Kmplol du principe de d'Aleinbert. — En

général dans un corps élastique des conditions d'équilibre correspondent à chaque élément de masse, et en désignant par X, Y, Z les projections de la force extérieure f agissant sur l'un d'eux, elles ont la forme

les quantités (x. G', G" dépendant des variables qui définissent la déformation du corps ; elles expriment donc les forces ou pressions exercées par les éléments de masse voisins. S'il n'y a pas équilibre la force totale agissant sur l'élément a pour projections X + G, etc., et par suite, x^, /y,, z^ étant les coordonnées de son centre de gravité, les équations de son mouvement sont

} = X + G, etc. ,

et pourraient ainsi se déduire des conditions d'équilibre en rem-

plaçant X, Y, Z par X — m -.- - , etc. Cette déduction est conforme au principe de d'Alembert, mais résulte immédiatement des équations du mouvement d'un point matériel, et toute considération des forces perdues ou des forces d'inertie est superflue dans le cas actuel. Au numéro précédent par exemple, où l'élément était

~»~^^>'SiïWE '^'

une tranche, nous avons égalé de suite m — aux forces verticales

agissant sur la tranche.

Application aux oscillations transversales d'une tige élastique, — En conservant les données et les notations du numéro 35 nous avons trouvé

entre autres conditions pour l'équilibre de la portion EFH de la tige comprise entre la section droite quelconque EF et la section terminale H ; ^i est la somme des moments des forces extérieures agissant sur cette portion par rapport au point G, et pour le filet moyen p est le rayon de courbure en G ; â; est le coefficient d'élasticité, o) la section de la tige et i* une constante du même ordre de grandeur.

Nous avions ensuite examiné le cas où une force extérieure unique était appliquée en H ; mais dans la recherche actuelle nous devons supposer qu'il en agit une sur tous les éléments de masse ; pour ceux-ci d'ailleurs nous avons pris des tranches comprises entre deux sections normales très voisines. En ne considérant que les forces verticales, soit Yds celle qui agit sur un élément interceptant la longueur ds du filet moyen, Y étant une fonction donnée de l'abcisse x de la tranche. En remplaçant a par la somme des moments de ces forces nous aurons

— - = 1 1 dsix — X) ,

la somme 2 s'étendant à toutes les tranches comprises entre EF et H ; X correspond à EF ; a;' à la tranche quelconque ; Y' est ce que devient Y en y remplaçant x par x\

Toutefois en négligeant le carré du rapport -~ suï)posé très

petit on a — = -\^ et en outre ds = dx'^ d'où

l— j'' r{x — x)dx = 0 ,

a étant la valeur de rz; en H.

Cette condition d'équilibre n'a pas la forme convenable, Y restant sous le signe I ; on doit la remplacer par sa dérivée jjar rapport à x, ou

Celle-ci toutefois n'équivaut pas à l'équation primitive, mais à cette équation avec l'addition d'un terme constant ; il faut donc y joindre comme condition complémentaire ce que devient l'équation primitive pour une valeur particulière de x, et nous prendrons pour celle-là a: = a ; la condition à joindre à la dérivée ci-dessus

sera donc -, , = o pour x = a. Quant à cette dérivée, où Y entre

encore sous le signe l , on devra de nouveau la remplacer par sa

dérivée relative à x, en y joignant ce qu'elle devient pour x== a. c'est-à-dire par

d*y /f<oX*T^ — Y == 0, X étant quelconque ,

.--, = 0 pour X = a .

dc^

On trouverait des relations analogues pour la composante X de * la force extérieure; mais pour connaître la loi des vibrations transversales, la précédente nous suffit ; y correspondant au centre

de gravité* de la tranche, on doit remplacer Ydx par Ydx — m -^ m étant la masse de la tranche ; si D est sa densité on a m = wDdrc,

et par suite Y doit être remplacé par Y — (oD ^ ; nous suppose-

rons d'ailleurs ensuite Y = o, ce qui donnera pour équation du mouvement

en posant -^- = b* ; il y faut joindre les conditions particulières

pour X ~ a, et en outre

pour a; = 0, la tige étant encastrée à l'origine. Cette équation et d'autres analogues ont été intégrées en série par Poisson; la démonstration rigoureuse de ces solutions résulte de théorèmes généraux donnés par Cauchy.

Inutilité des conditions d'équilibre relatives aux moments; exempie d'un fil élastique. — C'est par extension qu'au numéro 35 nous avons pris pour éléments des tranches qui n'étaient infiniment petites que dans le sens de l'épaisseur. Communément un élément de masse l'est dans les trois dimensions. Par définition, ces éléments sont assez petits pour qu'en considérant l'équilibre du corps dont ils font partie toute force agissant sur l'un d'eux puisse être regardée indifféremment comme appliquée à tout point de son intérieur, par exemple à son centre de gravité ; dès lors il suffit pour l'équilibre de l'élément que les sommes des projections des forces agissant sur lui soient nulles, car les forces étant appliquées au même point seront alors détruites, et les sommes des moments s'annuleront d'elles-mêmes.

Cette réduction s'étend aux équations du mouvement j^n rem-

plaçant X, Y, Z par X — m * , etc., on aura seulement les valeurs de -^, etc., sans aucune équation concernant la rotation de l'élé-

ment ; et, en effet, l'état de mouvement d'un corps élastique est entièrement déterminé si l'on connaît celui du centre de gravité de chaque élément.

Au numéro 33 par exemple nous avons trouvé pour condition d'équilibre d'un fil flexible.

d.(T cos a) + \ds = o ,

T étant la tension, et deux autres seulement, parce que l'élément de longueur ds est infiniment petit en tous sens, et le point d'application de la force extérieure indéterminé sur cette longueur. Il est clair que ces mêmes équations exprimeraient encore les conditions d'équilibre si le fil était élastique, c'est-à-dire non seulement flexible, mais extensible. Pour en déduire la première équation du mouvement, x, y, z étant les coordonnées d'un point de l'élément, il faut remplacer Xds, première composante de la force extérieure

par — M —, en supposant t^nsuite la force nulle ; en nommant c

la masse de l'unité de longueur du fil à l'état naturel, et À la longueur alors occupée par l'élément qui devient plus tard ds, on aura m = c/. L'équation deviendra ainsi

rf.(T COS a) CX -rjr = 0 ,

dans laquelle en outre T est une fonction de l'extension.

