OMPLEMENT DE LA DYNAMIQUE

110. «signification iiidostrlelle fia travail. 1 mlsfilon du travail par les machines. — Ce que nous désignons par le complément de la dynamique doit évidemment comprendre 'celle des système? non théoriques, et entre autres des corps déformables. Mais nous nous occuperons en premier lieu des machines; celles-ci sont en général à peu de chose près des systèmes théoriques; toutefois d'une part leur mouvement exact ne peut être déterminé par le calcul, et d'antre part leur adaptation à un but industriel nécessite des considérations spéciales.

SignificcUion industrielle du travail. — Jusqu'ici ce mot a été défini comme un produit, ou une expression purement mathématique. On a donné à cette expression le nom de travail à cause de la propriété suivante ; Lorsqu'on emploie les forces dans un but industriel, l'effet utile consiste toujours à faire parcourir à un point un certain espace malgré une résistance ou une force f qui s'oppose au mouvement, et la mesure de l'effet utile est le travail de cette force f, lequel est négatif

Si par exemple on monte un poids j[> à une hauteur A, le travail du poids est — ph^ et l'effet utile, ou plutôt la valeur vénale de ce travail devient deux fois plus grande quand on double ou le poids ou la hauteur ; en effet, dans les deux cas on peut dire que c'est le même résultat répété deux fois. L'effet utile est donc mesuré par ph ou par le travail. Cette relation est encore plus évidente si on remarque qu'en montant le poids ^ d'une différence de niveau A, le travail est toujours — ph quel que soit le chemin suivi, et que l'effet utile ne dépend pas non plus de ce chemin.

De même si des chevaux tirent sur une route horizontale une voiture exigeant un effort f et lui font parcourir une distance l le travail de la force est — Z/'et la valeur vénale de l'effet est bien proportionnelle à Z et à /"ou à If.

A cause de l'importance de cette notion de travail on emploie pour lui une unité spéciale, le kHogrammMre. Elle suppose que la force est évaluée en kilogrammes et l'espace en mètres.

Quelquefois on dit que le travail est ce qui se paie; dans ce qui précède cette mesure vénale n'a été vérifiée qu'en comparant des travaux de même nature, mais elle sera bientôt généralisée.

Transmission du travail par les machines, — On nomme machines les appareils propres à transformer les forces pour les adapter à un usage industriel. On y distingue trois parties :

P Le récepteur est la portion à laquelle est appliqué directement le moteur ou la force qui fait mouvoir la machine.

2^ L'opérateur est l'ensemble des outils ou des pièces produi-

sant l'effet industriel, agissant directement sur les corps que cet effet concerne.

3^ Les pièces de transmission communiquent le mouvement du récepteur à l'opérateur.

Ce qui caractérise une machine au point de vue mécanique consiste en ce que le mouvement de toutes les pièces est uniforme, ou périodique à courtes périodes, et cela pendant un temps prolongé : c'est ce qu'on appelle le mouvement permanent de la machine, ou sa marche de régime.

Nommons T^ pendant une durée quelconque le travail positif dit moteur, et — T^ le travail négatif dit résistoM, tous deux étant ceux des forces extérieures seules. Si nous assimilons la machine à un système théorique, en négligeant les légères différences qui seront examinées plus tard, le principe des forces vives sera applicable, et en désignant par F la force vive totale de la machine, on aura entre deux époques quelconques

accroiss» -^^ F = T^ — T .

Au commencement de chaque période du mouvement tous les points de la machine reprennent la même position et la même vitesse, et F une même valeur P.

P Si les deux époques appartiennent au mouvement perma-

nent, et sont des commencements d'une période, -^ F est le même

et la relation précédente devient T^ = T^ ; tout le travail moteur se transforme en résistant ; c'est le principe de la transmission du travail. Il en est de même si l'on prend la première époque avant la mise en mouvement, la seconde après l'arrêt de la machine.

2^ Si l'on prend la première époque avant la mise en mouvement, la seconde dans le mouvement permanent, on a

ainsi T^ doit avoir un excédent de -^ F', employé à fournir la

demi-force vive.

3^ Si la pemière époque est dans le mouvement permanent, la seconde après l'arrêt de la machine, on a

le travail résistant a un excédent de -x- P, c'est-à-dire qu'après

la si^ppression du moteur la machine travaille encore un certain temps par suite de son impulsion.

On exprime les deux derniers résultats en regardant la demiforce vive permanente comme une quantité de travail emmagasinée, fournie au commencement par le travail moteur, et qui se transforme à la fin en travail résistant.

La machine se déplace dans le sens que lui imprime le moteur ; le travail de celui-ci est donc positif; le travail utile, comme on Ta vu, est négatif et forme la partie principale de — T^ . Par conséquent, si un même moteur est employé successivement à des usages industriels différents, et qu'on le fasse marcher de la même manière, T^ restera le même, et d'après la règle de transmission on en pourra dire à peu près autant du travail utile ; aussi, bien que ce travail soit de nature diverse, il correspondra sensiblement à une même dépense du moteur, ou aura la même valeur vénale, abstraction faite des frais d'établissement de la machine.

