L -^M O^ ^^^ équations de deux surfaces de niveau très
rapprochées L, L', de sorte qu'on puisse avec une grande approximation leur mener des perpendiculaires communes MM'. En supposant c' > c la force est dirigée de M vers M', puisque cf — cetf sont positifs ; de plus la force étant perpendiculaire aux surfaces on a
ww
Ainsi aux divers points de la surface L la force varie en raison inverse de MM.
Surfaces de niveau de la pesanteur. — Toutes les lois de la
statique pour les corps situés à la surface de la terre sont les
mêmes que si elle ne tournait pas, en joignant aux forces réelles
la force centrifuge. La pesanteur est la résultante de celle-là et de
l'attraction terrestre.
Supposons que l'origine 0 soit le centre de la terre,
OZ l'axe des pôles, MN = r le rayon du parallèle du
.Y point M, de coordonnées rc, y, ^, et ML le prolongement
de NM. Nous savons que la force centrifuge pour l'unité
de masse est ?iV, dirigée saivant ML, n étant la vitesse angulaire terrestre. Il est clair que les projections de NM sur les axes sont
Xy y, et 0 ; ses cosinus ou ceux de ML sont donc — , — et o, et les
projections de la force centrifuge
nV X — ou w*«, n^y, o.
Or elles sont les dérivées partielles d'une même fonction
â- n*x' + -^ n'y/ ou ^ wV. La force centrifuge a donc la forme
))Otentielle et il en est ainsi quels que soient les axes. En effet, nous savons que si une force a cette propriété son travail total sur un point allant de A en B est le même quel que soit le chemin suivi ; or ce résultat est indépendant de la direction des axes.
L'attraction de la terre sur un point a aussi la forme potentielle comme on Ta vu au numéro 81. On peut donc en dire autant de la résultante des deux forces ou de la pesanteur. Pour celle-là la fonction q se réduit presque au potentiel de l'attraction
m rn . w"
V = h T + —r + etc.,
trouvé au numéro 81; m, m\ ..., sont les intensités d'attraction des diverses particules terrestres, et p, p', etc., leurs distances au point attiré. La surface des océans, prolongée idéalement au-dessous des terres, est une surface de niveau, la pesanteur agissant seule à l'intérieur du fluide. Si l'on s'en écarte peu au dehors, par exemple jusqu'à la hauteur des montagnes les plus élevées, les
distances p, p, etc., augmentent, V diminue et il est clair qu'il en
est de même de g ou V -j- -q- ^'^*> ^^^^ Q^^ ïc petit terme - n*r*
éprouve une faible augmentation. Les surfaces de niveau suivantes, représentées par q = const. enveloppent donc de toute part la première, la constante diminuant quand on s'élève.
La pesanteur étant plus grande vers les pôles les surfaces de niveau, d'après leur quatrième propriété, doivent y être plus resserrées, ou s'aplatir comme celle des océans.
Cette forme sphéroïdale est encore ? .<rJi ^ ^rTTx modifiée par les accidents du sol. Si
une surface de niveau LL tantôt traverse en A des montagnes ou massifs, tantôt passe en B au-dessus d'une vallée, elle a une courbure plus prononcée en A qu'en B. En effet, si le point attiré M est en A, il existe une infinité de points attirants
très rapprochés qui augmentent S — vu la petitesse de leurs dis-
tances au point M, et ces termes manquent si M est en B. Ainsi
pour que q reste le même aux deux points il faut qu'en A l'ensemble
des autres termes de 2 diminue, ou que la surface s'éloigne
davantage du centre de la terre. Elle s'élève donc en traversant un massif et se déprime au-dessus d'une vallée. De cette disposition des surfaces résulte que les verticales C, G des deux côtéa d'une montagne divergent plus que si la terre était sphérique; cet efi^et peut aussi se calculer comme dû à l'attraction de la montagne sur le fil à plomb ; toutefois le calcul de cette divergence et l'observation présentent un désaccord, tenant sans doute à la constitution du sol au-dessous de la montagne, et dont la cause est mal connue.