Application aux cordes vibrantes. — Supposons que le fil à l'état naturel soit tendu avec une force h entre deux points fixes A, B, et qu'on l'écarté légèrement de cette position. En prenant A pour origine, AB pour axe des x, chaque point M du fil sera défini par la valeur de x qui lui correspond dans l'état naturel, et nous désignerons par x-\- u, y, z, ses coordonnées variables pendant le mouvement, de sorte que w, y, z seront fonctions à la fois

de a; et dei; ainsi dans la première équation du mouvement ,doit être remplacé par -^. Si a/, u\ t/, jsf correspondent au point

M', de sorte que oi — a; = dx^ u' — w = du^ etc., on aura pour la distance MM' = ^5

f/«« = (x' -H «' — X — uY + (2^' — yY + {z' — ;r)» =

d'où

ia? + d» ^ <iv iz

co'i a = — 1 , cos S = -p , cos Y = -T-

as ^ as * 08

Nous considérerons :r > "T^j "r comme de très petits rapports,

dx ax dx

et en négligeant les termes qui les contiennent à un degré supérieur au premier, nous aurons

La longueur primitive dx de l'élément étant devenue d$ ou cte ( 1 -f- -5^),-^ est l'allongement relatif, auquel l'accroissement de la tension est proportionnel. Par conséquent

fw. . . du

g étant une constante. On a ainsi

T cos a = A -h </ -A , T cos S = /i -p-, T cos y = ^ -7^

dx ax ax

En substituant ces valeurs dans l'équation

V > dhi a.(T cos rf) — ck— =0

et ses analogues, remplaçant \ par dx^ on trouve

où a'= -, 6* = — . Ces équations aux dérivées partielles sont pareilles à celle que nous avons intégrée au numéro précédent ; mais la même méthode ne peut être suivie actuellement ; nous avons vu que si la tige se terminait à une section fixe, l'onde était réfléchie, mais s'il y en a deux en A et B la répétition des réflexions en chacun d'eux donne au mouvement une forme périodique fort différente; il s'exprime alors au moyen de ce qu'on nomtoe la série de Lagrange, que nous n'exposerons pas ici.

Les vibrations longitudinales d'une tige élastique terminée en deux points fixes, celles de l'air contenu dans un tuyau fermé, rentrent aussi dans ce qui précède.

117. Relations fondamentale» entre les jpressions intérieures d'un eorps. — La pression sur un plan limité P signifie comme nous savons 1 ensemble des forces du contact exercées par la portion du corps située d'un premier côté du plan sur celle qui est située de l'autre, et pour simplifier nous supposerons toujours cette dernière du côté où l'on mène la normale au plan. Les forces du contact sont projetées sur trois axes rectangulaires, ce qui donne les pressions suivant trois directions.

Chacune de ces composantes dépend de l'aire plane sur laquelle elle s'exerce, et lui est sensiblement proportionnelle quand cette aire est petite ; en effet, elle est la même pour deux aires voisines égales et très petites. Le rapport de la pression à l'aire supposée infiniment petite se nomme la pression rapportée à l'unité de surface.

Soit M le point pour lequel nous voulons évaluer les pressions ou par lequel nous menons une petite aire plane ; si sa normale est parallèle à l'axe des x et de même sens, les projections de la pression sur les axes rapportées à l'unité de surface, seront désignées par jpa,^, ^^y , j?^, ; ce seront de même 2?^^, j?yy, ^^^ si la normaie à l'aire plane est parallèle à l'axe des y^ et !>«., i>-sy, jp»» si

elle Test à l'axe des z. Comme on Ta vu plus haut, ces forces sont exercées sur la portion du corps située, par rapport à Taire plane, du côté des coordonnées positives.

Chaque expression ^<j.^, etc , est une fonction continue des coordonnées x^ y^ z du point M ; en effet, si par exemple i?„ était différent pour deux plans infiniment voisins parallèles à celui des x\j^ cette différence, c'est-à-dire une force finie, agirait sur la masse infiniment petite comprise entre les plans, et lui donnerait une vitesse infinie.

Les relations entre les pressions qui forment Tobjet de ce numéro se rattachent à la dynamique et non à la statique, parce que le corps peut être en repos ou en mouvement; elles restent exactes quel que soit ce corps, ou s'étendent à un système matériel quelconque, pouvant être hétérogène, élastique ou fluide. Elles ne cesseraient même pas d'avoir lieu si le mouvement supposé consistait dans la déformation permanente d'un corps mou.

On le reconnaîtra, dans toutes les démonstrations qui suivent, à ce qu'elles sont basées sur le principe du mouvement du centre de gravité ou sur celui des aires, ayant tous deux cette généralité.

Première propriété. — Soient p'j.y p'y p\ les tro'is annposanies de la pression en M sur un plan P dont la nonnals ML fait avec les axes les angles // a, -Jj la pression étant comme ci-dessus exercée sur la portion du corps située du côté de cette normale ; on aura

Py = Pxy C«S X -f- Pyy COS |i -f- p^^ COS V , Pz = Pxz COS X -f Py^ COS |i, -t- p^^ COS V .

Démonstration. — Menons le plan ABC parallèle à P à une très petite distance et du côté de la normale ML ; soient H, A, B, C les points où il coupe cette normale, et des parallèles atlx axes menées par le point M. En suppo-

sant le corps en mouvement soient rz;,, y,, z, les coordonnées du centre de gravité de la masse m comprise, à l'instant que Ton considère, dans le tétraèdre MABC ; on aura

rf'jc,

i = IX .

