nF sin fif + nF' cos n
Les valeurs de 6, -^ étant nulles quand t ^ o, il en est de même de F et P. D'ailleurs
rfF m" dF tt"
-n* = sin n^ -rr = — cos ni .
dt n dt n
En intégrant par partie u'\ et remarquant que u' = o quand f := o, il en résulte
F = I u" sin nt.dt = sin n/ -f 1 u' cos nt.dt,
F' = - - I tt" cos n/.di = — cos ni + I u' sin ni.di .
En substituant ces valeurs dans celle de lOy remplaçant t par if sous le signe j et regardant alors u comme une fonction de fy on trouve
'« du
/e = / ^cos.n(/ — 0<<^''
Nons laisserons de côté les diverses évaluations qu'on peut faire de cette expression en donnant à la fonction u des formes particulières, et nous nous bornerons à chercher une limite supérieure des valeurs de 10 en supposant que u croisse d'abord de o à i puis décroisse jusqu'à o. On aura cette limite en remplaçant le cosinus
par 1 et prenant constamment pour -tt sa valeur numérique.
Alors Va croît avec t jusqu'à l'instant où w et -^ deviennent
nuls, et reste ensuite constant. Cette intégrale constante se compose de deux parties correspondant à la croissance et à la décroissance de u, et toutes deux sont son accroissement total >. Par suite 10 ne pourra jamais dépasser 2 À ni pendant la secousse ni après ; on pourrait vérifier du reste que ce maximum théorique est en général trop élevé. Mais il suffit pour apprécier l'erreur
commise en supposant 0 peu considérable, son maximum étant -^, où X est l'amplitude de l'excursion du point 0.
105. JËffets d'aue perciission extérieure mur nn solide. — Comme nous l'avons vu au numéro 69 la force f développée dans un choc a une énorme intensité, une direction constante, et agit pendant un instant 0 tellement court qu'on peut regarder comme négligeable le déplacement du corps pendant ce temps, bien que les vitesses éprouvent un changement notable.
Nous nommerons impulsion l'intégrale
étendue à la durée 0 du choc ou de la percussion. Si X, Y, Z sont les projections de f, celles de l'impulsion cp seront
dont les rapports à (p sont les mêmes que ceux de X , Y, Z à /!
Si une impulsion connue vient à agir sar un solide ses effets se déduisent aisément des équations du mouvement ; nous devons y regarder / comme l'unique force extérieure, toute influence des autres étant négligeable pendant la durée 0.
Premier cas. Le solide ne peut que tourner autour d'un aoœ fixe. — Soient u la vitesse angulaire, et C le moment d'inertie par rapport à l'axe, que nous prendrons pour celui des -gr : on a
du z^^+o dtt /*^+®
dt
;jL est la somme des moments des forces extérieures, c'est-à-dire celui de /, ou ft = xY — yX, x, y, z étant les coordonnées de son point d'application. Elles restent constantes pendant la durée 0, d'où
|irfi = rr) — .v4 = M ,
M étant le moment de Timpulsion '^, évalué comme celui d'une force. En désignant par la caractéristique ^ l'accroissement fini d'une vitesse, nous aurons ainsi
pour celui de la vitesse angulaire.
Second cas. Le solide ne peut que tourner autour d'un point /fere 0. — En prenant OX, OY, OZ les axes principaux, la première équation d'Euler donne en l'intégrant
A 1 -^ dt + (C— B) 1 qrdt = 1 jtrfr,
'j. est la somme des moments des forces extérieures par rapport
à OX. On voit comme ci dessus que | [kdt = M, en désignant
par M, M', M" les moments de l'impulsion par rapport aux axes;
I qrdt est négligeable, qr n'atteignant point comme f de grandes
valeurs pendant la durée 0 ; on aura donc kèp = M, et en interprétant de même les antres équations,
èp, Sq, Sr sont les vitesses angulaires jo, q. r elles-mêmes si le solide part da repos.
Troisième cas. Le solide est entièrement libre, — Soient m sa masse : a;,, y,j z^ les coordonnées du centre de gravité, v, sa vitesse : en intégrant la première équation du mouvement du centre, on a
fê) =/:
comme w ^, w -Jj^, ' sont les projections de la quantité de
mouvement antérieure mv^, on voit que sa nouvelle valeur est résultante de celle-là, et d'une autre ayant pour projections Ç, r^, Ç, ou qui est égale à c^ en grandeur et en direction. Si le solide était en repos on aurait après le choc mv^ = cp. En même temps le solide tourne autour du centre de gravité comme s'il était iSxe, les forces restant les mêmes ; le mouvement de rotation sera donc modifié comme dans le second cas ci-dessus.
Pendule baltstiqtie. — Dans ce qui précède le solide étant théorique la déformation résultant du choc était supposée négligeable. Le pendule balistique est un exemple du cas^ où il n'en est pas ainsi. Cet appareil, destiné à mesurer la vitesse d'un boulet au
sortir de la pièce, se compose d'une caisse pleine
de sable fin qui est maintenu par une feuille még tallique très mince ; elle est suspendue à un axe
horizontal perpendiculaire au plan de la figure.
qui le coupe en 0. Le boulet arrivant horizonta-
lement suivant BA reste fixé en A, et l'appareil, qui est un pendule composé en y comprenant le boulet, se met en mouvement avec une vitesse angulaire u. On observe son angle d'écart «, ou l'amplitude d'oscillation ; par la loi du mouvement du pendule on en déduit alors la valeur u de la vitesse angulaire dans la position initiale.
Pour la comparer à la vitesse v du boulet nous ne pouvons à cause de la déformation employer l'équation du mouvement du pendule, mais bien la loi générale des aires dont cette équation résulte. Le système se compose du pendule et du boulet, les deux solides étant regardés comme libres. Pour tout système on a
a étant la somme des moments des forces extérieures par rapport à OZ pour lequel nous prendrons l'axe de suspension. L'effet de la pesanteur est négligeable pendant le choc ; les forces extérieures se réduisent donc à celles qui remplacent la résistance de l'axe; or, leur bras de levier est nul, d'où
m(xdy — ydx) a = 0, L — ^ — j, — = const. ,
ai
c'est-à-dire la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe est constante.
Avant la rencontre des deux corps, M étant la masse du boulet et h la distance de BA au point 0, cette somme de moments se réduisait à Mv X h, le pendule étant immobile. Après la pénétration du boulet, nous avons vu au numéro 89 que cette somme était Cw, u étant la vitesse angulaire, et C le moment d'inertie du pendule et du boulet réunis par rapport à l'axe ; il en résulte
Mhv == Cm ,
d'où l'on déduit v après avoir trouvé u comme ci-dessus.
f Tv.:^^*
106. £ffet des perenssions extérienres sur an système; eentre de pereussion. — Nous supposerons le système strict dans ce numéro et le reste du chapitre.
Les équations (C) de son mouvement d'après le numéro 100, ont la forme
où A, B, C sont les dérivées (-^j, etc., c'est-à-dire ne dépendant
que de la position de l'élément m.
En outre le système étant strict, nous avons vu au même numéro que ces équations se déduisent des conditions d'équilibre en remplaçant
X par X — w-7^, etc.
Par suite ces conditions ont la forme correspondante
S^AX + BY -f- CZ) = 0 .
Soient a, 6, c les projections de la vitesse de l'élément m avant les percussions, et a,, 6,, c, après. Leurs accroissements seront
dx
