh devient

Son intégrale complète est

/e = F cos nt H- F' sin nt ,

F et F étant des fonctions assujetties à satisfaire les relations rfF , . rfF' . ' d¥ , ^ ^ dF' , «"

-77 COS n( 4- ^-- sin nt = o, r- sin n/ + -n- cos n/ — — .

ai (U ai al n

Par suite on a