Principes fondamentaux de l'hydranllque
— Le mouvement permanent, comme nous l'avons dit, est tel que la surface extérieure de la masse est invariable, et que p a, |3, y sont constants pour un même point de l'espace ; la vitesse des particules qui y passent est donc à chaque instant la même en grandeur et en direction. Il en résulte pour le mouvement la disposition suivante, nommée mouvement par filets.
Si une particule passant en A parcourt la trajectoire A A' , toutes celles qui se succéderont en A suivront le même chemin. Si s est une portion de surface quelconque, les trajectoires AA', BB', etc. des particules passant aux divers points A, B, etc., de son contour formeront une sorte de canal fermé, nommé filet ; tout le fluide traversant s passera à son intérieur comme dans un tube matériel. Si on imagine que s, s' soient des sections normales de ce filet supposé très petit, les vitesses des particules dans une même section seront sensiblement égales ; si on les désigne par v en 5, 1/ en s', les densités étant p et p', l'espace parcouru dans le temps dt sera en s vdt^ le volume écoulé svdt, et sa masse osvdt : en s' elle sera p's'v'dt; comme elles doivent être les mêmes on aura psv = rJs'v'y et en particulier pour un liquide sv = s'v\ de sorte que dans un filet élémentaire ou infiniment mince la vitesse varie en raison inverse de la section.
Dans un grand nombre de cas le mouvement affecte cette forme permanente. Il en est ainsi communément pour le mouvement de l'eau dans les tuyaux de conduite et les canaux découverts. On en peut dire autant pour l'eau s'écoulant d'un réservoir entretenu à niveau constant, et pour des mouvements analogues de l'air et du gaz d'éclairage.
Résistances passives, — Le frottement d'un fluide contre ses parois est comme celui des solides un phénomène complexe, consistant en une suite de petits chocs contre les rugosités de la surface; comme pour les solides également on n'en peut tenir compte en mécanique qu'en l'assimilant à une force retardatrice, agissant en sens contraire du mouvement, et produisant exactement le même effet. Mais il en existe une d'un autre genre.
Nous avons vu que des chocs de corps même parfaitement élastiques causaient une perte de force vive s'ils restaient adhérents au lieu de rebondir ; il en est ainsi pour une masse d'eau tombant sur une autre dans un vase où la seconde est empêchée de se
déplacer ; mais il en est ainsi également quand an filet ou un courant d'eau est forcé de se dilater pour occuper un espace plus grand, sa vitesse diminuant forcément ; il se produit alors en quelque sorte un choc progressif et prolongé, et même si le courant arrive dans une masse considérable d'eau tranquille, sa vitesse est entièrement amortie. En général il en résulte une perte de force vive, pareille à un travail négatif, et tout à fait aûalogue à celui des résistances passives dans les machines. On le connaît par expérience, et ses lois, comme nous verrons, sont même semblables à celles de la perte de force vive que nous avons trouvée au numéro 107 comme résultant des chocs à contact persistant. Ces phénomènes sont fort complexes, et comme pour le frottement on ne peut en tenir compte en mécanique qu'en les considérant comme dus à une force retardatrice agissant en sens contraire du mouvement. Nous verrons même que le frottement peut être considéré comme compris dans cette force.
Ces résistances agissent également dans le mouvement varié, mais c'est en hydraulique qu'on en détermine la mesure exacte, pour toutes les circonstances que peut présenter le mouvement d'un fluide.
En outre, comme dans le principe des forces vives appliqué aux machines, on assimile les frottements à des forces extérieures, on devra pour les fluides classer les résistances passives parmi les forces autres que les pressions.
130. Formule de BeriioailII. — Soit m un élément de masse faisant partie d'un filet AA' infiniment mince, et comprise entre deux sections normales infiniment voisines.