En supposant que le système soit à liaison complète, ce qui est le cas ordinaire, son unique condition d'équilibre est que la somme des travaux des forces extérieures soit nulle dans le mouvement réel, qui est alors le seul mode de déplacement possible. Ces forces ont ainsi la même relation que dans l'état de mouvement permanent. Toutefois cette assimilation suppose les frottements négligeables, et n'est pas fort exacte en pratique.

111. Résistances paKsIves. — Nous allons énamérer les différentes sortes de travail dont se composent T„, T,, et cela en supposant d'abord (|ae la machine soit un système théorique.

Les deux principaux sont le travail du motenr, positif, rentrant dans T„, et le travail utile — T„ effectué sur l'opérateur. Il y faut joindre le travail — T, des frottements, soit entre les corps de la machine, soit sur des corps extérieurs fixes. Nous trouverons Jes autres termes en énumérant toutes les forces qui peuvent apir sur le système. Ce seront ou la pesanteur, ou d'autres forces agissant à distance finie, ou des forces agissant au contact.

Forces à distance finie. — L'attraction universelle étant néjiligeable ce ne peut être que des actions électriques, qu'il faudrait évidemment comprendre parmi les forces extérieures, lors même qu'elles agiraient entre deux corps dn système. Mais les cas où il en est ainsi forment un sujet d'étude spécial, et doivent être exclus de la recherche actuelle.

Pesanteur. — Si ^ est le poids d'un corps de la machine ayant un mouvement alternatif, et que son centre de gravité monte et descende tour à tour d'une hauteur verticale h, les travaux correspondants de la pesanteur sont^ft, — ph, et se détruisent dans l'ensemble d'une période; il n'en résulte donc aucun terme dans T„, T,. Il en serait autrement si le corps descendait ou montait indéfiniment; mais cela n'arrive que s'il rentre dans le moteur, ou dans la résistance principale.

Forces au contact. Nous avons tenu compte des frottements : quant aux pressions leur travail n'entre dans l'équation des forces vives que si elles sont exercées par des corps extérieurs non immobiles. Or en excluant celles qui agissent sur le récepteur et l'opérateur, il ne restera évidemment de cette catégorie que la résistance lU; l'air ou en général du milieu dans lequel se meut la machine ; elle agit toujours en sens contraire du mouvement et par suite son travail que nous désignerons par — t est constamment négatif.

Chocs. Nous devons encore tenir compte des cas où il y aurait

un changement brusque de force vive, c'est-à-dire une percussion ; ce changement, comme on Ta vu au numéro 108 est en général une diminution, ou du moins ne peut être une augmentation. Pour que la force vive redevienne la même il faudra donc un excédent de travail positif, et notre but étant de comparer le total du travail moteur et du travail résistant pendant une longue durée, on voit que pour les rendre égaux le second doit être augmenté ; ainsi on devra ajouter un terme — T^ dû au choc, et égal à la moitié de la <liminution de force vive.

Résistances passives, — En résumé le travail positif Tm se réduit à celui du moteur. Le négatif T^ est la réunion du travail utile T^ ^t du travail Tp comprenant l'ensemble des autres; c'est le travail perdUy ou le travail des résistances passives ^ nom qu'on donne aux causes dont il provient, frottement, etc. Il se compose surtout de T^, travail du frottement, et nous pouvons grouper les autres en un seul terme T^, qui désignait précédemment l'effet des chocs, et dans lequel nous ferons maintenant rentrer soit le travail t de la résistance du milieu ambiant, soit quelques autres termes peu considérables, mentionnés au numéro suivant.

La loi exacte du mouvement serait pour la plupart des machines impossible à déterminer, mais dans la pratique la seule chose essentielle à connaître est la répartition de T^ ou de son égal T;.

entre les deux portions T et Tp, c'est-à-dire la valeur de Tp ; le

T rapport ~ se nomme le rendement' de la machine.

La portion Tf peut se calculer, du moins pour les frottements principaux^ connaissant la pression normale des deux solides et le coefficient du frottement ; leur produit est son intensité f. Si l'un des corps est immobile le travail est f6 pour un petit doplac^^ment relatif S; il en est encore de même quand les deux corps sout en mouvement. En effet, dans une petite étendue nous ^ j»

pouvons assimiler leurs surfaces à deux plans. • Supposons que des points I, ï de chacune, d'abord en contact, décrivent simultanément lA, l'A', et

imaginons que le point T porte une pointe rayant le premier corps; la raie sur celui-ci partira du point I transporté en A et passera aussi en A' où est la pointe ; pour ce corps la direction de la raie ou du frottement est donc AA ; la projection du chemin lAsur cette direction est — AB, et par suite — / • AB est le travail du frottement sur le premier corps; il est de même — f ' AB sur le second, ou en tout — f • A A, c'est-à-dire — fè, le déplacement relatif 5 étant évidemment AA.

Le travail des autres résistances passives se déduit plutôt de l'expérience.

112. Eltet des déformations. — Nous avons supposé que la machine était un système thi'orique ; en général il n'en est pas exactement ainsi, et elle comprend des solides déformables ; il serait impraticable de chercher les lois de leur déformation, mais il nous suffit d'en trouver l'effet en l'assimilant à une résistance passive.