2X étant la somme des projections des forces qui agissent sur la masse ; la distance MH, jusqu'ici arbitraire, sera supposée décroître jusqu'à 0, et pour un instant nous laisserons de côté dans l'équation précédente tous les termes qui par rapport à MH seraient alors au moins du troisième degré. Il en est ainsi du volume et de la masse m du tétraèdre, et par suite des termes X dus à des forces extérieures autres que les pressions, ces forces variant sensiblement comme la masse ; de la sorte, en négligeant les termes du troisième degré, on aurait 2X = o, la somme ne s'étendant qu'aux pressions exercées sur le tétraèdre.

Pour celles qui agissent sur chaque élément de la face MAli, rapportées à l'unité de surface, on peut prendre partout la même valeur qu'en M ; l'erreur commise sur cette pression en eflfet serait du premier degré, et s'exercerait sur tous les éléments d'une aire qui est du second ; l'erreur totale serait ainsi du troisième ; cette remarque s'étend aux faces MAC, MBC. Pour la même raison on peut attribuer aux composantes des pressions sur ABC les mêmes valeurs que pour le plan P mené en M, ou p'^.^ p'y^ p\.

Soit maintenant X, la valeur de 2X après ces réductions, et s

l'aire ABC ; le terme de X^ correspondant à la pression sur ABC

est — sp'a-, en remarquant qu'elle était désignée par sp'j. quand

elle s'exerçait sur la portion du corps située du côté de HL, ou

extérieure au tétraèdre. Pour une autre face, par exemple MAC,

son aire étant s', la pression exercée sur la masse intérieure, ou le

terme de X^, est de même -f- s'py^ si MB a le sens des y positifs;

fi est alors aigu et c'est le dièdre des plans BAC, MAC, d'où

s' = s cos |x ; ce terme devient ainsi spy^ cos fx ; il conserve la même

forme quand MB a le sens des y négatifs ; en effet, s'^y^: représente alors le terme cherché en signe contraire, et, d'antre part, p. étant obtus, on a s' = 5 cos (^ — ,:ji).

On vérifierait de même que les termes de X, correspondant aux faces MAB, MBC, sont

sp^ cos V, «p^ cos X ,

d'où

^t = «(Po-r ^^ ^ + V COS (I. + p^^ COS V. — p',).

L'équation générale

devient ainsi

X, + d> = 0, OU — i + — i- = 0 ,

\}; désignant l'ensemble des termes négligés du troisième degré. Comme s est du second, ^- est encore du premier, et converge

vers 0 quand MH diminue ; en même temps -^ ne change pas, et

par suite à la limite on a --- = 0; c'est la première des formules (A) ; les autres s'en déduisent par des échanges de lettres.

Conséqîience : Si en un point M la pression est uniquement normale en tous sens, eUe est aussi égale en tous sens. — En effet, par hypothèse Py^ = 0, p^^ = 0, et pour le plan P, de même^'^, p'y, p\ sont les projections d'une pression unique j?' exercée du côté de la normale et dans sa direction ; par suite p'^^ = p' cos A. La première équation (A) devient ainsi

p'cosX = p^ cosX, p = p^.

Ainsi la pression normale p' sur tout plan passant par le point M a la valeur constante p^^ et entre autres ^^^^ = Pw = JP»»-

Seconde propriété. — Les sommes des projections des presmns ixgissant sur un volume Vsont

en posant

-vc,

dx dy dz

ces dérivées partielles correspondant chacune à Vim des points intérieurs au volume V,

Pour vérifier la valeur de la première somme que nous désignerons par X, partageons la surface du volume V en éléments w, et soient pour chacun >, /x, v les angles de la normale intérieure avec les axes. D'après les équations (A) la projection cherchée, pour la pression agissant sur un seul élément, est

<«> \^Pxx cos X + Pyj, COS |i + P» cos v]

d'où résulte X = A + B -f- G, en posant

A = ïcop^ cos X, B = ^iii^Pyx cos |i,

C = £cD/>„ cos V ,

les sommes s'étendant à tous les éléments.

Il nous suffit de considérer le cas où la surface est convexe. Pour évaluer C partageons le plan des xy en éléments tels que M" ^t sur chacun élevons un prisme mince qui intercepte sur la surface deux éléments M, M'; soient pour le second «, v , si, p'^ ce ^ue deviennent cû| v, z^ p„ qui correspondent à M ; soit aussi a>" Taire de M'' ; comme évidemment v est aigu, v obtus, on a

0 cos V,

«>" ^ «' cod (it -^ v') =s=

0)' cos v' ;

ainsi les termes de C correspondant à M, M' sont

l 'aillears w" (/ — ^) = v, volnme MM' intercepté par le prisme, e» entre comme p^ est une fonction continue de j, et p'^,, — Pa, son accroissement quand s varie seul, on a, d'après un théorème connu,

cette dérivée partielle ayant une valeur intermédiaire entre la plus grande et la plus petite qui correspondent aux divers points de la droite MM'. Il en résulte

sera évidemment la valeur de cette dérivée correspondant à un certain point intérieur an volume total V ; nous aurons ainsi

rf.p d.p

dz dt

Y étant le volnme total. On trouverait de même

dx dy

et de la sorte X ou A -|- B + C prend la forme — VS, Ç ayant la valeur (B) ; on en déduirait les deux autres sommes de projections — Y-f), — VÇ par des échanges de lettres.

Conséquence : Conditions d'équilibre et équations du mouvement. — En supposant la masse m très petite ou réduite à un élément, V étant son volume, les projections des pressions agissant

sur elle sont — VÇ, etc. ; les autres forces extérieures étant sensiblement proportionnelles à la masse, nous désignerons par mX, mY, mZ les sommes de leurs projections, de sorte que X, Y, Z sont des quantités finies; la première condition d'équilibre de Téléraent est ainsi

les autres s'en déduisent par des échanges de lettres. On en tire les équations du mouvement en remplaçant mX, mY, wZ par

mX — ^7.1? 6tc. En les divisant par V, et désignant par p la

densité, de sorte que m = Vp, elles deviennent

en donnant à Ç, r/, Ç les valeurs (Bj.