Pour appliquer à son mouvement le principe des forces vives, il est plus simple, en laissant de côté l'énoncé du ' numéro précédent, d'employer ses équations
d'x ^ ^ ( dp
En les ajoutant mnltipliées par dx, dy, dz et désignant par v la
vitesse, on aura
6 dp
OÙ
6 = mXAr + m\dy + mZd^ ,
Si les accroissements tia;^ dy, dz correspondent au déplacement de la masse iw de A en B, dp est l'accroissement de p de l'un à Tautre de ces points, puisqu'en vertu de la permanence il est indépendant du temps en chacun d'eux ; d est le travail élémentaire des forces autres que les pressions, car elles sont réductibles à une seule, ayant pour projections mX, mY, mZ.
Nous supposerons toujours dès à présent que Taxe des ^ est vertical dans le sens de la pesanteur, dont le travail est ainsi mgdz ; nous admettrons aussi que les autres forces se réduisent aux résistances, dont le travail élémentaire sur la masse m, toujours négatif, sera désigné par — dT et le travail total par — T quand elle se déplace de A en A.
Nous pouvons, intégrer l'équation ci-dessus pour ce trajet, en substituant 9 = mgdz — dT. En supposant que v^ z^ p correspondent au point kçX v' isf p' au point A, nous trouverons pour un liquide
Pour un gaz la même intégration est possible eu substituant p = -^ ; mais le résultat ne représente plus le principe des forces vives. Il est
Il faut remarquer que v, p^ z ont en A des valeurs constantes, de même que t?', p\ s! en A', et les relations précédentes lient entre elles ces valeurs, abstraction faite de la considération de la petite masse m.
Nous laisserons de côté l'équation relative aux gaz, et nous mettrons l'autre, divisée par g y sous la forme suivante, nommée formule de BernouiUi :
= fc — i^.
en posant
(,) /.=(.' il) (; A), ^ =1 .
\ g?/ \ fifp/ frig
Signification de h. — Nous désignerons constamment par z l'ordonnée de tout point M du fluide, comptée verticalement audessous d'un plan horizontal supérieur, supposé assez élevé pour que z soit partout positif. Nous n'avons plus à lui adjoindre des axes des x et des y situés dans ce plan.
En outre, p étant la pression en M, nous nommerons ordonnée
piézométrique de ce point l'expression z —.
Dans une masse liquide en équilibre on a
p p = pgz + const., z — - = const.
Cette ordonnée est alors la même en chaque point. On l'exprime aussi en disant que le niveau piézométrique est constant.
Dans l'état de mouvement on nomme charge d'un point M sur un autre M' l'excès de l'ordonnée piézométrique de M' sur celle de M. Il en résulte identiquement que si H est la charge de M sur M', et H' celle de M' sur un autre point M", H + H' est celle de M sur M".
D'après cette définition et l'équation (2) A est la charge du point A sur A'.
Signification de 4'. — Dans cette expression, qu'on nomme la perte de charge, T est le travail total des résistances sur une petite masse m allant de A en A', mais on peut lui donner une forme plus simple.
Partageons le filet AA'en n parties égales par un grand nombre de sections normales B, C, D, etc., de sorte qu'il se trouve une même masse m dans chacun des ^>-rn f — -^'
espaces A'B, BC, CD, etc , et soit Ô la durée de l'écoulement d'une masse m à travers la section A.
Pendant cette durée chaque portion m viendra prendre la place qui était occupée par la suivante; T est la somme des travaux des résistances sur la première masse m seule, pendant qu'elle se transporte successivement de AB en BC, de BC en CD, etc., jasqu'en A'. C'est donc aussi le travail sur la masse totale nm comprise entre A et A' pendant un seul de ces déplacements, de durée 0, sauf une irrégularité correspondant aux positions extrêmes, et qui est négligeable en prenant n très grand.
Par suite la perte de charge — est le rapport du travail des résistances sur la masse totale contenue entre A et A pendant V écoulernoit d'une petite 7nasse m. au poids mg de cette masse.
Ce rapport ne dépend pas de m, car il est clair que T et m sont tous deux proportionnels à la durée de l'écoulement. On voit aussi que si la perte de charge est vp de A en A', et \|^' de A' en A", elle est vf -f 4^' de A en A".
La formule (1) exprime que V accroissement de — de A en A est
égal à la charge mmns la perte de charge.
Mouvement régidier. — Nous dirons que le mouvement est régulier sur une section d'un filet ou courant de dimensions finies, si en chacun de ses points la vitesse est perpendiculaire au plan de la section, et la courbure de la trajectoire négligeable, ou son raj^on très grand.