1° Supposons qu'un corps S de la machine sqU parfaitement élastique, — Pour nous borner aux cas usuels admettons que pendant une période du mouvement de la machine, ce corps, sans qu'aucune force extérieure autre que la pesanteur agisse sur lui^ se déforme puis se reforme en repassant exactement par les mêmes positions. Soient P, F deux de celles-ci, supposées très voisines; puisqu'elles sont les mêmes dans les deux parties de la période, il faut admettre que les contacts avec d'autres corps, lesquels déterminent la forme du premier, sont aussi les mêmes. D'ailleurs le corps étant parfaitement élastique les forces normales des contacts^ provenant de la déformation, ont la même valeur ; ainsi soit que le corps se déforme ou se reforme, le travail des pressions normales, en passant de la position P à F, ou de F à P, est le même en signe contraire; leur travail total est donc nul pendant une période entière.

Il en est ainsi pour le travail exercé par le corps S sur le reste

du système ; par suite pendant une durée contenant un nombre entier de périodes on aura encore T^ = T^ pour l'ensemble de la machine, de sorte qu'il ne résulte de la déformation du corps S aucune résistance passive.

En réalité tous les solides de la machine au point de vue physique sont déformables, et ils rentrent dans ce qui vient d'être dit en supposant que leur limite de parfaite élasticité ne soit pas dépassée. Nous avons vu par exemple au numéro 46 que pendant le mouvement le parallélogramme de Watt fausse légèrement la tige d'un piston dont le cylindre est fixe.

2° Ccis au un corps S de la machine a une élasticité imparfaite. — Le mouvement étant périodique, nous ne devons pas supposer la déformation permanente. Si comme dans le cas précédent le corps se déforme et se reforme en passant par les mêmes positions, les forces développées à la surface sont plus énergiques pendant la déformation ; elles constituent pour le reste du système une résistance dont le travail sur lui est négatif ; celui-là l'emporte donc sur le travail positif pendant la période entière.

Souvent la déformation ne s'effectue pas de la manière simple que nous venons de considérer ; mais le résultat consiste toujours en une perte de travail ou un nouveau terme que nous faisons rentrer dans T^.

Cette résistance passive se nomme la raideur des cordes. Elle se manifeste en particulier quand une /''^^ corde passe sur une poulie fixe 0. Le mouvement ^ \^ J ayant le sens de la flèche, la corde en s'enroulant en A décrit un arc de courbe plus prononcé qu'en se déroulant en B. Quand il s'agit de communications de mouvement, il est avantageux de remplacer les cordes par des courroies ; mais il existe encore une perte de travail se manifestant sous une forme différente.

Si la roue motrice 0 transmet le mouvement à 0' dans le sens

des flèches la portion AA' de la courroie a une tension plus grande que BB' et s'allonge davantage, de sorte qu'il y entre une masse moindre. Il en lésulte un léger glissement de la courroie sur les roues, et la vitesse angulaire transmise à 0' se trouve en moyenne de 2 W plus faible que si l'on remplaçait la courroie par un fil rigoureusement inextensible.

3° Vibrations. — Au point de vue théorique nous avons vu qu'il n'y a pas de perte de force vive dans le choc de deux solides 8, S' parfaitement élastiques, mais cette perte existe si l'on tient compte de leur nature physique.

Une couche superficielle de S', infiniment mince, étant comprimée par le choc, les forces élastiques qui produisent sa reformation partagent leur effort entre la surface de S qui est repoussée et les couches suivantes de S' qui se compriment à leur tour en propageant un mouvement vibratoire ; par suite la répulsion exercée sur S est moins énergique que dans la première période du choc, comme dans le cas d'une élasticité imparfaite. Toute perte accidentelle de force vive dans une machine équivaut comme on l'a vu à un travail négatif, et la précédente constitue une résistance passive.

Son existence ne suppose pas nécessairement un choc proprement dit. L'imperfection inévitable des appareils de transmission, la nécessité d'y laisser un certain jeu, entraîne dans une certaine mesure des trépidations et des ballottements produisant le même eifet, et il se manifeste entre autres par les vibrations acoustiques imprimées à l'air, ou par le bruit de la machine : toujours les vibrations se communiquent plus ou moins aux appuis, et se répandent au loin.

113. moyens de régulariser le travail» modérateurs, régulateurs et volants. — En général il importe de rendre la vitesse de la machine aussi uniforme que possible. Les inégalités auxquelles elle est exposée sont de deux espèces ;

les unes ont une période courte qui est celle du mouvement ; les autres, dont nous nous occuperons en premier lieu sont à longue période et proviennent des variations accidentelles, soit du moteur soit du travail de l'opérateur. On y remédie par les distributeurs de matière, les modérateurs et les régulateurs.

Distributeurs de matière. — On nomme ainsi des appareils agissant directement sur le travail pour le rendre régulier.

S'il s agit de l'opérateur et que le travail consiste à scier une pièce de bois, ce sera le mécanisme qui la fait avancer uniformément, de même s'il s'agit d'un moulin le distributeur fera arriver le blé régulièrement sous la meule, etc.

Les app£lreils analogues pour le moteur, par exemple pour une machine à vapeur, sont la pompe d'alimentation, les trémies qui distribuent également le combustible sous la chaudière, etc.

On voit que la machine met en uiouveuient les distributeurs avec une consommation de travail minime.