Troisième propriété. Les composantes tangentielles des pressions sont égales deux à deux, (fest-à-dire qu'on a

^ ^ • yx ' «y* «IX * *s* » îy ' y«*

Démonstration, — Menons par M des droites MA, ^ ^IB, MC, parallèles aux axes et de même sens, ayant des longueurs égales /, et en prenant M pour origine, "Xi""^'-v appliquons le principe des aires à la masse qui à l'instant que Ton considère occupe le cube MABC. Nous aurons

(il

la seconde somme s'étendant à tous les éléments m de la masse.

Supprimons provisoirement dans cette relation les termes qui

en supposant l très petit seraient au moins du quatrième degré.

Comme rr < /, on aurait, même en donnant à . , sa plus grande valeur

mxd'y d'y

dt^ di^

expression du quatrième degré, im ou la masse totale étant da troisièBie ; ce tereoe disparait donc et il en est de même de

myd*x

^ dt^ •

On en peut dire autant des moments des forces extérieures autres que les pressions ; pour l'une d'elles X, Y varient sensiblement comme la masse ou sont du troisième degré, et x, y du premier ; réquation se réduit ainsi à

en n'y tenant compte que des pressions ; quant à celles*ci rapportées à l'unité de surface une erreur du premier degré par rapport à l est négligeable, car multipliée par a; ou y elle deviendrait du second, et serait multipliée encore par l'élément d'une face dont l'aire est l\ et par suite deviendrait en tout du quatrième. Nous pouvons donc en chaque point d'une des faces attribuer aux V^ojections p^j Pj.yj etc., la même valeur qu'au point M, en tenant compte du changement de sens de ces forces quand on passe d'une face à son opposée ; l'erreur commise sur chacune est en effet du premier degré.

Pour calculer l(xY — yX) nous devons partager en éléments^ d'une façon identique deux faces opposées du cube, et associer les termes de la somme qui correspondent à deux éléments homologues. Pour ceux-là les forces sont égales et opposées ; si donc x était le même pour tous deux les termes correspondants de 2irY se détruiraient ; c'est ce qui aurait lieu pour les faces MAC, MAB et leurs opposées ; on ne doit donc tenir compte que de MBC pour laquelle x = o, et de son opposée pour laquelle x = l, tandis que la projection de la pression sur l'axe des y est — P;cy pour l'unité de surface et en tout — l*Pxy] on a par suite

IxY = — l'p ,

On trouverait de même

en remarquant que dans cette somme on doit tenir compte seulement des pressions sur la face MAC pour laquelle y = o, et sur son opposée pour laquelle y = î. En désignant par -^ l'ensemble des termes négligés, l'équation des aires devient ainsi

Si l'on diminue l, comme ^ est au moins du quatrième degré

^ décroit sans limite, et l'équation ne peut rester exacte, à moins

qu'on n'ait Pxy=Pyx ou la première des relations (D); les autres se dérfontreraient de même.

118. Valeur de» presnions en fonetlon des Tariables qui expriment la déformation. — Les forces développées dans les corps mous par une déformation ne dépendent pas seulement de celle-ci, mais encore de son état de croissance ou de décroissance. Nous supposons actuellement que la déformation étant connue, les pressions le sont aussi ; il faut donc admettre que le corps est parfaitement élastique. Sa nature est donc moins générale qu'au numéro précédent, et, entre autres, les fluides sont exclus.

Nous dirons que le corps est à Vétat naturel si la pression est normale en tous sens, auquel cas, d'après le numéro précédent, elle est égale en tous sens. Nous admettrons qu'elle ait alors partout une même valeur h. Dans cet état chaque point du corps est défini par ses coordonnées x, y, ^, qui après la déformation se changent en x-j-Uy y + v, z-^iv. De la sorte w, v, iv sont des fonctions de x, y, ^, et en outre de t si le corps est en mouvement.

Valetirs générales des pressions. — Les valeurs des six compo-

santés des pressions ou de p^^^ etc., au point M sont fonctions, non de la déformation absolue, mais de la déformation relative des points voisins, c'est-à-dire que si x^ y, z^ w, t;, w correspondent à M et que leur accroissement pour un autre point soit désigné par la caractéristique .:\, c'est des valeurs de Ae^, Ay, \w dans le voisinage immédiat de M que les pressions dépendent, ces valeurs étant les changements des coordonnées de ces points pour l'origine M. D'ailleurs,, par la série de Taylor on à

A« = (^)A.+ (^^)A, + (-^)A. + elc..

et Av, Aw7 se développent de même. Mais les pressions ne dépen dent que des lois de la déformation dans les points immédiatement voisins de M, pour lesquels les séries doivent être réduites au premier degré par rapport à Ax, Ay, A^. Il en résulte déjà que les pressions sont fandions uniqmvient des yieuf dérivées partielles

du du du dv dv dv dw dw dw

dx' dy' dz^ dx^ dy' dz^ dx ' dy^ dz

en effet les lois que suivent Aw, Av, Aw ne dépendent que de ces nombres. .

Ces fonctions seraient impossibles à déterminer si la déformation était considérable, comme cela peut avoir lieu, entre autres pour le caoutchouc ; nous devons donc la supposer faible ; d'ailleurs il en est ainsi en général, sans quoi la limite d'élasticité serait dépassée. Nous ne poserons pas comme condition que w, v. w sont partout très petits, cette expression, appliquée à une distance absolue, n'ayant pas de sens précis ; mais nous admettrons que si r, / sont les distances de deux points avant et après la déforma-

tion l'angle de ces droites est très petit et que le rapport — diffère

trè^ peu de V unité.