D'après la seconde propriété démontrée au numéro 127, la
pression varie dans toute la section suivant la loi hydrostatique, puisque la force centrifuge est négligeable. En outre les résistances sont directement opposées aux vitesses, ou perpendiculaires au plan de la section, sur lequel par suite leurs projections sont nulles. Ses pressions en ses divers points varient donc comme dans Tétat d'équilibre, quand la pesanteur est la seule force. Par conséquent, comme on l'a vu, Vordannée piézométrique est constante sur toute la section.
Extension de la loi de Bernouilli à un fUet ou courant de section finie. — Cette extension n'est possible que si le mouvement est régulier sur les sections normales extrêmes A, A' qui limitent la portion du courant considérée.
En ce cas nous nommerons encore h la charge de A sur A', c'est-à-dire celle d'un point quelconque de A sur un quelconque de A'; elle est indépendante de ce point, l'ordonnée piézométrique
étant constante sur chaque section.
La perte de charge vj/ signifiera également — , T étant la somme des travaux des résistances sur tout le liquide contenu entre A et. A' pendant Técoulement d'une petite masse m.
Désignons par 0 la durée de cet écoulement, puis partageons le courant en filets F infiniment minces, pour lesquels la masse écoulée dans le temps 0 soit a, a', jji", etc., de sorte que
wi = |i -f~ H''' + • • • = £|i •
Pour chaque filet la charge est la même fe, et la formule de Bernouilli étant démontrée pour un filet infiniment mince, il en résulte pour la perte de charge
Son produit par ^g est le travail des résistances sur l'ensemble du filet F pendant l'écoulement de la masse fx ou le temps Ô. En
rajoutant pour tous les filets on aura pour le travail sur l'ensemble du courant
Par suite
eu posant
T = hï,^g - E g^ V^g
Soient o), a/ pour un quelconque des filets F ses sections normaies extrêmes en A et A' ; on aura pour la masse écoulée
et les valeurs précédentes deviendront
Iw'û) ,„. Iv
a>, o' étant des éléments des sections A, A' du courant et v, t/ les vitesses en chacun d'eux.
On nomme vitesse moyenne sur une section celle qui en la supposant uniforme produirait le même écoulement ou le même débit. En la désignant par u on aurait de la sorte
En posant t; = z^ + (î, il en résulte 25 *> = o ; en outre
Le second terme étant nul, on voit que si les vitesses v sont peu différentes, ou î' , «î' négligeables, on pourra remplacer v par u dans Iv^tùy et en général dans toute somme de la forme 2t;"co. Il en résulte V = u\ et la même remarque s'applique à V*. En écrivant v, t/ au lieu de V, V dans la relation trouvée
elle devient
ou l'équation (1). Par conséquent, la fonmUe de BernouUli est applicable à un courant de section finie, pourvu que le mouvement soit régulier aux sections extrêmes^ et que sm chacune d^ elles les vitesses soient peu différentes^ en prenant pour Vj tf les vitesses moyennes.
On définit quelquefois la perte de charge comme étant le travail des résistances par unité de poids écoulée. En ce cas ce n'est pas un travail total ordinaire. Il faut admettre qu'il s'exerce toujours sur la masse occupant le même espace AA' et sans cesse renouvelée.
131. Effet d'nn élargissement du eonrant* Kffet d'an obfttaele. — Disposition du cou/rami. — Nous supposons qu'un tube cylindrique L s'ouvre brusquement suivant une section normale CC, débouchant dans un tube cylindrique L' de même axe et de rayon plus grand. Le courant permanent arrivant par le tube L est régulier en chaque section normale jusqu'à la section d'ouverture B, les vitesses étant parallèles à l'axe. On observe qu'il se dilate ensuite progressivement jusqu'à une section E où il occupe tout le tube L', et à partir d'une section A les vitesses sont devenues toutes parallèles à l'axe et le mouvement régulier. En L et A' on suppose les vitesses peu différentes entre elles. Dans les régions voisines de C, non traversées par le courant, le liquide n'a que des mouvements de remous avec de très faibles vitesses.