Modérateurs. — Ou nomme ainsi des dispositions propres à empêcher l'accélération du mouvement, en créant des résistances passives, de façon à entraîner une perte de travail. Dans les cas simples ils ont des formes très variées ; tels sont par exemple les freins qui entretiennent l'uniformité du mouvement d'une voiture à une descente ; les déversoirs d'un bassin, perdant une partie de la chute d'eau qu'il doit alimenter, dans le but d'entretenir l'eau à un niveau constant ; les soupapes de sûreté qui perdent une quantité de vapeur capable sans cela d'effectuer du travail, etc.

Dans les lampes ordinaires le modérateur est un obturateur conique 0 fermant en partie le passage étroit AB par lequel monte l'huile, refoulée par un ressort. La petitesse du passage ainsi ouvert au fluide ralentit son ^\ mouvement et forme une résistance passive. A mesure que le ressort en se détendant perd de sa force, l'obturateur monte et laisse le passage plus libre.

Dans l'horlogerie, quand le but est la mesure du temps, et

qu'une grande régularité est nécessaire, le modérateur se nomme édia/ppement ; il annule périodiquement la force vive au moyen d'un choc. Soit dans ces appareils soit en général dans les mécanismes que fait mouvoir la descente d'un poids, on emploie souvent le modérateur à ailettes, composé d'un petit (^^^==1 r==0 arbre vertical A, tournant sur lui-même, et en- '^ ' traînant dans son mouvement des tiges horizon-

tales, terminées par des palettes planes B. La résistance que leur oppose l'air croît rapidement avec la vitesse et maintient le mouvement uniforme.

Régtduteurs. — Les modérateurs précédents ont en général pour seul effet de prévenir un accroissement progressif de la vitesse. Outre qu'ils perdent du travail ils sont insuffisants pour remédier anx grandes inégalités du travail résistant, en particulier dans le cas suivant : Fréquemment dans une usine le moteur communique le mouvement à un arbre horizontal nommé arbre de couche; celui-ci le transmet à une série d'ateliers au moyen de courroies enroulées sur des colliers placés sur l'arbre de distance en distance. Quand le travail d'un atelier s'interrompt une fourche saisit la courroie et la place à côté sur une poulie folle tournant seule sans éprouver de résistance, cette opération se nomme le désemhrayage^ et l'inverse Vembrayage,

Le travail de l'opérateur éprouve ainsi un changement soudain; pour empêcher celui de la vitesse de la machine l'appareil le plus

usité est le régulateur à force centrifuge. Dans sa forme primitive il se compose d'un petit arbre vertical A que la machine fait tourner rapidement sur lui-même. Un collier B qui lui est fixé entraîne dans son mouvement deux tiges symétriques CD qui ne peuvent que se mouvoir dans un plan vertical autour des points C. Elles sont soutenues par

deux autres tiges qui leur sont articulées en E, et le sont d'autre part en F à un collier G pouvant glisser librement le long de l'arbre. Lorsque la vitesse s'accélère la force centrifuge fait écarter les boules massives D qui terminent les tiges, et le collier G en se relevant met en mouvement des leviers qui réduisent la section du conduit de vapeur, ou si le moteur est hydraulique, ferment en partie la vanne d'introduction de l'eau. Toutefois dans ce dernier cas il faut des dispositions spéciales pour que la résistance de la vanne ne soit pas trop grande.

On a perfectionné le régulateur en le rendant plus sensible ; Foucault en particulier y. a adapté un système de leviers rendant l'équilibre des boules presque indiiférent, de sorte que le plus imperceptible changement de vitesse suffit pour les déplacer notablement.

Volants. — Les inégalités de courte durée ont pour période celle du mouvement, et proviennent de plusieurs causes. La machine étant un système à liaison complète, les vitesses de tous ses points sont proportionnelles à la vitesse angulaire a> de l'arbre, et les forces vives Imv^ de chaque solide à co', de sorte que pour celle de la machine entière on a F = Ao)*, le coefficient A étant indépendant de a> et ne changeant pas pour une même position de la machine ; mais il varie avec cette position, c'est-à-dire pendant une période de mouvement, entre un maximum A' et un minimum A"; il en est ainsi du moins s'il existe des pièces ayant un mouvement alternatif.

C'est la vitesse o^ qu'on doit rendre autant que possible uniforme, et on voit que la force vive ne peut en même temps être constante.

En outre le moteur et l'opérateur présentent fréquemment les mêmes inégalités périodiques; par exemple le travail de la vapeur sur un piston devient nul aux extrémités de sa course où sa vitesse est nulle.

On y remédie en partie en associant deux cylindres tels que

dans l'un le piston soit aa milieu de sa course quand il est aux extrémités dans l'autre.

Mais on ne peut en général obtenir une unifoimité suffisante qu'au moyen d'un volant.

C'est une roue massive, centrée sur l'arbre, auquel elle est fixée. Sa force vive est Coo% C étant son moment d'inertie par rapport à Taxe de l'arbre. Voici comment on trouve la valeur à à donner à C, connaissant pour le reste de la machine les nombres A', A".

