Fonction des forées, stabilité de l'équilibre
— 1® Cas où le principe des forces vives fournit une intégrale, — Désignons comme au numéro 102 par^, g, r, etc., les variables indépendantes qui fixent la position du système, et en fonction desquelles peuvent s'exprimer les coordonnées a;, y, z de tous les points d'application des forces extérieures. On aura pour le travail total
X(XAr + \dy + Uz) = Pdp + Qdq -|- Rdr + etc.
P, Q, etc. étant déterminés comme au numéro 102.
Si ce travail est ia différentielle totale d'ane fonction Y ne contenant pas d'autre quantité variable (inep, q, etc., ou si l'on a séparément
on nomme V la fonction des forces ; le principe des forces vives donne alors
d. , Smt;* = dV, -r- Imv* = V + consl.
On voit que l'accroissement de la demi-force vive d'une première position à une seconde est celui de la fonction V, indépendant des positions intermédiaires par lesquelles le système a passé.
Si par exemple il n'y a pas d'autre force que la pesanteur, en prenant pour OZ la verticale inférieure, le travail total est Y.mgdz^ d'où
M étant la masse totale du système, et z, l'ordonnée de son centre de gravité.
2^ Relaimis entre la fonction des forces quand elle existe, et fe$ positions d'équilibre du système. — Les conditions d'équilibre, déduites du principe des vitesses virtuelles, consistent en ce que la somme des travaux soit nulle pour tout déplacement, ou qu'on ait P = 0, Q =0, etc. d'où dV = o. Il en est ainsi quand V est maximum ou minimum séparément par rapport à chacune des lettres/), q, etc., variant seule.
Le cas le plus important est celui où V est réellement maximum pour certaines valeurs i? = p^y q == îo? ^%^ ^^ sorte que la valeur V^ de V dépasse alors toutes celles pour lesquelles 2?, g, etc., diflféreraient peu de p„, g„, etc.
D'une manière plus précise, désignons par À les expressions
Po dt /i, q^± h, r, ±: h, etc.
et soit V, — e la plus grande valeur que prenne V en supposant p, q, etc., compris entre les quantités À, et en outre l'une au moins , égale à l'une de ses deux limites.
Nous admettrons comme condition résultant du maximum de V, qu'en prenant h assez petit on ait V, — e < V^, ou que s soit positif et différent de o.
Cela posé, imaginons qu'on place le système dans une position initiale quelconque oùp^ q, etc., soient compris entre les limites /, et soit alors V = V. Imprimons-lui aussi des vitesses quelconques, donnant s' pour sa demi-force vive. Dans le mouvement qui se produira alors on aura
-[-ymv^~e' = \ — y\ d'où V>V'-e',
puisque 1 mv' est positif.
D'autre part, au premier instant où l'une des variables^, g', etc., atteindrait une de ses limites /, on aurait par hypothèse V = ou < V,-e, d'où
Or en prenant la position initiale suffisamment rapprochée de celle de réquilibre, la valeur numérique de V^ — V sera aussi petite qu'on voudra ; il en est de même de c', en supposant les vitesses initiales très faibles ; on pourra ainsi faire en sorte que l'inégalité précédente ne soit pas satisfaite. En ce cas les valeurs dep^ q, etc. ne pourront jamais atteindre les limites >, et le système dans son mouvement s'écartera toujours très peu de sa position d'équilibre. Par suite aux maxima de la fomtion V correspondent despositmis d'équilibre stable.
Si par exemple la pesanteur est la seule force extérieure, V = M.9^^, et ces maxima seront ceux de z^ ; il pourra quelquefois y en avoir plusieurs, mais en tout cas la position du système où le centre de gravité est aussi bas que le permettent les liaisons
correspond bien à an maximam, on est une position d'équilibre stable.
109. Application ft la chaînette. — Si nous prenons comme exemple une chaîne pesante joignant deux points donnés, elle aura pour position d'équilibre celle où son centre de gravité est le plus bas possible, et en la supposant infiniment mince, on pourra en dire autant d'un fil pesant. En prenant pour OY la verticale supérieure, la courbe qu'il forme en équilibre devra donc être telle que l'expression
yi =
soit minimum. En supposant le fil homogène, de section constante, on peut remplacer m par l'élément ds de l'arc, qui lui est proportionnel ; comme d'ailleurs 2 ds est la longueur donnée du fil, c'est de 1 yds que le minimum correspondra à la courbe cherchée, en supposant la somme 1 ds donnée.
