rr = '•! — ^1 ^*c

Les coefficients A, B, C restent constants pendant la durée 0 des percussions, puisque la position des corps du système ne change pas ; en multipliant l'équation du mouvement ci-dessus par dt^ et intégrant de ^ à ^ + 0, on aura donc

V \ / / xdt — ma. + ma j + B I | \dt — mb, + mbj +

+ C ( I Zdt — me, + me

if.

Xdt, etc., on n'a à tenir compte

que des percussions, l'influence des autres forces extérieures pendant la durée 9 étant négligeable. En comparant l'équation précédente à la condition

S(AX + BY + CZ) = o,

et lui joignant ses analogues, on voit qu'il y a équilibre entre trois systèmes de forces, ayant pour projections, soit — ma, , etc. , soit

ma, etc., soit I Xrff, etc. Par conséquent U y a équilibre entre les

quantités de mouvement antérieures aux percussions, les quantités de mouvement postérieures prises en signe contraire, et les impulsions. Les conditions de cet équilibre suffisent pour déterminer les changements des quantités de mouvement ou des vitesses.

En particulier si le système se réduisait a un solide unique on pourrait eu déduire tous les résultats obtenus au numéro précédent par une méthode plus simple. Toutefois cette méthode serait mpropre à résoudre la question suivante, qui sera une application de la règle générale ci-dessus.

Centre de percmsion, — Supposons une percussion unique ou une impulsion extérieure cp appliquée à un solide immobile ne pouvant que tourner autour d'un axe fixe OZ, et cherchons dans quels cas Taxe ne recevra aucune percussion.

Nous pourrions pour cela remplacer l'axe par deux points fixes 0 et Z, et ceux-ci par les forces qu'ils exercent, de façon à regarder le corps comme entièrement libre ; ces forces ramènent constamment les points 0, Z à l'immobilité, et d'ailleurs pendant la durée 6 elles prennent en général le caractère des percussions, c'est-à-dire agissent avec une grande intensité, produisant des impulsions f, ^\

Les quantités de mouvement antérieures à la percussion sont nulles ; désignons par S l'ensemble des quantités de mouvement

postérieures. D'après la règle ci-dessus il y a équilibre entre les quantités S en sens contraire et les impulsions cp, <f\ <p". Or on demande à quelles conditions les percussions sur Taxe, et par suite cp', cp" sont nulles ; il faut donc et il suffit pour cela que — S et cp seules se fassent équilibre, ou qu'en les assimilant à des forces le système S agissant sur le solide libre soit équivalent à la

force cp.

H Menons le plan de la ligure par l'axe et le

centre de gravité G ; prenons l'axe pour celui ^- X des -3?, l'origine 0 étant le pied de la perpendiculaire GO qui sera Taxe des x, et soit GO = l. Comme on l'a vu au numéro 42 les projections, de la vitesse de l'élément m sont — mj/, ux, o, u étant la vitesse angulaire ; celles de la quantité de mouvement sont — muy^ mux^ o; si Ton en déduit ses moments par rapport aux axes, on trouvera pour les sommes de projections et de moments du système S, f

X = — uï,my, Y = MÏmr, Z = o ,

P = — uï^rnxz, Q = — uï,myz, R = ûï^m^x^ -|- y^) »

D'ailleurs

M étant la masse totale et x,, y,, les coordonnées du centre de gravité ; on a ic, = ^î y, = ^> d'où

X == 0, Y r^ Mu/, Z = 0 .

Ces projections doivent être aussi celles de cp qui par suite est perpendiculaire au plan de la figure. On peut supposer OY dans le sens de y, d'où

On peut regarder rimpolsion comme appliquée en an point H du

plan, dont nous nommerons x\ / les coordonnées. Ses moments sont ainsi — ^<p, o, a^'cp? et en les égalant à P, Q, R on aura

C étant le moment d'inertie par rapport à l'axe.