Nous aurons aussi à examiner le cas où le courant parcourt un
tnbe nniqae L, dans lequel est placé an disqne D infiniment mince, perpendiculaire à l'axe ; le mouvement est alors régulier à quelque distance, entre autres sur des sections B, A' employées aussi dans l'autre figure. Nous avons placé dans celle-ci le disque D , que nous supposons exister outre l'élargisseDjent, pour ne pas reconmxencer des calculs qui sont les mêmes dans les deux cas.
Emploi du principe du mouvement du centre de gravité. — Prenons pour l'axe OX celui du tube, son sens étant celui du courant. Soit M une portion de la masse liquide, et x, l'abscisse de son centre de gravité. On a
M ^ = SX ,
IX étant la somme des projections des seules forces extérieures à la masse, c'est-à-dire des pressions extérieures et de la pesanteur, mais non des résistances, le frottement des parois pouvant être négligé, vu leur peu d'étendue. Substituons Mic^ = inix, la somme s'étendant aux éléments m de masse ; le résultat pourra s'écrire
dS dx
^=IX, où S = Sm— .
. al at
JO
Valeur de ^-. La section normale B étant à l'ouverture du
at
tube L, la masse fluide située au delà était limitée un instant Q auparavant par une section A, très voisine de B, et pouvant être
légèrement courbe à cause de l'inégalité des vitesses.
Prenons pour la masse M celle qui au commencement du temps 6 était comprise entre A et la section normale A'. Au bout de cet instant elle le sera entre B et une section B' très voisine de A, et pouvant être légèrement courbe.
Désignons par S,, S,, S,, S^ des sommes 2w-^ étendues :
pour S, à la masse comprise entre A et B à la première époque ;
pour S, à lia masse entre A' et B' à la seconde ;
pour S, à la masse comprise entre B et A' à la première époque ;
pour S, à la masse entre B et A' à la seconde époque.
Ces deux dernières ne sont pas composées du même fluide, mais on peut les diviser de la même façon en éléments et les vitesses de chacun sont les mêmes; par suite 83 = 8^. Or pour la masse M tout entière, en désignant par S' ce que devient S à la seconde époque, on a évidemment
b = 0| -j- bg , b = bj -f- ^4 ï ^ — b = bj — bj .
Entre A et B la projection de la vitesse lui est égale, les vitesses ^tant parallèles à l'axe, et il en est de même entre A' et B'.
Par suite en partageant ces deux espaces en filets infiniment minces, fx étant la masse contenue dans l'un quelconque d'entre eux, on aura
^ et v' étant les vitesses correspondantes en B, A'. En supposant que 6/ converge vers 0 on a
ds S' — S S, — S
dt Q 6
îjx étant le même en B et A.
D'ailleurs comme on l'a vu au numéro précédent, en négligeant le carré des inégalités de vitesses sur les sections B et A', on peut dans l'expression ci-dessus prendre pour v et v' les vitesses moyennes, d'où
dS Sa
^' étant la vitesse moyenne en A', si l'on désigne par a l'aire de <;ette section, on aura pour la masse écoulée
d'ailleurs nous avons trouvé -^ = 2X, d'où
at [3) pav'(v' — v) = ÏX ;
V et v' sont les mêmes que les vitesses moyennes employées plusloin dans la formule (1).
Dans l'évaluation de ix qui nous reste à faire, nous pouvonsadmettre que la section A coïncide avec B, à l'entrée du tube L, et que A' tombe sur B'.
Projections des pressions extérieures, — Suivant les parois C perpendiculaires à l'axe le liquide est presque immobile avec de faibles remous ; ces mouvements sont en outre symétriques tout autour du courant. On peut donc admettre que la pression y varie suivant la loi hydrostatique. Il en est de même pour la section A perpendiculaire aux vitesses, et sur laquelle le mouvement est régulier. Comme A est à l'ouverture, ou dans le plan des parois C, la pression totale pour ces deux portions réunies peut s'évaluer, comme on l'a vu au numéro 124, en la supposant partout la même qu'au point A, centre de la section ; la pression est donc pa^ p correspondant au centre A, et a étant la section du grand cylindre. Sa projection est aussi pa.
