LA B L

En effet, supposons d'abord le solide réduit à une tige rigide AB en repos. Il n'y a aucune raison pour que les points A, B s'écartent de la droite LL' d'un côté plutôt que de l'autre.

Si les forces f f étaient inégales, il est clair qu'elles ne se détruiraient pas; mais si elles sont égales, il n'y a point de raison pour que les points A et B se déplacent sur LL' dans un sens plutôt que dans l'autre.

Quel que soit le solide auquel sont appliquées les forces f\ f\ on peut imaginer une tige telle que la précédente qui en fasse partie. Puisqu'en étant isolée elle reste en repos, sa liaison avec le reste du solide ne peut avoir pour effet de mettre celui-ci en mouvement. Les forces /*, f se font donc encore équilibre.

Tension d^un fil. — Si A est un point quelconque d'un fil tendu,

on peut regarder chacune des portions

AL, AL' comme exerçant sur Tautre une ^ ^ s ^ force appliquée à ce point.

Or, le caractère de la flexibilité supposée parfaite est tel, que toute force appliquée à une de ces portions, sans être dirigée suivant la longueur du fil, produirait la flexion ; puisqu'elle n'a pas

lieu, nous devons supposer chacune des deux forces placées sur la droite LL'.

Si B est un autre point du fil, tout ce que nous avons dit ci-dessus d'une tige est applicable à la portion AB du fil, aux deux extrémités de laquelle les portions AL, BL' exercent des forces suivant la direction LL'; elles doivent, comme on Ta vu, être égales et de sens contraire pour que AB reste en équilibre. Si B est infiniment près de A ou que ces points coïncident, l'égalité subsiste.

Cela nous indique la loi suivie par cette force nommée la tension du fil. En un point A elle est exercée avec une même intensité en sens contraire par la portion AL sur AL' et par AL' sur AL ; de plus, elle est la même en B, ou constante le long d'un fil tendu. Il est clair que si le fil est fixé en un point d'un solide, sa tension devient une force appliquée à ce point.

Système théorique. — Bien que dans ce chapitre nous nous occupions principalement de l'équilibre d'urf seul solide, nous commencerons par une proposition fondamentale concernant l'équilibre d'un système, c'est-à-dire d'un ensemble de solides, en admettant que leurs mouvements puissent être gênés par leurs contacts, soit entre eux, soit avec des appuis extérieurs fixes. C'est là ce que nous nommerons un système théorique.

Tel est le cas de la plupart des machines quand les corps dont elles se composent peuvent être regardés comme indéformables ; ce sont des solides liés entre eux par des tiges articulées, des engrenages ou d'autres modes de transmission du mouvement.

Les appuis et les contacts se nomment les liaisons du système. Ce sont des obstacles au mouvement, mais ils ne doivent point être regardés comme des forces, ni confondus avec celles qui sont directement appliquées aux corps du système et dont nous cherchons les conditions d'équilibre.

Frottement. — On nomme ainsi une force qui, dans les corps natu-

relSj s'oppose au glissement de deux surfaces Tune sur l'autre, dans quelque sens qu'il se produise. Une roue frotte de même sur son axe, de ^^ sorte que si celui-ci est fixe, deux forces agissant tangentiellement suivant AF, A'F se font équilibre, non seulement si elles sont égales, mais aussi quand leur différence n'est pas trop grande.

Nous examinerons, dans le chapitre suivant, ce cas où, par suite du frottement, les conditions d'équilibre sont des inégalités et non des équations. Mais comme le frottement peut être atténué soit par le poli des surfaces, soit par d'autres moyens, on peut concevoir des surfaces réalisant le cas idéal où le frottement serait entièrement supprimé.

Nous admettrons, dans tout ce chapitre, qu'il en est ainsi. Fréquemment, c'est le cas réel; par exemple, dans l'équilibre de forces agissant sur un solide libre ou sur une particule isolée, le frottement ne joue aucun rôle. En outre, dans le cas général, les principes trouvés, en admettant cette hypothèse, serviront plus tard de base rationnelle pour obtenir les conditions d'équilibre sans négliger le frottement.