La courbure d'un lac est moindre que celle des plaines environnantes ; en effet, la surface de niveau qui forme la surface libre peut être considérée comme passant au-dessus d'une vallée ; il n'y a pas le vide au-dessous d'elle, mais ce qui revient au même il y a un milieu moins dense que le sol.
Lorsqu'on marche de niveau sur la surface de la terre, en se réglant sur un niveau à bulle d'air ou de toute autre manière, on suit un chemin perpendiculaire à la pesanteur, tel que la surface
d'une eau tranquUle. On reste donc toujours sur une même surfoce de niveau. A'____ .__ «, s
Supposons que dans un nivellement on ^ - — ----— ^ ,1
marche ainsi de A en B, puis qu'en B * ^
on monte verticalement de BB' = h ; qu'ensuite 'on aille de niveau de B' en A' au-dessus de A ; on aura suivi une autre surface de niveau B'A. Si la pesanteur est plus grande en A qu'en B on aura AA' < BB' et en redescendant en A de la hauteur h dont on est monté on se trouvera au-dessous du point de départ A. C'est une des causes qui dans les nivellements de grande étendue amènent ce qu'on appelle des erreurs de dùtme ; celles-ci d'ailleurs ne sont en général que de quelques centimètres.
Il en résulte aussi que ce qu'on appelle Ycdiitude d'un pcHot, ou sâ^ hauteur au-dessus du niveau de la mer, est susceptible de diverses valeurs suivant le chemin qu'on suit en la mesurant. Mais la différence est si faible que cette indétermination n'a aucun inconvénient dans la pratique.
123. Formiile baFométrlqne. — Dans cette question on suppose l'atmosphère en équilibre. La pression p et la température t deviennent^', f à la station supérieure, et p''^ f à la station inférieure. On peut dans la portion intermédiaire de l'atmosphère supposer constante la direction de la pesanteur.
Celle-ci est la seule force extérieure, et par suite en prenant l'axe des z vertical de haut en bas, on aura X = Y = o, Z = ^, d'otl dq = gdz'j g et par suite q sont des fonctions de a seul. Les surfaces de niveau ont pour équation q= const., ou ^ = const. Elles sont ainsi des plans horizontaux, sur chacun desquels Pyp^t restent invariables.
Ces quantités sont liées par la relation physique
P = cp(l -f- aO ,
où a = 0,00367 et c est une constante absolue.
On a pour déterminer p en fonction de z
dp = pdq = pgd% ,
et en y substituant la valeur de p tirée de l'équation ci-dessus on trouve
^ = — ?-— dz.
La température est variable, et la relation additionnelle mentionnée au numéro 121 devrait la donner en fonction de js; mais cette loi entre les deux stations est mal connue, et l'on ne peut qu'attribuer à t une valeur constante moyenne. On doit faire de même pour g dont les variations sont plus faibles, et d'ailleurs incertaines dans le cas ordinaire où les stations sont sur une montagne. Il en résulte en intégrant entre les deux stations
Z étant leur différence de niveau ; les pressions p\ p'' sont connues au moyen des hauteurs barométriques, qu'on peut réduire à la température 0^, et corriger également du rapport de la pesanteur aux deux stations s'il est connu. Soit G la valeur de g au niveaa de la mer ; la relation ci-dessus peut s'écrire
■|-Z = 6(i+a/)/(-^y où 6 =
Pour trouver b appliquons Téquation p~cp{l -|- at) au cas où l'air est au niveau de la mer^ à la température de 0^, la hauteur barométrique étant 0°^,76. En désignant par|>., p, les valeurs correspondantes de p et p nous aurons
G Gpo ' p^ est le poids d'une colonne de mercure haute de O'^yTG ayant un
mètre carré pour base; p^ est la masse et Gp^ le poids d'un mètre cuhe d'air dans les mêmes circonstances. On aura donc
Po = 0,16. Dn, Gj>, = D'n, h = 0,76 ^ ,
n étant le poids d'an mètre cube d'ean, et D, D' les poids spécifiques du mercure et de l'air dans les conditions normales. En substituant D = 13,6, Jy = -fï¥^ ^° trouve b = 7992,6. Communément on remplace -^ P^r Tunité, * par la moyenne T" , et
^'{') P^*^ — ^^8« (^)> ^^ nouveau logarithme étant tabulaire, de sorte que fx est le module. On trouve ainsi
Z = 18404» [i + 0,00183 (f + o] log. (K) •
124. Équilibre des fluides pesants. — Nous laissons de côté les cas où la masse fluide a de grandes dimensions. La seule force agissant sur elle est la pesanteur, constante de grandeur et de direction. Comme au numéro précédent les surfaces de niveau sont des plans horizontaux ; la pression et la densité étant constantes sur chacun, c'est aussi la forme des surfaces de séparation de deux fluides différents et des surfaces libres ;petp sont fonctions de a seul, en prenant pour OZ la verticale inférieure, et l'on a
dp = (jdq = pgdz, p =- g t pdz .