£n réalité, la déformation restant faible, le déplacement du corps et les valeurs de u^ v, iv peuvent être considérables. On

doit alors décomposer le changement eu deux autres ; pour le premier il y a déformation sans changement notable de position, de sorte que les conditions précédentes sont satisfaites; pour le second il n'y a pas de déformation, mais un déplacement pareil à celui d'une figure invariable. D'ailleurs les pressions intérieures ne résultent que du premier changement, et on pourrait les trouver après le second par une transformation de coordonnées ; mais ce cas d'un déplacement notable ne présentant pas d'application importante est inutile à considérer, de sorte que nous pouvons toujours supposer les conditions ci-dessus satisfaites par u^ v, w dans l'état d'équilibre ou de mouvement ; voici ce qui en résulte :

Soit dans Tétat naturel A un point voisin de M, MA étant supposé parallèle à l'axe des a;, de sorte que A?/ = o, A^ = 0 ; après la déformation soit A' la position de A relative à M, ayant pour coordonnées relatives

X = A.r + au, y' — Av, z = àw ;

le rapport = ,^ doit difierer peu de l'unité ; il en est de même

de — .^^j — , Ao; + au étant la projection de A'M sur AM ou sur

l'axe desx, et l'angle AMA étant très petit; on pourra donc en

dire autant de

àx -f- A« Ao? + Aw AM~ ^ Ix '

et par suite -r^ sera très petit ; ^^ ou ^ et ^'^ doivent l'être aussi. D'ailleurs d'après les valeurs de àu, Av, A?^, où a^= A^ = o, ces rapports sont les mêmes que (Trjjf/A ( r:)- Ce raisonnement s'étend aux autres dérivées partielles l-r-\ etc., en supposant MA parallèle à Taxe des y ou des z ; la condition ci-dessus relative à r, r' revient donc à ce que ces neuf dérivées partielles

sont très petites. En développant les six pressions saivant leurs paissances, on pourra donc négliger les termes de degré supérieur au premier, et réduire ainsi les pressions à des fonctions linéaires des dérivées; c'est ainsi qu'au numéro 115 la pression P était

exprimée par — qs -j- ks ( -^ ) ; en général, cette réduction aux

termes du premier degré signifie que si l'on modifie la déformation en la laissant semblable à elle-même, c'est-à-dire si l'on augmente u, V, w dans un même rapport indépendant de x, y^ z^ les pressions croissent toutes dans ce rapport en faisant abstraction de leur valeur primitive A ; or, dans la réalité, ces pressions constituent des résistances à l'extension, au glissement, à la torsion, et la loi précédente est toujours observée. Il ne nous reste donc qu'à trouver les coefficients des dérivées.

Première réduction. — En posant

dv dw

di "^ dy ''•

dz dy

dw du dr+dz-^'

dw du dx dz

du j dv

du dv

dy "^ dr ■" ^'

dy d.r

^y^^ ^ = Y. -77 + -:ir = p' ^ - ^ = P. '

nous pouvons regarder les pressions comme des fonctions linéaires de X, Y, Z, a, (3, y, a^, (3^, y^, au lieu des neuf dérivées, et leurs coefficients resteront les mêmes quelle que soit la déformation dans le voisinage de M. En prenant pour un instant M comme origine, ce qui ne change point les dérivées, imaginons qu'on tire w, V, w des relations

X -f w = •'* cos 6 -|- y sin 6, y -^^ ^ = — j: sin 6 -f- j/ cos 6i «; = o ;

le corps n'aura fait que tourner du petit angle (i autour de l'axe des z mené par M ; on a alors

'du . ^ dv . ^

- = sm e, - . = — sin6,

dy d.r

et toates les autres dérivées sont oa nulles ou du secoud degré par rapport à 0 ; parmi les neuf quantités X, Y, ... y, on a y, = 2 sin ^ toutes les autres étant nulles ou du second degré.

D'autre part, la déformation n'existant pas, les pressions doivent se réduire à la pression primitive A, et par suite le terme en 7, doit manquer dans chacune d'elles ; en considérant des rotations autour de l'axe des x ou des y on trouverait le même résultat pour a, et |3,. On a donc

ip^^=h + AX + BY + CZ + A'a + B'p + C'y , (F) ]

et quatre autres valeurs analogues, A, B, etc., étant des constantes inconnues, en remarquant que s'il n'y a pas de déformation, ou si X, Y, Z, cxy /3, y sont nuls, on doit trouver p^ = A, py^ = 0.

Cas de Visotropie, — Nous dirons que le corps est isotrope autour du point M s'il est constitué de la même manière dans toutes les directions, de sorte que dans les valeurs des pressions les coefficients restent les mêmes quand on change la direction des axes. Si cela n'a pas lieu, il existe en général certains plans de symétrie qu'on doit employer pour simplifier les formules, mais nous nous bornerons au cas de l'isotropie ; les équations (F) resteront alors exactes quand on remplace chaque axe par le suivant, et par suite chaque lettre x^ y, z par la suivante dans l'ordre alphabétique, ce changement étant le même pour w, t;, w^ pour X, Y, Z, et pour 3c, (3, y ; les valeurs de toutes les pressions se déduiront ainsi de celles de p^ox ^t de p^^^ contenant douze coefficents indéterminés.

Pour exprimer complètement la condition d'isotropie, il faut remarquer que les équations (A) du numéro précédent donnent les pressions p'^^ p'y^ p\ sur un plan quelconque, et, d'autre part, en transformant les coordonnées de façon que ce plan devienne celui des yz, les pressions devront coïncider avec les valeurs de p^x^ Pxy^Pxx} résultant des formules (F; ; mais tout changement de coor-

-**reï

données résulte de la succession de trois autres dans chacun desquels un axe est conservé, et il suffit évidemment de faire la vérification pour un de ces changements simples.

Nous admettrons donc, en prenant pour un instant M pour origine, que la normale au plan P résulte de MX en le faisant tourner d'un angle i dans le sens direct autour de Taxe MZ ; on aura alors dans les formules (A)

cos X = cos i, cos |i = sin t, cos v = o ,

d'où

P'x = Ps. cos t + p^^ sin t, p\ = p^^ cos i + p^ sin i ,

P\ = Ps. cos t + p^, sin t .

Soient MX', MY', MZ' les positions de nouveaux axes qui auraient accompagné la rotation précédente, etx'j y\ ^ les coordonnées correspondantes. Les pressions parallèles à ces axes seraient évidemment

P\' = P'x cos i + p\ sin i\ p\. = — p^ sin i + p\ cos i, p\. = p\ ,

OU d'après les valeurs précédentes et les relations (D),

P'x- == Psr COS* i 4- p^^ sin* t + 2p^^ sin t cos i, (0 [ PV = (Pyy — P« ) sin « cos i + p^ cos 2i ,

pV = Px, cos î + p^, sin t .