De la sorte, la roue considérée ci-dessus ne sera en équilibre que si les forces sont égales. De même si AHA'

est un fil tendu, traversant en H un anneau * /\ *.

infiniment petit sur lequel il glisse sans frotte- y / \^r ment, deux forces qui lui sont appliquées suivant ses prolongements AF, AT' doivent être égales pour l'équilibre. Cela revient à dire qu'à l'état de repos la tension du fil est la même des deux côtés de l'anneau.

Axwme. — Si une force unique est appliquée à un système théorique, et s'il peut se mouvoir de façon que le point cVapjdication de la force se déplace suivant sa direction, le système ne restera pas en équilibre. — Ce principe, quand on néglige le frottement, est assez

évident pour qu'on l'emploie constamment sans le formuler, comme nous venons de le faire.

Par exemple, si une roue peut tourner autour d'un axe fixe et qu'une seule force lui soit appliquée tangentiellement, elle tourne ; l'évidence est la même toutes les fois que le système se réduit à un solide.

Dans les raisonnements élémentaires où l'on considère l'équilibre d'une machine simple, on suppose communément l'action d'une puissance et d'une résistance et l'on cherche leur rapport dans l'état d'équilibre, mais on admet toujours implicitement que si la puissance agissait seule la machine se mettrait en mouvement et, en général, aucune machine ne peut rester en équilibre si elle n'éprouve pas de résistance et qu'en même temps la descente d'un poids ou tout autre moteur tende à la déplacer.

Voici une exception apparente à l'axiome ci-dessus : Considérons une roue verticale pouvant tourner autour d'un axe fixe ; un poids p est suspendu à un fil passant dans un anneau fixe A placé sur la verticale du centre 0 ; le fil est attaché en un point de la circonférence de la roue. Si ce point est le plus élevé B, il y a évidemment équilibre et cependant, en regardant le poids p comme le point d'application de la force, ce poids descendrait, c'est-à-dire se déplacerait suivant la force si la roue tournait.

Mais il faut remarquer que si elle tourne très peu, B venant en C, la hauteur dont descend le poids ou le point d'application de la force est la différence des distances AB, AC, laquelle est moindre que la projection BD de BC sur AB. Or, si l'espace BC est regardé comme infiniment petit, BD est infiniment petit par rapport à BC ou infiniment petit du second ordre ; aussi peut-on dire dans ce cas que le poids ne descend pas. Le même fait se présente sous des formes analogues dans les positions d'équilibre instable des corps pesants.

8. Prineipe des vitesses virtuelles. — Voici Ténoncé de ce principe :

Pour que des forces appliquées à un système théoriqtie en repos se fassent équilibre il fatU^ et il suffit, que pour tout déplacement infiniment petit du système, compatible avec ses liaisons ou avec les obstacles à son mouvement^ la somme des travaux des forces soit mille ou négative.

Quant à cette somme, il faut remarquer qu'elle est infiniment petite, mais nous verrons que dans chaque cas elle se trouve le produit d'un facteur commun infiniment petit par une expression finie, de sorte qu'on peut discerner sans ambiguïté si elle est positive, négative ou nulle.

On peut, dans la démonstration, supposer que les forces ont une commune mesure, du reste aussi petite qu'on voudra, car le résultat s'étendra alors évidemment au cas où elles seraient incommensurables entre elles.

Soient f f, f\ etc., les forces appliquées aux points A, A', A", etc., du système suivant AO, A'O', etc.; les points fixes 0, 0', etc., sont choisis à volonté sur leurs directions. Soit aussi p \^ ' moitié de la commune mesure, de sorte qu'en désignant par n, n', etc., des nombres entiers, on ait

f = inp, f = ân>, f = âfi>, etc.

Voici la forme que nous attribuerons à l'action des forces : Plaçons une rangée de n anneaux sur une même cha2)ej lame solide à laquelle les anneaux sont fixés; cette chape elle-même sera liée invariablement au point mobile A du système.

Fixons au point 0 une autre chape portant n -\-\ anneaux. Imaginons en outre qu'un fil infiniment fin, parfaitement flexible

et inextensible, venant suivant une direction quelconque QO. traverse le premier anneau en 0, aille de là au premier en A, puis au second en 0, au second en A et ainsi de suite alternativement ; après le dernier en A il traversera le dernier en 0, de rang w -j- 1 et s'éloignera suivant OQ' après avoir ainsi circulé 2/^ fois entre Aet 0.