Si la pression est p au point M et p' en M', et <]ue toutes deux soient exercées sur une même petite surface $j les pressions totales seront pSy jf/s, et pour leur différence S on aura
8 = {p' — p)s = gs I pdz,
Kfw.
A et A' correspondant à M, M'. C'est le poids d'une colonne C du flaide, de base horizontale s, allant du niveau de M à eelni de M' ; en effet, en la partageant en tranches de hauteur dz le volame de l'une d'elle serait sdz^ sa masse ^dz^ et son poids gpsdz\ celui-ci ajouté pour toutes les tranches redonne bien *î.
Pour un gaz, par exemple l'air, on néglige en général les variations de p quand il ne s'agit pas d'une colonne atmosphérique considérable ; on a donc pour un gaz comme pour un liquide />=^ô^-i- a, a étant une constante.
Si l'on néglige la pesanteur ou qu'aucune force extérieure n'agisse sur le fluide on a dans toute la masse p = const. ; c'est ce qu'on appelle le principe de la transmission des pressions^ dû à Pascal, et que nous avons mentionné au numéro 120. Il est aisé de le démontrer directement ; il existe aussi des appareils ayant pour but de le vérifier par expérience ; mais ce ne peut être qu'avec une erreur provenant de la pesanteur, celle-ci ne pouvant être supprimée. Il y a toutefois des cas où son effet est négligeable ; dans une presse hydraulique par exemple le principe de transmission peut être regardé comme exact. De même quand on parle de la pression d'un gaz contenu dans un vase on néglige la différence de ses valeurs au point le plus haut et le plus bas.
Il résulte de la relation p = ogz -}- a que si un liquide unique est contenu dans plusieurs vases communiquant entre eux, la pression est la même au même niveau dans chacun d'eux. Si les pressions extérieures P, P' sur deux surfaces libres sont inégales, une colonne du fluide ayant pour hauteur la différence de leurs niveaux doit être la mesure de P — P'.
Si plusieurs liquides sont superposés on trouvera toutes les valeurs des pressions à leur intérieur en remarquant que si l'on s'abaisse d'une hauteur verticale h dans l'un d'eux, de densité p, la pression augmente de pgh.
Principe d' Archimède. — Si dans un fluide en équilibre on considère comme solidifiée une portion quelconque, de volume V^
l'équilibre n'est pas troublé. Les forces autres que les pressions qui agissent sur ce volume se réduisent alors à son poids, appliqué à son centre de gravité. Or si l'on substitue au volume V du fluide un solide quelconque les pressions supei*ficielles restent les mêmes. Par conséquent, les pressions exercées par un, fluide en équilibre sur un solide immergé forment un système de forces réductible à une setde, égale et directement opposée au poids du fluide déplacé et appliquée à son centre de gravité. Cette force unique se nomme la poussée.
Par exemple les poids métalliques employés dans les balances doivent être supposés placés dans le vide quand on les considère comme des mesures de force ; dans l'air ils sont diminués de la poussée, mais l'erreur est presque toujours négligeable.
Le principe reste exact si le solide est placé sur la surface libre et partiellement immergé ; la poussée est alors la somme des poids du liquide et de l'air déplacés, mais on peut en général négliger le second.
