CHAPITRE Vm
MÉCANIQUE DES FI.UIf^ES
120. Formules générales. — Pour chaque substance la pression tangentielle, dont les composantes ont été désignées an numéro 117 par jOj^, p^^ p^y^ ne peat dépasser une certaine limite, qui est la résistance à la rupture par glissement.
Cette limite devient faible pour les corps aisément dé forma blés; elle l'est encore plus pour ceux qui sont dans l'état dit visqueiuc^ et on nomme fluides les corps dans lesquels bi résistance au glissement est tout à fait nulle, de sorte que la pression sur tout plan imaginé à l'intérieur du fluide ne peut que lui être normale.
Alors, comme on l'a vu au numéro 117,1a pression est constante pour un même point, c'est-à-dire reste la même sur une très petite surface, passant par ce point, quelle que soit sa direction. Ce principe, nommé égalité de pression en tous sens, est toujours exact, même à l'état de mouvement, et ne doit point être confondu avec celui de la transmission des pressions que nous verrons plus tard, et qui existe seulement dans un fluide immobile sur lequel n'agit aucune force extérieure.
La pression normale unique, valeur commune de /?j», Pyyy pny est désignée par p qui est ainsi une fonction des coordonnées Xj y, z du point M, et en outre de t s'il y a mouvement.
En un point d'une paroi c'est encore la pression du fluide contre la paroi, et de la paroi contré le fluide, toutes deux étant normales; en effet, les propriétés des pressions démontrées au numéro 117, et entre autres la continuité de leurs valeurs, s'éten-
dent aa cas où le plan sur lequel elles s'exercent serait le plan de séparation de denx corps.
Si x^^y^^ z^ sont les coordonnées du centre de gravité d'une masse m^ V son volume, les sommes des projections des pressions agissant sur elle et provenant des parties voisines sont, comme on l'a vu au numéro 117, — VÇ, — V>3,— VÇ, et comme jp^^^ = o, etc.
les formules (B) de ce numéro donnent Ç = (-~\ , etc. En désignant par mXy mY, wZ les sommes de projections des forces extérieures à la masse m autres que les pressions, on aura pour le mouvement du centre de gravité
m -^ = mX — V5, etc.
OU en divisant par V et nommant p la densité moyenne -r-i
Les dérivées partielles (^) , etc., correspondent chacune à un
certain point intérieur à la masse. En supposant celle-ci infiniment petite, les équations précédentes deviennent celles du mouvement, et coïncident avec les équations (C) du numéro 1 17. Si en outre on suppose x^^ ^,, js^ indépendants de t, elles deviennent les conditions d'équilibre, qui sont ainsi
Celles-ci doivent être satisfaites pour chaque point; p étant la pression, p la densité, X, Y, Z les projections de la force extérieure, rapportée à l'unité de masse.
Il y faut joindre une i*elation entre i? et p ; si le fiuide est un
ij
"iir
liquide, il suffit en général de le regarder comme incompressible, de sorte que p est constant, on s'il y a plusieurs liquides superposés p a pour chacun une valeur donnée.
Si le fluide est un gaz partout à la même température, on a d'après la loi de Mariotte p = koj k étant une constante.
121. Hydrostatique. — On nomme ainsi la théorie de l'équilibre des fluides. Nous avons trouvé pour les conditions de cet équilibre les équations (B) du numéro précédent ; il y faut joindre la relation physique qui lie Py p et la température t ; si celle-ci n'est pas uniforme, il faut en outre admettre pour l'équilibre qu'elle est maintenue invariable en chaque point par Faction de causes extérieures connues, ce qui fournit une seconde relation.
Cet ensemble de conditions est suffisant ; mais nous n'en pourrions tirer une solution générale en laissant les forces tout à fait arbitraires, et nous admettrons que les projections X, Y, Z, de la force rapportée à V unité de masse sont des fonctions de x, y^ z indépendantes de la température et de la nature du fluide sur lequel elle agit II en est ainsi dans toutes les applications ; cette hypothèse est d'ailleurs superflue dans ce que nous nommerons le cas simple^ savoir celui où Ta masse se réduit à un fluide unique de température uniforme, toutes ses parties étant alors dans un état identique.
l^ B est nécessaire pour V équilibre que la force ait la forme
potentielle. — En effet, dans le cas simple précédent c ou — est constant ; on peut donc trouver une fonction qà^ p telle qu'on ait eîg = — ; la première des conditions d'équilibre (B) devient ainsi
p \dx) \dx,/
et Ton aurait de même Y = 1^-] , Z = (-^ 1 . Si donc les projec-
tions données X, Y, Z n'avaient pas cette forme potentielle, Péqailibre serait impossible.
Dans le cas général, si la masse est divisée en plusieurs parties rentrant dans le cas simple^ ce qui précède sera applicable à chacune relies, de sorte qu'on devra avoir en tout point de son intérieur
iX dY ^^ ^^-
dy dx ' di dx ' • dz dy
D'ailleurs X, Y, Z n'étant fonctions que de a?, y, ^, ces relations seront satisfaites dans toute la masse.
Il en est encore ainsi en supposant les parties infiniment petites, auquel cas la répartition de la température et du mélange de plusieurs fluides devient quelconque.
Il faut donc admettre comme condition d'équilibre qu'on a
»=(è). '=(!)• -fê)-
q étant une fonction donnée de x, y, z.