La relation 1 myz = o ne dépend que de la position relative de Taxe et du centre de gravité. Il n'y a aucune solution à moins que cette équation ne soit satisfaite, et dans ce cas, d'après la valeur de u^ les deux autres donnent

coordonnées du point H, nommé centre de percussion; elles sont indépendantes de cp. La connaissance de ce point est quelquefois importante dans les machines, comme dispensant un axe de rotation d'être mis en état de résister à un choc.

107. £ffet d'nne perenssion intérieure sur un système. — S'il se produit un choc entre deux solides d'un système, soit f la pression normale qu'il développe, et A, A' des points situés sur la normale au point de contact, à une distance finie de part et d'autre de ce point, à l'intérieur des deux corps.

La distance r de A et A' varie très légèrement pendant le choc, et on verrait comme au numéro 69 où il s'agissait de deux sphères, que la somme des travaux élémentaires de la force /"sur les deux corps pendant leur déformation est I fdr^ négative pendant la première période du choc, dans laquelle r diminue.

Si les corps sont parfaitement élastiques et -se séparent après le choc, /* redevient le même quand r reprend la même valeur, et par suite la somme 2 /Hr, étendue à toute la durée du choc, est nulle. Sans cela elle est négative, surtout si la première période existe seule. Dans ce dernier cas nous dirons que le contact est persistant, la vitesse normale étant alors la même pour les deux

points en contact. C'est ce qui arrive, soit qaand les corps sont parfaitement moas, soit qnand ils sont élastiques, mais restent adhérents l'un à l'autre, par Tefifet du mouvement ou de nouvelles liaisons. On ne peut mentionner de propriétés spéciales pour les cas intermédiaires entre les deux précédents, et nous ne nous occuperons que de ceux-ci.

Il est clair qu'on ne peut point dans les équations du mouvement assimiler la pression /*à une force de contact; aussi devonsnous la considérer comme une force extérieure agissant sur les deux corps à la fois pendant une durée h. Le choc produit des réactions sur les autres contacts du système, et nous admettrons « qu'il n'en résulte pas des changements de liaisons.

L'effet des autres forces extérieures étant négligeable pendant la durée Ô, les changements de vitesse produits par la percussion intérieure se trouveront alors par les règles du numéro précédent, dans lesquelles on connaît la direction de l'impulsion ci> considérée comme extérieure, mais non sa valeur.

Dans les deux cas extrêmes mentionnés plus haut, on obtiendra comme il suit une équation pour la déterminer.

Si les corps choqués sont parfaitement élastiques et se séparent après le choc, la somme des travaux de la force extérieure f est nulle comme on l'a vu, et par suite la force vive totale du système n'est pas changée.

Si le contact est persistant, la composante normale de la vitesse au point de contact devient la même pour les deux corps choqués.

Relatiou purticidière aux chocs de seconde espèce ou dans lesquels les contacts sont persistants. — En ce cas il est clair qu'il s'est formé de nouvelles liaisons. D'après le numéro précédent il y a équilibre entre les nouvelles quantités de mouvement prises en sens contraire, les anciennes avec leur sens, et les impulsions sur les deux corps choqués. Ainsi la somme des travaux de ces trois systèmes de forces est nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les nouvelles liaisons, et entre autres pour le déplace-

mei^t réel. Or pour celui-là le travail de l'impulsion sur les deux corps choqués est le même en signe contraire, les projections de la vitesse et du déplacement des points de contact sur la normale étant les mêmes.

Le travail des impulsions disparait ainsi. Pour les deux autres systèmes de forces la somme des travaux est

en désignant comme précédemment par a, h, c, les anciennes projections de la vitesse de l'élément wi, et par a,, 6,, c, les nouvelles, dx^ dy^ dz correspondent au déplacement réel après le choc, de sorte qu'on s. dx = a^, dt, etc. Il en résulte

Cette relation peut s'écrire

Im^a* + 6» + c«) - lm{a,' + 6/ + c/0 =

On exprime ce résultat en disant que la dimimdion de la force vive du système est égah à la force vive due aux vitesses perdues.

On désigne ici par vitesses perdties celles qui ont pour projections a — a,^ b — 6,, c — c,, bien que pour divers éléments elles puisseut correspondre à un accroissement de vitesse.