Poussée sur des aires planes immergées dans un liquide unique. — Plaçons l'origine sur la surface libre ; dans l'équation p = pgz -j- const., la constante représente alors la pression atmosphérique, "correspondant à ^ = o. Mais les parois auxquelles la poussée est appliquée sont supposées soutenues de l'autre côté par cette même pression commune ; c'est donc seulement l'excédent de la pression que nous devons prendre pour celle qui produit la poussée, oujp = cg^. Soient S l'aire immergée; G son centre de gravité ; prenons-le pour origine de deux axes dans le plan de l'aire, GX étant horizontal, et GY descendant, faisant avec le plan horizontal un angle aigu i qui est aussi l'inclinaison du plan de l'aire ; enfin soit L le point où le prolongement de G Y rencontre la surface libre du liquide, et GL = h. Il est clair que pour le point G la valeur de ^ est h sin i, projection de h sur la verticale ; on a donc pour la pression P en ce point P = pgh sin i.
Partageons l'aire en élément a> ; pour l'on d'eux l'excès de sa profondeur sur celle du centre est y sin i, d'où
Z = (A + î^) sin f , p = p^i = p + pgy sin t .
Les forces ^co appliquées à chaque élément sont parallèles, de même sens, et se composent par les formules qui donnent le centre de gravité d'un corps ; ainsi en nommant R leur résultante, ou la poussée totale, et x, , y, les coordonnées de son point d'application, nommé centre depotissée, on aura
R = )\p(ùy Rx, = Eptox, Rt/, = Ipiùy .
En substituant j? = P -j- ogy sin t on trouve
R = PEo) + pflfSwy sin i , Rx^ = Pl(ùX -f- pgl<ùxy sin i , Rj/i = PSwy + pfifï<«>y' sin t .
L'origine étant au centre de gravité on a la^x = o, Icoy = o ; la première équation se réduit ainsi à R = PSco -= PS ; ainsi la poussée totale peut s'évaluer en supposant la pression partout la même qu'au centre de gravité.
Ensuite en substituant
R = PS = Spgh sin t ,
les autres équations se réduisent à
Si doue on déplace Taire de façon que l'axe GX reste dans la même position par rapport à la surface, x, et y, varient en raison inverse de h.
Si l'axe des y partage l'aire en deux parties symétriques, comme dans les exemples qui suivent, il est clair qu'on a la^uy = o^
x^ = 0, et par suite le centre de poussée G' se trouve sur l'axe des y. On aura alors
Vx = ^. où [{1 = "Lfiù.
On peut remarquer que f* est le moment d'inertie de l'aire par rapport à GX,
P Si l'aire est un cercle de rayon a, on a en coordonnées polaires
ica* „ ^ a*
OU
2^ Si l'aire est un rectangle ayant le côté a horizontal, l'autre étant h y
^^ \ b 1 a ^^^^^ "" la ' S = a6, y, =
Dans le cas où le côté horizontal serait à la surface libre du liquide, on aurait fe = — > ^i ~ "e" ' ^'^®* ^^ distance G'G ; celle du centre de poussée au bord supérieur serait ainsi "y+x^'^T'
125. Hydrodynamique. — On nomme ainsi la théorie générale du mouvement des fluides. Nous admettrons que la température est uniforme, sans quoi on devrait tenir compte des lois de sa propagation.
Les équations obtenues au numéro 120 ne suffiraient pas pour déterminer les inconnues x, y y z^ py p. Pour en trouver d'autres, désignons par a, (3, y des fonctions inconnues de i, x, y, ^, représentant pour g'tout point (x, y^ z) du fluide les projections de la
vitesse de la particule qui y passe à l'instant déterminé par la valeur de t.
Soit MABC un parallélîpipède rectangle mené flU^.-Tlt ! \ par un point quelconque M, et ayant ses côtés
MA, MB, MC parallèles aux axes et de même sens, MC étant vertical de bas en haut. Pour comparer les masses fluides qui entrent dans le parallélipipède ou en sortent pendant un petit temps 9, partageons son volume en petits prismes verticaux tels que ss' et cherchons l'excès de la masse qui entre sur celle qui sort à travers les éléments s, s\ bases du prisme. Le volume passant en 8 a la forme d'un prisme oblique de base s ayant pour longueur l'espace u9 parcouru dans le temps 6, u étant la vitesse ; son volume est su9 cos i, i étant l'angle de la vitesse avec la verticale ; or 7 = ± u cost, et le volume sera syO^ pourvu qu'on le considère comme positif s'il est entrant, négatif s'il est sortant, car alors il a toujours le signe de y. La densité variable étant désignée par p la masse entrant est psyO. Pour l'élément s* on aui-ait p's'yO pour la masse le traversant, p et y correspondant à s' ; mais ce produit est une masse entrant ou sortant suivant que y est négatif ou positif, et par suite en le changeant de signe nous aurons en tout pour la masse entrant par les deux éléments
en remarquant que s' = s.
