Démonstration du principe des forces vives
pour an liquide. — Nous désignerons par y à chaque instant
la somme
y = Imp ,
étendue à tous les éléments m de la masse ; par 0 la somme
étendue aux mêmes éléments en considérant p comme une fonction de t, x^ y, z^ ^^\lr) étant sa dérivée partielle par rapport à t \
dT sera la somme des travaux élémentaires exercés sur tous les éléments pendant l'instant dt par les forces autres que les pressions;
dT sera la somme des travaux exercés pendant l'instant dt par la pression extérieure sur toute la surface qui limite la masse.
P Valeur de dT. — En comparant les positions de la masse liquide au commencement et à la fin d'un petit instant 6, soient E la portion de l'espace occupée par la masse fluide aux deux époques à la fois : E, celle qui n'était occupée qu'à la première époque ; E, celle qui ne l'est qu'à la seconde.
Le volume E, est une sorte de lame mince comprise entre les surfaces extérieures LL à la première époque, L'L' à l...-^ la seconde. ^^
H est clair que E, peut se composer aussi de plusieurs semblables lames non contiguês : partageons LL en éléments o> et par le contour de chacun d'eux menons des normales à la première surface, qui en supposant b très petit, seront aussi normales à la seconde. Tout l'espace E^ sera ainsi partagé en petits prismes ayant pour base chaque élément co et pour volume t;=coA, \ étant la longueur de la normale commune.
Chaque particule de co s'est transportée pendant l'instant 9 infiniment petit à la surface L'L' ; \ est la projection de la ligne qu'elle a. décrite sur la direction normale de la force, ou de la pression extérieure p ; / étant le même pour tous les points de co, le travail de la force pi*> appliquée à l'élément sera pA ou pv ; par suite le travail de la pressi(»n extérieure sur la portion de la surface extérieure de la masse qui sert de limite à l'espace E^ sera Ijpt;, la 43omme s'étendant aux éléments v de cet espace.
Le reste de la surface extérieure est la portion qui sert de limite à l'espace E,, et pour celle-ci, où le travail est évidemment négatif, les points se déplaçant de dedans en dehors, on trouverait de même que le travail est — Ipv^ la somme s'étendant aux éléments t; de E, . Ces deux sommes sont donc les deux parties de
dT'. Nous aurons encore à faire usage plus tard de cette expression du travail, employée également dans la thermodynamique.
2® Valeur de -J-. — En définissant comme ci-dessus 0, E, E, y
E,, sans supposer 0 infiniment petit, soient y, y' les valeurs de y au commencement et à la fin de Tinstant 6, de sorte que
^=, imite, fc»
dt V 6
Soient aussi S,, S,, S, S' les valeurs de la somme Imp, semblables à y, mais étendues tour à tour au volume E^, à E,, à E à la première époque, à E à la seconde. Il est clair que le volume total est E -f- E^ à la première, E -f- E, à la seconde, et par conséquent
dt
V étant rélément de volume et p la densité du liquide, on a m = vp;
-^, — ^ ont donc une même forme Ipv. la somme s'étendant à E,
ou E, ; leur différence quand 6 est infiniment petit est comme on
l'a vu la valeur de dT' ; en ce cas rfT' = ~ \ et par suite eu
P général
Remarquons ensuite que S et S' s'étendent au même volume E qui peut être décomposé en éléments de volume d'une façon identique aux deux époques ; les éléments de masse auront donc la même forme, la même valeur, sans être composés de la même matière ; on aura ainsi
p et p' étant pour les deux époques les pressions correspondant à un même point de l'espace ; par suite si 0 devient infiniment petit
^ 7"^ se réduira à la dérivée partielle y-J-\ et la somme précédente à celle qui a été désignée par z. Il en résulte
di \ e / (U
3° Démonstration du théorème. — La première équation (A) du numéro 120, ou
dt* p \dx
concerne le centre de gravité G d'une masse m que nous ne considérons pas d'abord comme infiniment petite ; il faut remarquer que si cette masse est contiguë à la surface extérieure, la composante de la pression extérieure est déjà contenue dans le terme
(^) et qu'on ne doit point la comprendre dans la valeur
deX.
dv
En ajoutant les équations du mouvement multipliées par -, J[-, ~y et désignant par v, la vitesse du centre G on a
en posant
% dt ~~ dt 0
^(dp\dx^ , (dp\ ^ , /^\^ " \dx) dt '^XdyJ dt "^Wz/ dt
Considérons d'abord la valeur p^ de la pression en G, variable pendant le mouvement de ce point ; p est une fonction de t, a?, y, -ar, et p^ est la même fonction de t, x,,y,, z,\ en outre x,^y,^ z, sont des fonctions de f , dépendant du mouvement de G ; de la sorte la dérivée totale de p, est
dt
en désignant par (?-), (^)j ^t^., des dérivées partielles. En posant
la différence e converge vers o quand on prend la masse m très petite. En effet les dérivées partielles (-^), \-f-\ ( j ) correspondent chacune à un point intérieur à la masse, et du reste inconnu. Si ce point était G, (.7] serait la même expression que
nous venons de désigner par i-p-)} P étant la même fonction de
tj X, y y z que jî, , de i, x,^y,^z,. Cette remarque s'étend à \-t~\ (-/-)•
Si donc la masse m diminue sans limite, les points intérieurs sont infiniment près de G, et la différence Q' — Q infiniment petite.
Les valeurs de -x- -^. -3 ' donnent
2 dt ^ dt ^ dt '^ p dt dt "^ p \dt} "*" p '
En multipliant cette équation par m et ajoutant les relations analogues pour toutes les petites masses dans lesquelles le liquide est partagé, on a
(2f 2 ' p d( ^^ dt p \dt J p
Où
rfTi = mXdx, 4- mYdy, -|- mZ(f2| .
Si maintenant nous réduisons les petites masses à de simples éléments, chaque valeur de t converge vers 0 et par suite aussi
2mt;/ devient la force vive F, car par définition on doit, pour l'évaluer, attribuer à chaque élément la vitesse de son centre de gravité ;
Imp, est la même somme que y ou Imp, p^ correspondant au centre de gravité de m ;
IcTT^ devient dT, puisque wX, mY, mZ sont les projections de la force agissant sur Télément et par suite cH!, son travail :
enfin Im l~] est le même que im (-J-] ou z. Il en résulte
dt "^ "y * "" rfi "^ y *
où -4- est une dérivée totale. En substituant sa valeur z - ^, on
at dt
trouve
-?— = -17+ J-' d.Hr F =(fr + dT;
dt dt ^ dt \lt J ^ '
par suite r accroissement de la demi-force vive d'une masse liquide pendant un temps quelconque est égal à la somme des travaux effectués pendant ce temps su/r chaque élément de masse par les forces autres qute les pressions, plm le travail de la pression eodêrieure sur la surface qui limite la masse.
En effet l'égalité ci-dessus exprime ce principe quand l'accroissement correspond à un instant di^ et on peut évidemment l'en déduire pour une durée quelconque.