Cas particulier . — Supposons T^ et T^ constamment égaux, de sorte que la force vive F de la machine reste invariable; elle était Aûd\ et en comprenant le volant dans la machine, elle devient

C étant une constante, A -f C varie entre A' -j- C et A" + C, et si la vitesse angulaire co est en même temps («>', co", les valeui^s correspondantes de la force vive étant égales, on aura

par suite le rapport ,r qui sans le volant était 1/ , sera devenu plus rapproché de l'unité, ce qui est le résultat demandé. Si par exemple on veut qu'aucune des vitesses a>', ai" ne diffère de la

moyenne de plus de - -, on tirera C de l'équation

Cas gémral. — C'est celui où il se produit pendant la période des excès de travail moteur ou résistant. Si par exemple T^ — T^ augmente de rî, l'accroissement de la force vive (C -f- A)a>' est 2r},

d'où résulte p /t P^^** ^^^^î ^^ ^^' *? ^^ serait — s'il n'y avait pas

de volant. Celui-ci a donc encore pour effet de diminuer les variations de la vitesse r.>.

114. Mesure du tràTail. Frein de Prony. — P Travail sur Varhre, — Partageons la machine en deux parties, assimilées à deux machines distinctes. La première se composera du récepteur, de l'arbre, et des pièces intermédiaires. La seconde contiendra le reste, ou les opérateurs. Le travail Ta de ceux-ci sur Farbre forme le travail résistant de la première partie, tandis qu'en le considérant comme exercé par l'arbre sur les opérateurs il est en même temps le travail moteur de la seconde.

On a ainsi, par le principe de transmission,

T« = Ta + T

Ttt -f- Tp" ,

Tp. et TpM étant les portions du travail Tp des résistances passives qui correspondent aux deux parties.

Ce travail se compose surtout des frottements; on l'atténue par des enduits et aussi en diminuant l'espace décrit par les points frottés, ou en rendant très petits les rayons des tourillons sur lesquels tournent l'arbre, les volants et les pièces massives. Ainsi en comparant deux pièces de poids inégal, non seulement l'intensité du frottement est en général à peu près proportionnelle au poids, mais son travail varie dans un plus grand rapport, le tourillon étant moindre pour la pièce la moins lourde. Les corps les plus massifs se trouvant dans la première partie de la machine, il en résulte que l'importance des frottements et en général des résistances passives est moindre dans la seconde, ou que Tp..-est très faible et Ta peu différent de !«. Voici comment on mesure T .

2^ Frem de Prony, — Il se compose de deux pièces A de bois ou de fonte, devant embrasser l'arbre dont la coupe est figurée par 0. On

le presse au moyen de vis Y en maintenant le frein immobile , et cela jusqu'à ce qu'en supprimant tous les opérateurs, et faisant agir le nioteur dans les conditions ordinaires, la machine ait acquis sa vitesse de régime, par suite du frottement du frein sur l'arbre; de la sorte à cet instant le travail T^ de ce frottement est exactement égal à celui qu'exerce d'ordinaire Topérateur.

Soit f rintensitê du frottement sur un élément de surface de l'arbre ; pendant qu'il décrit un petit espace a le travail est /a : pour tous les éléments frottants réunis, a leur étant commun, ce sera

^f désignant la somme numérique des frottements, qu'on peut regarder comme invariable.

Si on évalue T^ pour un tour de l'arbre les valeurs de a ne font que s'ajouter, formant 27rr, r étant le rayon de l'arbre ; on a donc

Ta = 2:rr2/-.

D'autre part, en continuant à maintenir le frein immobile, on place des poids P dans un plateau suspendu en C à l'extrémité d'un bras de levier fixé au frein, et cela jusqu'à ce que le frein abandonné à lui-même reste immobile. Il est alors un solide en équilibre ne pouvant que tourner autour de l'axe de Tarbre. Les forces agissant sur lui sont :

P Le poids P dont le bras de levier R est CB prolongé jusqu'à la verticale du point 0 ; son moment par rapport à l'axe est PR. On pourrait y faire rentrer le poids de la tige CB s'il n'était pas négligeable.

2^ L'autre force est l'ensemble des frottements élémentaires f exercés par l'arbre sur le frein, et dont chacun a pour bras de levier r et pour moment rf ; le moment total des frottements est donc rlf^ et l'équilibre du frein exige qu'on ait

fV/- =^ RP.

Substituant cette valeur dans T^ = 2irr2/* on trouve

Ta = 2îcRP ,

et Ta ^st ainsi connu avec précision.

3^ Puissance d'une machine. — L'unité de production est le cheval qui équivaut à 75 kilogrammètres par seconde ; la production d'une machine en chevaux s'appelle quelquefois sa force, d'une manière impropre. Pour que cette évaluation ne soit pas ambiguë il faut savoir si elle s'applique à T« ou à T„ : la valeur de T„ qui est évidemment l'essentielle se nomme le nombre de chevaux effectifs. Toutefois la vérification de T^,, fort aisée si ce travail est l'élévation d'un poids, ou une traction continue comme celle d'une voiture, ne l'est pas dans la plupart des applications industrielles ; c'est alors le travail T^ mesuré par le frein qu'on prend pour T„; on a vu plus haut qu'ils diffèrent très peu.

Quant au travail moteur il faut remarquer que si la nature des opérateurs est infiniment variée il n'en est pas de même des récepteurs.