D'autre part jp'a.. , p'y , j^'e» sont les valeurs de ^ara-» A^,, i>;c» rapportées aux nouveaux axes, auxquels correspondent X', Y', Z' u\ v\ w\ a, P', /; les formules (F) et les valeurs de jp,a,, Pxy q^i s'en déduisent donnent ainsi

p^, = /i + AX' + BY' + CZ' 4 AV + B'p' + C'y',

Les formules de transformation sont

.r = .r cos t — y sin t,

y = ./ sin i 4- y' cos t.

et par suite q étant une fonction quelconque de x, y, z^

dq dq [dq . . dq

-r-r == j cos e -f ^ /- sin «, —S

dq . . , dq . dq dq /-sin t + y^cosi, .'7 = ,fir ay ai rf:.

En outre

u = M COS f + «^ sin t.

Il en résulte

y' == — M sin i -j^ t; cos i, ' - iv ^ w .

du' . / t/w

^ - = cos « • -

dx \ ax

dv' . / du

dy' \ dx

dv dx

cos i + -fr S'" * ) + sin i ( /' cos i -f- j' sin ^ |

. . , u,u A . I du . , . dv .\

sm t -f- , - cos M + ^'os 1 - , - sin t + - - cos m d.r ! \ dy dy '

dy'

dv'

— - SHl t

d» . dv . \ ^ ./ d«

— - cos t 4- - sin 1 1 -|- cos t , cos dx dx I ^ \ dy

dv »

i + --- cos i dy I

Vt = cos t - - sin i 4- -z— cos 1 + sin i - - - sin e 4- -p- cos i } «j" \ àr dx ) \ dy dy I

dw' dw . , dw .

— - = - - cos i + -- sin f, dx dx dy

dv' du . . , dv

-,- = - cos i + ,- sin t ,

dt;

(/u du dz' dz

dw div . . dw -T~,= - -V— sm î + — - cos 1 .

dy dx dy

En remarquant qu'on a X' = -7^, etc , 7 = tt -+- ^5 etc., on en conclut, en ayant égard aux relations (E),

(fil)

X' = X cos* t + Y sin^ i 4- y sin t cos i, Y' = X sin* i -f- Y cos* i — 7 sin t cos t,

a' = — p sin i 4- a cos i, p' = ^ cos i + a sin i ,

Y = 2(Y — X) sin i cos i 4- y cos 2t.

En substituant ces expressions dans les valeurs (II) de /)'a.., P'v'i P'^'y elles devront être identiques aux valeurs (I) quels que

soient i, X, Y, Z, », (3, y, car t'é|

déformation quelconque. Avant d'écrire ces conditions d'une manière générale, il convient de le faire poar des valeurs particulières de ), pour lesquelles les numéros (I), (II), (III) seront ' affectés d'un ou deux accents.

I¥emier cas : i = tt ; en ayant égard aux formules (F)

Oii)' X' = X, Y' = Y. Z' = Z, a' = — a, p' = - p. 7' = 7 p\. .^ A + AX + BY + CZ — A'a — B'p + C'f ,

01)' j p',. = A"z -h B"x + c'T + lr^ — b"' « — c'p ,

I p',. = p„ = A -h AX + BY + CZ + AV + B'p + C; , 1 1)' j p\. = p,, = A"Z + B"X -(- C"Y + A-T + B"a + C"p ,

' p;, = — p^^ = — A"Y — B"Z — C"X — A-g — B-7 — Ca .

Les conditions de l'identité sont :

pour )i' y. A' ^= 0, B' ^ 0 ;

pour p'^., W =0, C' = o,

pour p',, , A" ^= 0, B" = 0, G" = 0 -

Seœnd cas : i = ^. En supprimant les coefficients nuls, ou trouve

{lliy X' = Y, Y' = X, Z' = Z. a' = -p, ?' = «. 7' = -7- ( 1 ir p'^, = ft + AY + BX -+- CZ — C'y, /,. = — A'7, p',.= A-a. . Py = p^^ = h 4- AY + BZ + ex f C'a, f P, =— Pry -^ — A'ï. P',' = P.. = A'"-

Les conditions de l'identité sont B = C, G = 0.

Cas général. — Nous substituerons C = B, A = (A — B)-f- B; d'après les relations (III) qui donnent X'-|-Y' = X-(-Y, les formules (U) deviendront

i pV='i + (A — B)(Xcos«t + Ysin«t + 7sinicost) + B(X f Y + Z),

f p'^. = A*[2(Y — X) sin i cos i + y cos 2i], p',» = A''(p cos « + a sin i).

Les formates (F ) donnent

;'„ = M- (A - BJX + B(X + Y + Z) , (K) P„ = fc + (A - B)Y + B(X + Y + Z) ,

et les valeurs (I) deviennent ainsi

p\, = A 4- (A B) {X cos* i ^ Y sin' i) + B(X + Y + Z) + W-j sin i cos ». ^1^ I p'^, = (A — B) (Y — X) sin t cos i + A'y cos ai ,

p ,, = A^'O cos i + a sin i).

La condition d'identité se réduit à A — B = 2 A'". Nous verrons plus loin que A et A'" sont négatifs ; aussi est-il préférable de substituer A'" = — fc, A = — k\ d'où B = 2k — 1(f ; en employant en outre l'abréviation s = X + Y + Z, et remplaçant X, Y, Z, a, p, y par leurs valeurs (E) dans les formules (F) ci-dessus, on aura

du / dv dw \

dv / dw du \

dw . / du dv i

du dv dw \ * "" dr "*" d^ "^ "d7 •

Ce sont les valeurs des pressions qu'il s'agissait de déterminer. Ces formules sont exactes pour le point M, qu'il est maintenant inutile de prendre pour origine, et le seront pour tous les points^ sans changer k et k'y si le corps est homogène, constitué d'une manière uniforme, et isotrope en chaque point. Alors A; et A:' sont

des constantes propres à chaque substance ; elles peuvent dépendre de la pression générale h ; toutefois cette influence est évidemment négligeable si cette pression est du même ordre de grandeur que celles qui résultent de la déformation. Quelques expériences semblent indiquer qu'on a fc == 3A; ; on ne peut toutefois affirmer cette relation comme une loi générale.