En désignant par l la hauteur du prisme et par v son volume si, cette expression peut s'écrire
- •• Ft^) » - * (^) •
la dérivée partielle ( -^) correspondant à un point intermédiaire entre s et s'. En ajoutant ce résultat pour tous les éléments des
faces horizontales et désignant par Y le volume total on aara
-ve
dz
la dérivée partielle correspondant à un point intérieur à la masse. Tel est l'excès de la masse entrant dans le parallélipipède sur celle qui en sort en ne comptant que les passages du fluide par les faces horizontales. En lui joignant les excès analogues correspondant aux autres faces leur somme sera m' — m, m et m' étant les masses comprises dans le parallélipipède au commencement et à la fin de l'instant 6. Il en résulte
ve
\ di ) \ dx ) \ dy )'
En sapposant 6 infiniment petit le premier membre devient -jj-(— 1, et en supposant aussi la masse infiniment petite les déri-
vées partielles correspondront au seul point M, et -n- sera exprimé par p ; on aura ainsi
Cette relation se nomme V équation de continuité. Dans un liquide, p étant constant, elle se réduit à
Transformons de même en fonction de a, jS, y les équations (A) du numéro 120, appliquées à une masse infiniment petite ; la première, en remplaçant x^ par x devient
di* p \dx
Soit MM' l'espace décrit par la particule dans le temps df, rr,
y^ z s'accroissant de da^y dy^ dz. Si ^, ul sont les projections de sa vitesse sur Taxe des a; en M et en M' on a
dt* dt
Nous avons désigné par a pour tout point (a:, y, z\ la projection de la vitesse de la particule qui y passe au bout du temps t sur Taxe des x ; c'est donc la valeur de u ; mais u' sera ce que devient cette même fonction ex quand x^ y^ z ont augmenté de dx^ dy^ dz et t de dty d'où résulte
les dérivées étant toutes partielles. En outre MM' ayant été décrit dans le temps dt avec la vitesse de la particule on a (2^ = oM^ dy = ^dty dz = ydi, et par suite
En substituant cette valeur dans la première équation du mouvement, transformant de même les autres, et leur joignant l'équation de continuité, on trouve
(Ti
i -4- « ^ -1- fi il 4- V ''f - 7 ——{È.\
dt dx dy dz
C'est ce qu'on nomme les équations générales de Vhydrodynamiqtie. Elles sont suffisantes à l'intérieur soit d'un liquide unique
pour lequel p = const., soit d'un gaz unique pour lequel -i- = const. ;
nous laisserons de [côté le cas où plusieurs fluides seraient mélangés.
On doit joindre aux équations des conditions aux limites^ correspondant à la surface de la masse fluide. Là où elle est libre, p a une valeur donnée. Là où elle est contiguS à une paroi, la vitesse relative du fluide doit lui être tangente. '
Les formules se simplifient quand les forces ont la forme potentielle, de sorte que
--m- -(!)■ -fë).
q étant une fonction donnée de x^ y^ z^ t. On peut alors essayer de satisfaire toutes les équations en supposant
cp étant une fonction inconnue de x^ y^ z^ t. Cela suppose toutefois que les valeurs initiales données de oc, fi^y ont cette forme potentielle, auquel cas la valeur; initiale de cp est connue à une constante près.