Nous laisserons de côté ceux où l'électricité est employée, et qui nécessitent des considérations spéciales ; nous mentionnerons plus loin les moteurs animés, pour lesquels l'évaluation de T^ est fort simple. Outre ceux-là il ne reste guère que les moteurs hydrauliques et les machines à vapeur, en y comprenant les machines à air chaud.

Pour avoir le travail Tp -- T^ — T„ perdu par les résistances passives il faut prendre pour T^ le travail sur le premier solide du récepteur, par exemple celui de la vapeur sur les pistons. Mais pour le rendement on doit tenir compte d'une autre sorte de perte de travail, provenant de ce que le récepteur ne tire pas du moteur tout le parti possible, et c'est en supposant celui-ci complètement utilisé qu'on évalue alors T^.

Par exemple on nomme travail nominal d'une chute d'eau le produit de la hauteur de chute par le nombre de kilogrammètres

d'eau écoult^s, et sa puissance forme les chevaux disponibles. On verra au chapitre suivant que ce serait le travail moteur d'une

machine utilisant 1 1 chute d'une façon parfaite. En conséquence,

T le rendement ~ d'un moteur hydrauliqne se calcule en prenant

pour T^ le travail nominal de la chute qui le traverse.

Pour des raisons analogues, dans une machine à vapeur, l'élément à considérer, au lieu du rendement, est le poids de charbon consommé par cheval effectif et par heure, poids très variable suivant la nature de la machine, à haute ou basse pression, etc., mais qui n'est toujours qu'un très petit nombre de kilogrammes.

On pourrait du reste trouver pour le rendement des valeurs diverses en remplaçant les calories, soit développées par la combustion du charbon, soit introduites dans l'eau, par leur équivalent en kilogrammètres.

4^ Moteurs animés. — Il se présente pour ceux-là un élément nouveau; la production est limitée par la fatigue ; de plus elle est influencée par le mode d'application. L'expérience a prouvé que des efforts plus énergiques mais intermittents ne sont pas avantageux au point de vue de la production ; un travail plus modéré mais soutenu est préférable. Il est évident que ce travail pourra être plus énergique s'il dure moins longtemps par jour ; mais pour qu'il puisse sans excès de fatigue se reproduire chaque jour, et soit en même temps le plus productif, il y a une certaine proportion que l'expérience a établi entre le nombre N de kilogrammètres produit par seconde, et le nombre H d'heures de travail par jour. Quelques-uns de ces nombres se trouvent dans le tableau suivant, pour des hommes ou des animaux de force moyenne .

1*> Travail d'un homme N. H.

Montée de son propre poids „ 9,75 8

Poids élevés à la main ....„ 3.50 6

Poids élevés avec une pelle 1,08 tO

Tirage horizontal 7,!2 8

2^ Travail des animaux N. H.

Cheval attelé, au pas 63 10

(Au trot, beaucoup moins en tout par jour^

Bœuf attelé à un manège 39 8.

On voit que le travail de l'homme est le plus considérable quand il ne monte que son poids. On l'utilise alors en faisant tourner un treuil au moyen d'une grande roue à chevilles ; celles-ci sont disposées comme une sorte d'échelle qu'un homme monte constamment, faisant ainsi tourner la roue.

115. Tibratious long^itudlnales d'une tig^e élastique. — Les mouvements des corps élastiques rentrent dans la physique mathématique, et nous n'examinerons en détail que l'exemple précédent, le plus simple de tous. La tige est supposée homogène, prismatique à base quelconque, et nous la figurerons verticale. A l'état de repos la pression sur chaque section horizontale est normale et a une même valeur q rapportée à l'unité de surface, évidemment égale à la pression atmosphérique agissant sur la surface latérale ; elle sera en tout qs sur la section, s étant son aire.

Nous admettrons que certains points soient dépla- m*! 1*^*

M l I Ih

ces par une cause quelconque, à l'instant initial où

^ = 0, et reçoivent en même temps des vitesses, mais nous supposerons pour simplifier que ces déplacements et ces vitesses sont purement dans le sens vertical, et ont une valeur commune pour tous les points d'une même section.

Si celle-ci était infinie dans le sens horizontal, il n'y aurait aucune raison pour que dans le mouvement subséquent les particules prissent des vitesses horizontales dans un sens plutôt que dans l'autre ; toutes seraient verticales ; il n'y aurait pas non plus de raison pour qu'elles fussent différentes en deux points d'une même tranche. On pourrait partager le solide en tiges verticales d'une

section limitée où il en serait de même ; c'est l'une de celles-là

que nous considérons, de façon à supprimer les complications du mouvement qui pourraient provenir des surfaces latérales. En réalité du reste le résultat s'étendrait fort exactement à une tige isolée, et serait tout à fait rigoureux si elle consistait en une colonne d'air dans un tube rectiligne.

Prenons pour OZ la verticale supérieure, l'origine 0 étant intérieure à la tige. Dans Tétat d'équilibre chaque section est caractérisée par l'ordonnée z qui lui correspond. Quand elle sera en mouvement, cette ordonnée deviendra z -\'U^%\^ quantité w, constante pour tous les points de la section d'après ce qui précède, correspondra à la fois à toutes les sections en la regardant comme une fonction de t et aussi de z. C'est l'inconnue à déterminer.