2^ Loi des pressions et des densités. — Nous nommerons surfaces de niveau celles dont l'équation est q = const. Si l'on passe d'un point M à un autre M' très voisin, les accroissements de q et p sont
ou d'après les équations d'équilibre,
dp = p(Xd^ + \dy + 7Az) = p [(^j dx- + (^) dy + (^) rf. j ,
qui se réduit h. dp— çdq. Si M et M' sont sur une même surface de niveau on a e2g = o et par suite dp =^o\ ainsi p ne change pas, ou p est constant sur toute surface de niveau. Par conséquent, si
poar an point la valeur de q est donnée, cela suffît pour que, celle de p soit déterminée ; cela signifie que p peut être considéré comme une fonction non de Xy y^ z^ mais de q seul. On a ainsi
f désignant une fonction inconnue, dont f{q) sera la dérivée. La relation dp = odq trouvée ci-dessus donne ensuite
Ainsi p comme p est constant sur toute surface de niveau; par suite il en est de même de la température si elle n'est pas unifoime.
Par conséquent, s'il y a des inégalités de densité, le fluide en équilibre s'établit de lui-même de façon que les surfaces limitant les couches d'égale densité soient des surfaces de niveau.
Il en est donc ainsi également de la surface de séparation de deux fluides, entre autres de la surface libre d'un liquide dans l'air ou dans le vide.
En outre, la pression est la même sur toute cette surface libre, ou du moins sur une portion de surface qui soit continue. Entre autres un liquide ne peut être en équilibre à moins que la pression atmosphérique ne soit constante sur tonte portion continue de la surface libre.
Si X, Y, Z n'étaient pas^ comme on l'a supposé, indépendants de la nature di|; fluide, là fonction 9 et la forme des surfaces de niveau différeraient dans deux fluides contigus^ et tous les résultats précédents seraient inexacts.
3^ Intégration. — Comme q est supposé connu en fonction de Xy y y Zy elle se réduit à trouver la fonction /Tpour laquelle on a
Considérons d'abord le cas simple d'un seul fluide à température uniforme.
Si c'est nn gaz on a -^ = -r- , A; étant constant. D en résulte
^' = 1". ' vm - i i- w .
a étant nne constante positive, et par suite
Si le fluide est un liquide p est une constante donnée, d'où
a étant une constante, qui se déterminera par la valeur de la pression à la surface libre, s'il y en a une.
Si plusieurs liquides sont superposés la forme précédente de p ne convient qu'à un seul, et pour les autres on aurait des relations analogues
où p , p\ etc., sont donnés, et a, a', a", etc., doivent être tels quejp ait sur une surface de séparation de deux fluides la même valeur pour chacun d'eux. De même si le fluide se composait de plusieurs gaz contigus, mais non mélangés, on aurait pour chacun
P = ae^^ p = ae^\ etc. ,
k^ kj etc., étant donnés ; les constantes a, a\ etc., seraient assujetties à la même condition que ci-dessus. Dans les deux cas la masse de chaque partie étant donnée, on peut en conclure son volume, et les deux surfaces de niveau entre lesquelles elle est comprise.
Ces données manquent si divers flaides sont mélangés, et on ne pourrait compléter l'intégration sans tenir compte des lois physiques suivant lesquelles, sous l'influence de la force, le mélange devient plus ou moins complet.
S'il y avait des températures variables, elles seraient données en fonction de g, ^, p par la relation additionnelle mentionnée plus haut, ce qui modifierait la forme des intégrales précédentes.
122. Propriétés des sarfaees de nivean. — Nous ne supposons point ici que la force agit sur une particule fluide, mais sur un point matériel quelconque. Les propriétés suivantes rentrent donc dans la statique générale, et si nous les rattachons à l'hydrostatique, c'est que celle-ci en présente la principale application.
Les projections de la force f rapportée à l'unité de masse sont encore les dérivées d'une fonction g, et les surfaces de niveau celles qui ont pour équation q = const.
Première propriété. — Deux surfaces de niveau ne peuvent avoir aucun point commun; en effet, on aurait à la fois en ce point gf = c, 2 = c', c et c' étant deux nombres différents.
Il est clair en outre que par tout point on peut faire passer une surface de niveau, en prenant la valeur correspondente de q pour la constante.
Seconde propriété. — Si M, M' sont deux points très voisins pour lesquels on ait g = c, q = c', la projection f de la force sur MM' est
MM'
En effet, d — c est l'accroissement de q en passant de- M à M' ; par conséquent, en désignant par dx, dy^ dz. ceux des coordonnées, on a
Par suite d — c est le travail élémentaire de la force f sur un point ayant pour masse l'unité, qui irait de M en M' ; ce travail
est aussi le produit de l'espace parcouru par la projection /^de la force sur l'espace, d'où résulte
Troisième propriété, — Une surface de niveau est partout perpendiculaire à la farce. En effet, en prenant dans ce qui précède M et M' sur la même surface de niveau on a c' = c, d'où /* = o. La projection de la force sur tonte direction tangente à la surface est donc nulle.
Par conséquent, les surfaces de séparation des fluides en équilibre et leurs surfaces libres sont partout perpendiculaires à la force.
^.^J^IL.....^^.,^^^^ Quatrième propriété. — Soient q = c^q =^ cf