En substituant pour a, ^, y les expressions précédentes, la première équation du mouvement devient
d^(p d^ (^ (kp [d*f d^ d^p / dq\ i /rfp\
dtdx '^ dx ' dx^ ly dxdy dz dxdz '^ \dx) p \dx) *
Pour un gaz on a
p \dxj \dx I
Par conséquent si Ton pose
K = q — — pour un liquide, P
R' =s q — kl{p) pour un gaz.
et en outre
l'équation ci-dessus prend la forme
/dh\ /(fR'\
et les deux autres deviendraient de même
dyJ^Xdyr \dz)^\dz)'
Pour que ces trois équations aient lieu il faut et il suffit qu'on ait R = R' + T, T étant une fonction de t seul. Mais on peut la supprimer ; soit, en effet, T' une autre fonction de t seul telle qu'on
ait ^- = T. D'après la valeur de R, R — T ou R — -r- est ce
al ai
que devient R en remplaçant <p par ?' = <p — T' ; or on a
H est donc indifférent de prendre pour la fonction inconnue <p' au au lieu de cp ; en la désignant ensuite [par cp, les formules seront exactement les mêmes, sauf que T sera nul. On aura alors R= R'
et en outre l'équation (2) où l'on devra substituer a = (-^j , etc.
Pour un liquide, où p = const., les équations du mouvement sont ainsi
126. Applications. — P Écoulement d'un liquide. — ^J^^^ûd un liquide contenu dans un vase ^\ s'écoule par l'ouverture horizontale AA' on observe que les particules situées dans une même section aUa* horizontale descendent sensiblement avec une vitesse verticale commune, pourvu que les sections du vase ne varient pas trop rapidement. Ce mode de mouvement se nomme Vhypothèse du parallélisme des tranches.
En supposant OZ vertical dans le sens de la pesanteur on doit alors regarder « et ^ comme nuls, et y comme indépendant de rc, y, de sorte que les équations (1) du numéro précédent se réduisent à
EL j^ ÉL^JL ÈL^ —
dt '^'^ dz '^ p dz ^ ^
Soient ;
MM' la section horizontale à laquelle correspondent ^ et y ;
(D son aire ;
/, y, a>' ce que deviennent -s?, y, œ pour la section du niveau supérieur NN' ; A, w, b les valeurs de ^, y, a> à l'orifice AA'.
De la sorte hetb sont des constantes données et u est une fonction inconnue du temps seul.
La pression extérieure est supposée la même en AA' et NN'. Si donc on multiplie l'équation ci-dessus par da et qu'on l'intègre de ^ = ^ à ^ = h, on aura
Les volumes liquides s'écoulant en AA', MM', NN' dans l'instant dt sont budty y<odt, yto'dtj d'où
6w = Y(û — 7'tt)
'• 'Vi
En substituant y = — , v' = —7 dans l'équation précédente, on
aura
en posant
f * it,
En outre ^ = y =s — ^ ; en remplaçant rf* par ^^ on trouve
équation donnant t«* en fonction de ^ ; ft, a>', et par suite les coefficients de l'équation sont des fonctions connues de /.
n faut remarquer que l'équation (2) du numéro précédent se
réduit à -JL = 0, et n'est pas en général satisfaite dans l'hypothèse actuelle, qui n'est ainsi qu'approximative. Du reste, l'intégration rigoureuse des formules (1) et ^2) est en général impossible, même dans des cas fort simples.
2® Mmvemmts infimment petits d'tm liquide sur lequel n^agit que la pesanteur. — En employant les formules (3) nous admettrons que
a, j3, y, ou ^, etc. , et leurs dérivées sont de très petites quantités, dont nous négligerons les carrés et les produits. La première équation (4) se réduit alors à
en remarquant que q = gz.
On a vu qu'il était indifférent d'ajouter au premier membre une fonction de t seul, entre autres une constante ; nous pourrons donc remplacer jp par p — P^JP^ étant la pression atmosphérique.
Cette équation, quand on a trouvé la valeur de (p donne celle
depy mais ce qu'on cherche est plutôt la loi des ondulations superficielles, ou la hauteur variable de la surface libre au-dessus du niveau naturel ; en prenant celui-ci pour le plan des a^y ce sera l'ordonnée £r = Z. Or à cette surface on a p = jp, , d'où
qui donnera Z quand <p sera connu. Cette fonction est déterminée par l'équation (4), ou
dy
et par des conditions aux limites.
A la surface libre ^^^ * "57 = 7 = -£• > ^* P^r suite, d'après l'équation ci-dessus,
^ dz dt' *
où l'on peut supposer ^ = 0, en négligeant le second ordre.