Cherchons d'abord les forces existant sur chaque section pendant le mouvement. Si une longueur MM' = ï de la tige à Tétat d'équilibre devient plus tard /( 1 -j- (î) il se produit dans cette portion une tension longitudinale proportionnelle à <$ et à la section s ; sa valeur est ainsi hs^^ k étant un nombre de kilogrammes propre à chaque substance, nommé le coefficient d'élasticité. Soient z, z* les ordonnées des sections M, M' ; on aura Z = / — z; k l'état de mouvement, si u, u' correspondent kz^ sf là. distance deviendra

/(i ^- 5^ = 2' 4- tt' — î — tt = (a' — 2) Ti 4- ";

et puisque z' — z =^ ï, on en tire

Pour avoir la tension en M nous devons supposer l om jsf — 3 très petit ; on aura donc è = ( , j ; c'est une dérivée partielle où t est supposé constant, car c'est à un même instant que Ton compare ainsi les valeurs de u et ^^^ Il en résulte ks{,\ pour la tension sur la section, force en vertu de laquelle l'une des portions

qu'elle sépare attire l'autre quand (-- ) est positif; mais elle ne

fait que se composer avec la pression qs qui existait à l'état d'équilibre, et exprimait non une tension, mais une pression. On aura donc en tout

pour la tension sur une section.

On peut remarquer que si la tige se terminait quelque part par une section à l'air libre, P en ce point se réduirait à la pression

atmosphérique et l'on aurait P - - gs ; ainsi ( -^ J devrait être nulle

à cette extrémité. Si au contraire la tige se terminait à une section complètement fixe on aurait en ce point u = o.

Soit maintenant à l'état d'équilibre p la densité, rapport de la masse au volume, et considérons de nouveau la tranche comprise entre les sections M, M' et ayant pour épaisseur / — z = l; son volume sera te et sa masse m = ds. Celle-ci ne change pas à l'état de mouvement et il est alors exercé au-dessous suivant MM une tension ou attraction P, et une autre P suivant M'M'. En nommant z^ l'ordonnée du centre de gravité de la tranche on aura donc, en négligeant son poids,

substituant m =psl = ps(j^ — z) il en résulte, en supposant la tranche très mince

d\ J^ P' — P 1 / dP\

dl^ p8 z — z ps \dz '

Ici (-7- 1 est encore une dérivée partielle, P et F étant comparés au même instant. La tranche étant infiniment mince ^ z^ se

d^z id'^u\ confond avec l'ordonnée ^ + w de la section MM, et / = [-ttS

Cest encore une dérivée partielle, u eorrespondant à nue secti(« 31 M oa une valenr de z toujours la même. En sabstitaant la yaleor de P on aura donc

qa'on peut écrire

CTest une éqaation anx dérivées partielles qnMl faut intégrer. On suppose données pour f = o les valeurs de u et de la vitesse

- " , et cela pour tous les points de la tige ; ce seront

du

/'et V étant des fonctions arbitraires données ; elles sont constantes pour tous les points d'une même section comme on l'a supposé. Posons

Si l'on prend pour u la valeur u = F(x), F étant une fonction quelconque, et F'(x), F'(x) ses dérivées, on aura

du ^ ^ dx p, . dhi j™, N

et comme de même -j^ = F^x) la valeur u=F(x) satisfait Téqua-

tion

dt' **' dz^

Il en serait de même de la valeur u = F, (a/), F, étant une autre fonction quelconque, car on n'a fait que remplacer a par — a ou a; par af. L'équation sera donc aussi satisfaite en prenant

tt = F{x) + F.i^x') .

Or on peut disposer de F, F, de manière à satisfaire les condi tions initiales. En désignant leurs dérivées par F, F,, on aura

-^ = aFXx) - aF,\x) ,

et comme x —- af ^ z pour i = o les conditions

du

deviennent

F(z) + ¥,{z) = fKzl aF\z) ~ aV.'iz) = a^{i) .

Désignant par f{z) une quelconque des valeurs de

I ^{z)dz ,

la seconde équation pourra être remplacée par

C étant une constante arbitraire. Cette équation et la première donnent

Supposons la tige indéfinie dans les deux sens; les seconds membres, sauf la constante C, seront alors connus pour toutes les valeurs possibles de z et par suite les équations resteront exactes en remplaçant ^ par x dans la première, par af dans la seconde. Substituant les valeurs de F{x), F^rr') dans celle de u on aura

et la constante C disparaissant la solution est coniplète et bien déterminée.

Interprétation du résultat. — Supposons l'ébranlement initial

circonscrit dans une tranche CC comprise entre deux sections d'ordonnées h ± e, celle de BB étant h. Alors 8 les fonctions f(2^), ^{z) seront nulles quand z est non compris entre h + e\ quant à, /^(^), comme en dehors L de ces limites sa dérivée ^f{z) est nulle, elle sera ellemême constante ; on pourra la choisir de façon qu'elle soit nulle pour z < A — e\ alors elle aura quand z y h -\' e une valeur constante 3c, qui sera

■■ I rL{z)éz .

Cherchons maintenant le mouvement après un temps déterminé t ; portons BL :::r BL' = at, et regardons LL, L'L' comme les sections moyennes de tranches d'épaisseur 2e.