L'application du calcul des variations qui se présente ici i*entre dans la question générale suivante :
En posant
U = /Vdr, U' = fp'dx ,
Ces sommes s'étendant à une courbe qui joint deux points donnés A, B, on demande celle qui rend U maximum ou minimum, U' ayant en même temps une valeur donnée. On suppose que P, P
sont des fonctions connues de x*,y, et de 2/' = -i^-
Nous ferons varier la courbe en augmentant y de au et 1/
de Jt — «* étant une fonction arbitraire de x, nulle en A et B, et
a un coefficient infiniment petit. En désignant par S les accroissements de U et U', nous aurons
[Y')- \T^) ^*^^* ^^^ dérivées partielles, et en intégrant par partie
du , dx dans le second terme, u étant nul aux limites.
(1) 5Ù = a|^Ru(i^, où R = (:;:-) — 4-(^),
\ dy I dx \ dy
en regardant dans la dernière dérivée y et y' comme des fonctions de X.
Supposons la fonction arbitraire u toujours nulle, sauf quand x est compris entre x^ + A, en outre a;, + fe, x^ et x^ étant deux valeurs particulières de x^ et // un petit nombre. Nous aurons
= R«(Zx + 1 R«(/.r
Nous devons supposer la fonction u continue, ayant employé sa dérivée ; nous admettrons en outre qu'elle ait un signe constant dans chacun des intervalles précédents. Si ,a, pi' sont le maximum et le minimum de R quand x varie de rc, — hk x, -j- fe, ,u — R, R — ix seront toujours positifs, et en posant
udx = [ , I wrfjc = [' ,
l'es expressions
^|i-R>dx, (R-{i.'
ou
)ndx ,
Rwrfx, I làudx — jjl'I ,
», — A J xi— h
auront le même signe, et par suite
[{udx = R,l ,
R^ étant compris entre jx et u , ou étant une valeur de R pour laquelle x est compris entre x, + h. On aura de même
Rudx = R^r ,
R, correspondant à une valeur de x comprise entre x^ ±h. Ce qui précède s'applique aussi à dU', d'où résulte
SU = a(R.I + R,n, ÔU' = a(R',I + K\V) ,
R\ , R', étant des valeurs moyennes de la fonction
Nous n'avons à comparer que les courbes pour lesquelles U' est le même ou S[}' = o, et pour celle qui rend U maximum ou minimum on doit avoir aussi rîU = a, d'où résulte
R,l-4-R,r = 0, R\[ + RV' = 0.
Nous pouvons supposer que R/, R/ ne soient pas nuls ; I, l ne le sont pas non plus, et l'on en conclut
Cette égalité reste exacte si l'on fait converger h vers o, auquel
cas R,, R',, correspondent exactement h x =^ x^, et R,, R',
h X = x^] d'ailleurs x^, x^ sont deux valeurs quelconques de x.
Il faut donc qu'on ait
R = cR',
c étant une constante. Cette condition est d'ailleurs suffisante car il en résulte 3U = c^\]\ et tant que u satisfera la condition JU' = 0 on aura aussi SU = o.
Dans le cas particulier considéré plus haut on a
J' = l ds, {] =z l yds ,
ou
et en posant -f - - /, il en résulte, d'après (1) et (2),
^ ^^ dxWi+f/^J y/l + y"'
Jff
On doit substituer ces valeurs dans la relation R — cR' = o ; mais il est clair qu'en déplaçant l'origine de façon à remplacer y par y -|- c on fait disparaître le terme — cR' : en multipliant le résultat par i/ on trouve
y yyy . .., d.
a. = 0, ou -T- -- — — - ] = 0 ,
v/r+y* (1 + y')'^ dx WYTV'
On en tire
fny = 1 + y'\
m étant une constante arbitraire. Il en résulte deux solutions, pour lesquelles my est ou > 1 ou < — 1 ; les valeurs de y dans les deux cas sont évidemment les mêmes en signe contraire^ et il suffit de considérer le premier. Nous poserons alors
my
^ étant une variable positive, car de la sorte my pourra prendre toutes les valeurs supérieures à 1 . Il en résulte
4 V^ z ) ^ + 4m» V z' ) dx'' OU
i / i \« 1 / 1 \» rfî' dz ^ ,
■T\'—z)^-^A'- z) î^' -- = ±mAr,
-■■■Ui^P'Ai - 'i
et en remarquant que z est positif,
a étant nne constante arbitraire. En substituant la valeur de e dans celle de p, on trouve
Cest l'équatinn connue de la chaînette.
La seconde solution, où le signe de y est changé, correspond à une chaînette renversée, pour laquelle ij, serait maximum. On ne peut du reste la regarder comme une positoin d'équilibre d'un fil, s-1 tpnsion en re cas devant être négatie.