Au fond de la masse liquide la vitesse normale à sa surface est nulle. Si elle est horizontale il en résulte y = 0 ou
Nous ne pouvons reproduire ici l'intégration de ces équations trouvée par Poisson, et dont les résultats sont d'ailleurs conformes à l'observation.
Toutes les équations ont la forme linéaire. Par conséquent, si elles sont satisfaites en prenant pour les valeurs de Z et (p soit Z'etcp',soit Z"et «p*', elles le seront encore en supposant Z =Z'-|-Z",
Le principe de la superposition des petits mouvements est donc exact ^pour les ondulations d'une surface liquide, comme nous l'avons mentionné au numéro 119.
3^ Mouvements infiniment petits d'un gaz, au vibrations acoustiques. — Noos supposerons que l'effet de la pesanteur est négligeable^ de sorte qne dans les équations (1) on aura X » Y== Z=^ o. Soit en outre ^ la densité dans Tétat d'équilibre^ et 5 la dilatation
relative du volume, d'où p = . Nous admettrons que a, p, y, s
sont très petits ; en négligeant le second ordre par rapport à ces quantités, on aura
p = g(i — i\ p = kS(\ — s) ,
et on devra remplacer o par S dans l'équation (2), sauf dans le premier terme, ce qui donne
dt " dx dy dz
On devra aussi réduire — ^"g" dans les formules (1) qui deviendront
^^k— Ét^k^ -i-jfc*
dt Ar' dt ^ dy' dt " dz'
C'est de la dilatation s qu'on cherche les lois; pour cela on substituera les valeurs précédentes dans
dt^ " didx "^ dtdy "^ dtdz ' dérivée de l'autre équation, ce qui donne la relation cherchée •
dt' "■ W» + dy' "*" d?; •
Si le gaz était contenu dans un tuyau rectiligne ayant pour axe OZ, toutes les vitesses étant parallèles à l'axe, on aurait a =|S=o ; il en résulterait
(û« "" dt' '
comme noas Tavons déjà trouvé au numéro 115, où les ondes étaient définies par les valeurs de u au lieu de s.
Dans cette question on ne doit pas prendre pour le rapport A;=—
celui que donne la loi de Mariette, mais celui qui existe quand la chaleur développée par la condensation du gaz n'a pas le temps de se dissiper, comme c'est le cas dans les rapides alternatives qui constituent les vibrations acoustiques.
127. Remarqnes générales mnr le mouTement des fluides. — n semble que tout ce qui concerne ce mouvement devrait rentrer dans Thydrodynamique. Toutefois on désigne plus spécialement par ce terme les lois du mouvement telles qu'elles résultent des formules du numéro 125, on celles qu'on obtient en prenant pour inconnues les vitesses a, /3, y en un point quelconque. Nous avons vu que les résultats de cette méthode étaient fort limités.
On nomme Hydrauliqtie la théorie des mouvements permanents des fluides, c'esta-dire de ceux dans lesquels ^, a, |3, y pour un même point sont indépendants du temps, ou fonctions de a;, ^, j? seuls^ l'espace total occupé par le fluide restant invariable.
Les applications industrielles de la théorie des fluides rentrent généralement dans l'hydraulique, dont les résultats pratiques sont nombreux, et les lois importantes, même au point de vue purement scientifique ; mais elles sont basées sur les formules (A) du numéro 120, et sur les lois générales de la mécanique, et il n'est plus fait aucun usage des formules du numéro 125.
Avant de nous occuper de l'hydraulique il est nécessaire d'examiner quelques propriétés importantes du mouvement des fluides, applicables soit qu'il soit permanent ou varié, et qui se déduisent directement des formules (A) du numéro 120.
Première propriété, — Nous nommerons force accélératrice la
force autre que les pressions, telle que la pesanteur, etc., en la
supposant rapportée à l'unité de masse. Dans les équations (A) du
numéro 120 ses projections sont X, Y, Z. En supposant infiniment petite la masse sur laquelle elle agit, et remplaçant x^, y,, z, par Xy y^ Zy ces équations deviennent
dt' p \dxr dt' p \dyr dt' p Wî /
Par suite si dans une portion de la masse la pression est partout la même, chaqzie particide fluide se msut comme un point matérid animé de la seule force accélératrice.