Pour la pression sur la section A', la projection sur l'axe OX est de même — p'a^ p' correspondant au point A' centre de la section.
Pour la paroi convexe du grand cylindre, la pression est perpendiculaire à l'axe et sa projection nulle.
Pour le disque sa pression du côté de A est plus forte que sa contrepression du côté de A' ; nous désignerons par Q l'excès de la première sur la seconde, et nous l'appellerons simplement la pression. Sa projection sur OX est — Q.
On a ainsi en tout pour les projections des pressions
Projection du poids. — On suppose A iufiniment près de l'ouverture ; par suite en désignant AA' par l, le volume de la masse «st Za, son poids luf^j et sa projection sur l'axe lapg cos i, i étant l'angle aigu ou obtus que fait OX avec la verticale inférieure ; mais l cos i projection de AA' sur cette verticale est la différence -de niveau / — ^ de A et A. La projection du poids est donc pga(^ — a).
En substituant les diverses parties de ix dans la formule (3) €lle devient
pv'a(v — v) = (p - p)a — Q + pga{z' — z) .
- Valeurs de la charge et de la perte de charge. — En divisant l'égalité précédente par pga, on trouve
9 p^a \ 9p/ \ gp
Le second membre est la différence des ordonnées piézométriciues de A et A, ou la charge A de A sur A; on a donc
pga 9
En substituant cette valeur dans la relation (1) du numéro précédent, ou
on trouve .
. ^ 0 v\o — v') , v« — t;'« __ Q {V — y y * ~ p^ y " "^g ^ "^ ig
Distinguons le cas où il y a un élargissement du courant sans disque, de sorte que Q = o, et celui où il n'y a que le disque sans élargissement ; il n'existe alors qu'un tube et v' = v; on aura ainsi
tû Pour 1 élargissement seul, h = ^^ , tb = — ;r — - ^
2o Pour le disque seul, h = à = — .
On peut remarquer que pour l'élargissement h est négatif, tr étant plus grand que v ; en outre
^ mg 2 ^ '
T est le travail des résistances passives sur la masse m et équivaut par suite à une demi-force vive perdue ; elle est égale à la demi-force vive due à la vitesse perdue v — v\ conformément au principe énoncé à la fin du numéro 107 pour le cas d'une percussion à contact persistant.
132. Éeonlement par un orlliee. Térllieattoit expérimentale des formules du numéro précédent»
— Écoulement par un orifice en mince paroi. — On nomme- ainsi ceux où le liquide sort librement sans ajutage. Nous supposons qu'il s'écoule d'un réservoir dont le 'niveau N est entretenu constant. Alors, 0 étant l'orifice, on observe que les vitesses n'y sont pas parallèles entre elles ; elles le deviennent un peu plus loin dans une section H, nommée section contractée, et cette forme du mouvement est la contraction de la veine fluide. On peut mesurer directement l'aire de la section H en l'entourant d'un cadre garni de pointes fine?, qu'on enfonce de façon à rétrécir l'espace intermédiaire. De plus, w étant la section d'un courant régulier, v sa vitesse moyenne, vcn est le volume liquide écoulé par seconde, ou le débit, aisé à mesurer. On connaît ainsi exactement la vitesse de toute veine fluide. Pour appliquer Inéquation (1) du numéro 130, ou
nous prendrons pour seconde section A' [la section contractée, afin que les vitesses soient parallèles, où le mouvement régulier. La première section sera la surface horizontale du niveau N^ supposée d'une grande étendue ; il importe peu qu'on y considère les vitesses comme parallèles, car elles sont tout à fait insensibles. Si l'on négligeait vL, on aurait donc
De la sorte si le niveau N et le réservoir étaient tous deux à la même pression atmosphérique, la charge h se réduirait à / — z ou à leur différence de niveau, et la vitesse de sortie v' serait la vitesse acquise par un corps tombant dans le vide à partir du niveau. C'est ce qu'on nomme le principe de Torricelli. Mais il n'en est pas tout à fait ainsi ; on a évalué v' d'après l'expérience à 0,97 i^^gh ou 0,98 v^2^, et nous prendrons pQur sa valeur la moyenne
Les expériences ont été faites dans toutes sortes de conditions, avec des pressions atmosphériques égales ou inégales sur la veine et le réservoir.