Signe de k et k\ Prenons pour l'axe des ^ la verticale supérieure, et considérons en particulier les forces Ptxj Pzy^ Pt% agissant en M sur un plan horizontal et s'exerçant sur la portion supérieure du corps.

Si Ton suppose u = o, v = o, 10 = az, a étant une constante positive, les formules (G) donnent p^z = h — k'a, p^j^ = 0, p^y = o : d'ailleurs la déformation consiste uniquement en une dilatation dans le sens vertical, qui doit entraîner en ce sens non une pression mais une tension ; le terme de pg^ qui en résulte doit donc jêtre négatif ; par conséquent k' est positif.

En supposant u = az, v-^o, w=o^ on aurait j^^^ = A, ^«j? = -Avf, p^y = o; tout plan horizontal éprouve alors une translation dans le sens de l'axe des x, de sorte que la déformation consiste en un glissement horizontal; la force jhx doit évidemment agir dans le sens opposé à ce déplacement ou être négative ; par suite k est aussi positif.

Conditions d'équilibre et équations du mouvement. — La valeur (B) de Ç d'après les formules (G) peut s'écrire

,,^ ds , , ds ^, rf'w , /d*u d*v d*w . dhi\ ^ dr ^ d.r d,r« \dy' dxdy drdz ^ dzy

Par conséquent, en désignant par a\ 6' les constantes posi-

tives— , -, et substituant les valeurs (G) dans les formules (C) du

numéro précédent, elles deviendront

On en tirerait les conditions d'équilibre en supposant u, v, w indépendants du temps. En outre, si le corps n'est pas illimité, les valeurs des pressions à la surface déduites des formules (6) doivent être égales aux pressions extérieures.

119. Principes généraux relatifs aux petits mouvements vibratoires. — : Nous admettrons d'abord que le système en mouvement se compose de points matériels libres, en nombre n ; que les forces intérieures et extérieures agissant sur chacun sont fonctions uniquement des positions de tous les points ; et enfin qu'il existe pour eux un ensemble de positions telles que tous soient en équilibre.

Désignons par x^ y y ^, cd^ y\ y, etc., leurs coordonnées dans ces

positions, et par x + u, y 4"^? -s^ + ^j ^ + ^'> y' + ^j Gte-> c^ qu'elles deviennent pendant le mouvement. Si X est la projection d'une des forces agissant sur le premier point, c'est une fonction de x-\-Uy y-\-Vj x' -^ u\ etc., et on peut la supposer développée suivant les puissances de w, v, tv, u' i/, etc., accroissements des coordonnées, que nous supposons très petits ; il en est de même si X est la somme des projections des forces agissant sur le point ; alors le terme indépendant de u, v, etc., est nul, car c'est la valeur de X quand tous ces accroissements sont nuls, ou dans la position d'équilibre. D'autre part, nous regarderons les termes de degré supérieur au premier comme négligeables ; ainsi X sera une fonction de premier degré de w, v, etc. Il en sera de même pour les sommes de projections des forces agissant sur chaque point. En

les supposant divisées par les masses, et remarquant qne x, y^ z^ etc., restent constantes, les équations du mouvement, en nombre 3;t, seront

= Am 4 hv + Cw -f- Dtt' 4- Ev' + etc. ,

-!^ = A'u + B'w + Cw + Dtt' + etc. , -^ = A"tt + Wv + etc. ,

et d'autres analogues, les coefficients constants A^ B, C, etc., changeant à chaque équation.

Généralité des données, — Nous avons supposé tous les points libres. Mais le système auquel s'appliquent les équations est beaucoup plus général. Les points peuvent être les centres de gravité de divers corps; ceux-ci peuvent même être liés de diverses manières, et regardés comme libres, en remplaçant les liaisons par des forces équivalentes.

Tel est le cas du pendule simple ; c'est aussi celui du corps considéré au numéro précédent, les points étant alors ses éléments de masse, car la position de tous ces éléments étant donnée^ tontes les forces mutuelles sont entièrement déterminées. On doit d'ailleurs faire la même restriction, c'est-à-dire admettre que les forces dépendent de la déformation, mais non de son état de croissance ou de décroissance, sans quoi elles seraient fonctions non seulement des positions mais des vitesses ; les fluides sont aussi évidemment exclus comme au numéro précédent, mais ils ne le sont pas des résultats qui vont suivre, parce que leurs petites oscillations de part et d'autre d'une position d'équilibre sont en général représentées par des équations linéaires.

Propriétés des intégrales. — On suppose données les valeurs

initiales de UyV^ w, w', etc., et de leurs dérivées -^, -^, etc., ou des vitesses. Les équations du mouvement sont linéaires et Ton

sait que leurs intégrales complètes ou les valeurs de u, v^ etc, sont des sommes de termes proportionnels à des cosinus, sinus, ou des exponentielles dépendant du temps ; s'il s'y rencontre une de ces dernières telle que p'*, où s est une constante positive, eUe croît sans limite avec le temps, et par suite Fhypothèse d'un mouvement toujoui's très petit est inadmissible, c'est-à-dire que l'équilibre est instable. Si s est négatif, l'exponentielle est toujours accompagnée d'une autre pour laquelle il est positif. On doit supposer le mouvement stable, et par suite les intégrales ne doivent renfermer que des termes de la forme.

f cos {si + /) ,

OÙ /*, Sy l sont des constantes réelles. Cette forme n'a pas du reste d'influence sur les propriétés suivantes :

Superposition des petits mouvements. — Désignons par V,, V, l'ensemble des valeurs initiales dans deux cas différents, et soient n^=u,y v=^v,y etc., les intégrales ou les valeurs de u, v, etc., correspondant à V^, tandis que pour V, elles serojit u^u^, V zzzv^y etc. Si dans un troisième cas les valeurs initiales sont la somme algébrique de celles que représentent V,, V,, c'est-à-dire résultent de leur composition, il en sera ainsi pendant tout le mouvement, c'est-à-dire qu'on aura w = w^-f w,, v=v,-\'V^y etc. En effet, ces valeurs de u^ v, . , satisfont les conditions initiales par hjTpothèse, et il en est de même des équations du mouvement ; pour la première, par exemple, on suppose

-^ == Ati, -f- Bv, + etc., -^ = Attj + Bvj + etc. ,

e t il en résulte

= A(tt, + !*,) + B(t;, + V,) + etc.