En effet, on a alors (^^ = o, (^^ = o, (^) = o, ce qui ré-
duit les équations ci-dessus à
d^x ^ ^ -7T = A, etc.
OU à celles du mouvement d'un point matériel libre, sans influence des pressions.
Tel est le cas d'une veine liquide mince lancée dans l'air, avant qu'elle se déforme en gouttelettes ; en effet, la pression atmosphérique agit sur le contour de toute section normale, et à l'intérieur la pression n'en peut différer que très peu. Aussi la veine décrit une parabole fort exacte, n'étant pas modifiée par la résistance de l'air, mais seulement par son frottement, qui est une force beaucoup plus faible.
Seconde propriété, — Considérons une petite masse déterminée m à un instant donné, et imaginons que Taxe des z ait été pris parallèle à sa vitesse à cet instant, et qu'en outre OX soit parallèle au rayon de courbure R de sa trajectoire, et de même sens.
Dans les équations du mouvement ^, ^^ -- sont les projections
de ^son accélération sur les axes ; d'autre part, nous savons que celle-ci se décompose en deux autres rectangulaires, l'une suivant
la vitesse Vy l'autre suivant le rayon de courbure, égale à -5-. Par
conséquent, la première est ^, l'autre -tt^, de sorte que — est nulle. Les équations du mouvement donnent ainsi
p \dx/* ù \dy) '
R 0 \ax/ p
En outre, comme on l'a vu au numéro 50, on nomme force centrifuge la force -^- ou simplement -^ en la rapportant à l'unité de masse. On la considère comme agissant en sens contraire du rayon de courbure ; en la désignant par <p et remplaçant -^ par
— cp, nous aurons
c'est-à-dire deux des trois équations d'équilibre, ou des équations (B) du numéro 120, sauf que X est augmenté de cp. Nous avons supposé le plan des xy perpendiculaire à la vitesse de m, mais il le sera aussi sensiblement pour d'autres particules voisines de la première, et OX sera à très peu près parallèle à leur rayon de courbure. Ainsi les mômes relations auront lieu pour des particules traversant le plan au même instant que la première, et très près d'elle. Or si Ton passe du point m à ces dernières l'accroissement de^ ne dépend que de ( /)? ( / )-^l ^° résulte la
propriété suivante, indépendante du choix des axes :
Dans le voisinage d'un point m quelconque du fluide, dans u/n plan perpendiculaire à sa vitesse, la pression varie suivant les lois de rhydrosiatique, en admettant qu'outre la force accélératrice agisse la force centrifuge.
Si par exemple une rivière fait un contour on pourra prendre pour le plan précédent celui qui est perpendiculaire au courant ; et la propriété aura lieu en tous ses points ; en particulier à la surface libre, la force OMxune dans le cas d'équilibre devra lui être
perpendiculaire. La force est résaltante de la pesanteur et de la force centrifuge, et on en conclura comme au numéro 70 que la section de la surface est une parabole.
Troisième propriété. — Principe des forces vives. Dans les corps déformables, élastiques ou non, l'accroissement de la demi-force vive n'est point égal au travail des forces extérieures. Ainsi le principe des forces vives, démontré pour un système théorique, n'est en général vrai que dans ce cas ; il n'est donc pas évident pour les fluides ; pour les gaz il est inexact.
Au contraire, la formule de Bernouilli, qui, comme on le verra, sert de base à l'hydraulique, n'est autre que le principe des forces vives, fort aisé à démontrer dans le mouvement permanent. Mais quand il s'agit des moteurs hydrauliques le mouvement n'est plus permanent, bien que d'ordinaire on leur applique par induction les lois de l'hydraulique. Il importe donc d'établir le principe des forces vives pour le mouvement quelconque d'un liquide.
n faut remarquer en outre que si le mouvement n'est pas permanent, les petites masses contiguês se mélangent en général pendant leur déplacement, ce qui n'empêche pas le centre de gravité de chacune de rester bien déterminé pendant qu'elle se disperse. La démonstration qui suit est indépendante de cette diif usion .