La section contractée de la veine, pour un orifice ne s'écartant
pas trop de la forme circulaire, est environ 0,625 ou '— de celle
de l'orifice ; c'est ce qu'on nomme le coefficient de contraction. Sa distance à l'orifice, quand il est circulaire, est environ la moitié du rayon.
Il résulte de ce qui précède que la perte de charge est très faible quand elle provient de l'écoulement par un orifice en mince paroi, et par suite en général d'un rétrécissement du courant.
Écoulement par tm ajtdage cylindrique. — Cet ajutage est un cylindre de révolution, ou tube L, ouvert aux deux extrémités suivant
les sections normales 0, A' ; la première le fait communiquer à on réservoir où le liquide est entretenu à un niveau constant N ; sa sortie à l'air libre ne s'effectue ainsi qu'à la section A\ Après le passage par l'orifice 0 la veine se contracte en une section A, et se dilate pour occuper toute la largeur du tube ; son mouvement devient ensuite régulier, et nous le supposons tel en A' ; il se conserve au delà et la veine ne se contracte plus. Le liquide situé près des points C autour du courant n'a que de faibles vitesses.
Désignons par A, A' les centres des deux sections ; par v, t/ les vitesses moyennes ; par h la charge du niveau N sur le point A ; par h' celle de A sur A' ; par H celle du niveau N sur A ; on aura
comme on l'a vu au numéro 1 30 ; d'ailleurs H est une quantité donnée.
Nous avons trouvé «/ = 0,975 ^f-igh pour la vitesse sur la section contractée quand l'orifice est en mince paroi, h étant la charge du niveau N sur cette section ; cette formule est applicable au cas actuel, h étant déjà la charge de N sur la section contractée A ; mais la vitesse est désignée par v au lieu de ^ ; il en résuite.
D'autre part, le mouvement du liquide de A en A' est le même que s'il sortait d'un tube de section A pour se dilater dans un plus grand. Les sections A, A' sont disposées comme au numéro précédent, et le mouvement est régulier sur chacune ; les relations (4^ sont donc applicables et donnent
V et v' correspondant à A, A' ; mais la charge est actuellement désignée par h' au lieu de A, d'où
comme on a 2gE = 2gh -f 2gh\ les valeurs précédentes donnent
En outre, nous savons que Taire, de la section contractée est les -^ de celle de l'orifice 0 ou de la section A' ; les vitesses étant en
raison inverse des sections, on a t; == -^ v\ et en substituant cette
valeur dans l'équation précédente, on trouve
2flfH = 2,6930 v'« ^ v'* = 1,4930v'«,
d'où Ton tire
Or il résulte de l'observation qu'on a constamment ^ =0,82 \^igH\ la valeur calculée est donc complètement exacte, ce qui sert de vérification aux formules concernant l'élargissement des courants. D'autres expériences concourent au même résultat ; il en a été fait sur des courants contenant une série de rétrécissements et de dilatations ; mais une autre circonstance est à remarquer dans le cas de l'ajutage cylindrique. La charge h' de A sur A' a une
valeur négative — — -, où ^ > t/ ; d'ailleurs d'après les for-
nmles (2) du numéro 130
or A et A' étant très rapprochés, z' — ^ est très petit et d'ailleurs en général positif; par suite p <ip' \ les valeurs de v, if^p' étant connues on peut en déduire celles de h' et p ; celle-ci est souvent très faible ; c'est la pression dans la section A^ ou au ^;^ point C ; on a pu la mesurer directement en adaptant c
au cylindre au point G un tube mince en forme de .
siphon qui va plonger dans un vase plein d'eau ; la ^^^^^^^
faiblesse de la pression en C produit une aspiration par suite de laquelle Teau monte dans le tube, souvent à une grande hauteur ; celle-ci permet de mesurer la pression p, qui a été trouvée conforme à sa valeur calculée, sans erreur sensible.