Si l'on supposait u exprimé par le seul terme — f[x)^ on aurait

î^ .— 0, à moins que x o\x z -\- at ne fût compris entie fe ± e ; or z — h est l'ordonnée d'une section quelconque, comptée de l'origine B au lieu de 0 ; z — h-j- at ou x — h est la même comptée au-dessus de L'. Pour que u ne soit pas nul il faut que celle-là ou X — h soit comprise entre + e, ou que la section M soit intérieure à la tranche L'. Les points de cette tranche sont donc seuls écartés de l'état d'équilibre. Quand t augmente de même que BL', la position de la tranche descend ; elle forme donc une onde limitée ; celle-ci est à chaque' instant la portion non immobile de la tige. L'onde descend avec une vitesse uniforme a.

De même si Ton réduisait uk ^ f{x'\ il n'y aurait de mouvement en M qu'en supposant xl — h ou z — at — h compris entre ±e\or z — h — at est l'ordonnée de M comptée de L, et l'on voit que les points de la tranche L seraient seuls en mouvement. Cette tranche serait une onde montant avec la vitesse uniforme a.

En prenant pour u la somme -^ f{x) + ç, fi^l^ l^s mouve-

ments précédents s'ajouteraient algébriquement, d'où résulteraient les deux ondes précédentes se propageant simultanément.

Nous devrions y ajouter les mouvements qui correspondent aux

deux autres termes -^-fix) ^ A^)? ^^ il ^st clair que les

deux mêmes ondes existeront encore, avec des intensités différentes ; il reste à chercher comment le phénomène est modifié en dehors des ondes, c'est-à-dire dans les trois positions suivantes de la section :

P Elle est au-dessus des deux ondes; alors

2^ Elle est au-dessous de toutes deux :

3° Elle est entre les deux ondes, et en remarquant que x > r', il en résulte

Or par hypothèse f(x) = 0L ou o suivant que x y h -j- e ou < A — e; il en est de même de f{x')j et par suite en bornant u

aux deux termes ^- f(x) — ^ f(x'), les autres étant nuls dans les trois positions, on aura dans la première u = --,x — a « ?

dans la seconde u = o — o ; dans la troisième u = ■ tl - o.

Il faut remarquer qu'en imprimant des vitesses initiales on produit sur le corps l'effet d'une impulsion. Celle-ci doit entraîner

un mouvement du centre de gravité ; de là provient le déplace-

ment permanent ^^ a qui succède au passage des deux ondes et

affecte la portion de la tige comprise entre elles; les portions que les ondes n'ont pas encore atteintes restent à l'état naturel.

On peut remarquer aussi que le fait de la propagation du mouvement était d'avance évident, mais le calcul seul pouvait nous

apprendre que cette propagation avait la forme d'ondes limitées, dans lesquelles le mouyement suit constamment les mêmes lois.

Cas où la tige se termine à V origine par une section fixe inférieure. — Nous supposons que l'espace ébranlé ou la tranche comprise entre les ordonnées h + e soit entièrement supérieur à l'origine, et pour simplifier nous admettrons aussi que la constante 7L est nulle.

Les fonctions f{z)^ f{z) sont données seulement pour tous les points de la tige, on quand z est positif. Alors par les conditions initiales nous connaîtrons F(a?), F,(rc') seulement pour les valeurs positives de x^ cd ; elles seront nulles à moins que a; ou rr' ne soit compris entre h + e. D'ailleurs x n'est jamais négatif ; mais x' peut l'être et en ce cas F,(rr') serait arbitraire sans la condition w = 0 pour -e^ = 0 énoncée précédemment ; comme alors x = at^ x' = — at il en résulte

il doit en être ainsi quel que soit at, et de la sorte quand rc' aura une valeur négative — a;" on devra prendre F,( — af') = — F(a;"). Or xf' = — x' = at— z. Cette condition peut se réaliser plus simplement en admettant que F^^') est nulle pour toute valeur négative de ic', mais augmentant u d'un troisième terme — F(af ), nul aussi quand ji' est négatif, oi' ayant pour valeur a* — z. Quant aux valeurs positives de x, x% nous savons déjà que F, (a;'), F(af) sont nuls à moins que x\ -x!' soient compris entre h -re. On aura ainsi

En réduisant u à F^(:r') le mouvement est encore représenté par l'onde L ; pour u = Y{x) c'est l'onde L' tant qu'elle ne sort pas de l'espace occupé par la tige. Quant à F(:r") la condition pour qu'il ne soit pas nul est que od' ou at — z soit compris entre /^ + e, ou que at — z — & le soit entre ± e, auquel cas il en sera de même de -e^ + /i — at ouxl -\-h\ elle signilie donc que M soit

compris dans l'onde supérieure envoyée par une couche ébranlée dont la section moyenne aurait pour ordonnée — A au lieu de /i, et n'existerait donc pas matériellement. Cette onde atteindrait l'origine en même temps que Tonde L', et commencerait à exister dans la tige et s'y propager en montant, en même temps que l'autre disparaîtrait. Ce serait ainsi l'onde L' réfléchie par l'origine. Son intensité est exprimée par la même fonction F, mais les déplacements correspondants sont inversés, le terme ¥(x") ayant le signe — .