On peut dire alors que le troisième mouvement est la superposi-

-Ti^F^r^^S^

tion des deux autres, les valeurs de w, t;, s'ajoutant algébriquement.

Si par exemple, sur la surface d'une masse d'eau tranquille, on produit en 0 une agitation passagère, il se forme quelques ondes circulaires de centre 0 qui se propagent en s'affaiblissant. Si un autre point 0' est ébranlé simultanément, les ondes des deux systèmes se superposent là où elles se rencontrent, c'est-à-dire que les hauteurs de l'eau au-dessus du niveau primitif s'ajoutent algébriquement.

Effets d'une force foyidion du temps, — Supposons qu'à un instant quelconque, pendant le mouvement, les divers points reçoivent à la fois des impulsions soudaines produisant un changement brusque de vitesse, et nommons mouvement principal celui qui existerait sans elles. Les valeurs de u^ v et leurs dérivées qui correspondent à ce mouvement à l'instant où les impulsions se produisent peuvent être regardées comme des valeurs initiales qui, si elles étaient seules, produiraient la continuation du mouvement principal. Ces vitesses initiales se composent avec celles qui résultent des impulsions au même instant, et par suite les mouvements ultérieurs dus à ces deux causes se superposent ; ainsi le mouvement que produiraient les seules impulsions si le système partait du repos se superpose au mouvement qui existait déjà.

Il en est de même pour une suite d'impulsions, ou en les supposant très rapprochées pour une force fonction du temps ; les vitesses élémentaires qu'elle imprime au système produiraient isolément des mouvements élémentaires et tous ceux-là se superposent.

Cela nous amène à distinguer deux sortes de mouvements oscillatoires. Nous avons vu au numéro 1 15 un exemple où le mouvement se composait de deux ondes se propageant au loin ; celles qui proviennent de l'ébranlement d'un point d'une surface fluide sont dans le même cas, et il en est ainsi pour les corps illimités, où le mouvement se propage à l'infini et disparaît. On ne peut point alors l'assimiler à une oscillation. Si au contraire le corps est

limité de toutes parts, la suite des répercussions qui s'opèrent à la surface donne au mouvement une forme périodique, mais en réalité il s'éteint au bout d'un certain temps^ soit par suite du défaut d'élasticité et des frottements, soit par sa transmission à l'air et aux supports. Ce temps peut être fort long si le corps a une dimension très faible comme une plaque, une cloche, etc., ou s'il en a deux comme une tige élastique ou une corde vibrante. L'extinction est presque immédiate s'il n'y a aucune petite dimension, et nous jugeons de cette faible durée par le bruit que l'air nous transmet. Quand elle est longue, le mouvement a le caractère d'une oscillation pendtdaire^ analogue à celle du pendule ou s'entretenant elle-même.

Mais dans d'autres cas le caractère oscillatoire du mouvement est dû à la répétition de la cause qui lui donne naissance ; c'est ainsi que les vibrations d'une corde impriment à l'air une série d'impulsions d'où résulte pour son mouvement la forme périodique, tandis qu'elle ne subsisterait pas d'elle-même si le mouvement de la corde cessait.

D'après ce qu'on a vu plus haut, toutes les ondulations dues aux diverses impulsions de la corde, naissant à des instants différents, se superposent, et il en est de même s'il existe plusieurs sources de mouvement, par exemple plusieurs cordes ; c'est ce qu'on nomme la coexistence des petites oscillations. Dans cet exemple, où chaque corde produit un son, l'oreille les perçoit même distinctement; deux ondulations lumineuses de couleurs différentes produisent au contraire sur l'œil, en se superposant, l'effet d'une couleur simple.

Remarqties sur ce qui précède. -^ Il n'y a pas de mouvements infiniment petits ; les lois qut^ nous avons trouvées sont une limite dont s'approchent les lois réelles du mouvement oscillatoire, quand il est faible, et c'est par l'observation même de la superposition des mouvements qu'on peut juger de leur exactitude plus ou moins grande. Elle est suffisante en pratique dans les exemples que nous avons cités, les oscillations des corps élastiques, celles des ondes

acoastiqaes et Inmîneuses ou de la chaleur rayonnante. Il n'en est plus ainsi dans d'autres phénomènes même quand ils sont faibles. Par exemple, on démontre en physique que la chaleur rayonnante est un mouvement de la matière éthérée. Cette chaleur s'absorbe en partie ' en traversant un corps transparent, en totalité s'il est opaque. Le mouvement étant ainsi détruit par l'influence des particules du corps doit nécessairement exercer des impulsions sur elles, n se transforme donc en un autre, de nature mal connue^ nommé vibrations thermiqties. Il n'en résulte aucune vitesse sensible des diverses parties du corps, mais seulement une lente dilatation. Or d'après la forme des équations du mouvement que noas avons trouvées, si on change seulement le signe des valeurs initiales, celles de w, t;, etc., restent les mêmes en signe contraire, car après ce changement elles satisfont les conditions initiales et les équations du mouvement. Si donc on changeait le signe des vibrations constituant la chaleur rayonnante incidente, ce sens serait changé pour tous les déplacements qui en résulteraient, et la dilatation du corps deviendrait une condensation, ce qui n'a pas lieu. Le phénomène de la dilatation ne rentre donc pas dans les lois des mouvemements infiniment petits, ou provient des termes négligés.