Nous supposerons de même une chape de n' anneaux fixée en A', une de 7î' -|- 1 anneaux en 0' et un fil venant suivant Q'O', circulant 2n' fois entre A' et 0', puis s'éloignant suivant O'Q'' et ainsi de suite pour 0", etc.

Nous admettrons en outre qu'un même fil effectue tous ces trajets, en passant successivement en 0, 0', 0", etc., après quoi il va s'attacher en un point fixe I. A l'autre extrémité il lui est appliqué une force p, figurée par un poids. Des anneaux fixes Q, Q', etc., servent à modifier convenablement sa direction.

Les chapes 0, 0', etc., sont fixes et tant que le système est maintenu en repos, le fil, comme on l'a vu au numéro précédent, a d'une extrémité à l'autre une même tension p.

Supposons maintenant les chapes infiniment petites, de même que les anneaux et ceux-ci infiniment rapprochés sur chacune d'elles. Les tensions des 2n cordons circulant entre A et 0 deviendront 2;? forces 2^ appliquées en A suivant AO, c'est-à-dire une seule force 2np ou f; la force /"primitive peut donc être remplacée par cette force égale qu'exerce le fil en A et celui-ci remplacera de même f en A\ f" en A", etc.

Pour que les forces /*, f, f", etc., se fassent équilibre, il faut, et il suffit donc que le système reste en repos quand il n'existe pas d'autre force que la tension du fil. Celle-ci est d'ailleurs due à une force unique, savoir la pesanteur agissant sur le poids jr;. De là résultent les deux conséquences suivantes :

1^ D'après l'axiome du numéro précédent, le système ne sera pas en équilibre s'il est susceptible dun déplacement entraînant la

descente du poids, car le point d'application de la force unique se mouvrait ainsi sur sa direction.

2^ n est d'ailleurs évident que le système ne peut prendre de lui-même un mouvement entraînant la montée du poids.

Nous devons donc chercher dans quelles circonstances un déplacement purement hypothétique ferait descendre ou monter le poids.

Supposons pour cela que le point A vienne en B, le déplacement AB étant infiniment petit. La tension du fil ne peut varier que d'une manière continue et, par suite, ne deviendra pas brusquement nulle ; le fil restera donc tendu et les cordons entre 0 et A prendront la longueur OB ; puisqu'ils sont en nombre 2n, leur diminution totale sera 2n (OA — OB), longueur du fil qui se dégagera de l'appareil en 0 ; ce sera, si elle est négative, une longueur absorbée. On peut l'écrire

-lnp{0\ — OR) P

or, 2np = f; de plus, au numéro 6, en employant les mêmes lettres, nous avons vu que f{OA — OB) exprimait le travail T de la

T force /'pour le déplacement AB; le fil dégagé sera donc . Il

s'agit ici du travail de la force f telle qu'elle agissait avant le déplacement, et il est indifférent qu'après celui-ci le fil ne l'exerce plus de la même manière. Le déplacement, s'il y a équilibre, est d'ailleurs virtuel^ c'est-à-dire hypothétique et ne se produit pas.

La longueur de fil dégagée sera de même , - , etc., aux

points 0', 0", etc., en désignant par T', T", etc., les travaux des forces f^ f\ etc. Soit aussi S la somme des travaux, de sorte que

S = T 4-r +r 4-etc,;

la totalité du fil dégagé sera

H felo. = ;

c'est aussi ce dont le poids descendra, puisque les longueurs QO, ^Q'j Q'O', etc., n'ont pas changé. Si S est négatif ou le fil absorbé, S/p mesure de même la montée du poids.

Les deux principes énoncés ci-dessus prennent ainsi la forme suivante :

P Le système n'est pas en équilibre s'il est susceptible d'un déplacement pour lequel S ou le travail total des forces soit positif, le poids pouvant alors descendre.

2^ n ne peut prendre de lui-même un mouvement pour lequel S serait négatif, puisque le poids monterait.

Le premier de ces énoncés montre que la condition indiquée dans le principe des vitesses virtuelles est nécessaire pour l'équilibre.

Nous devons maintenant supposer cette condition satisfaite, de sorte que S soit nul ou négatif pour tout déplacement et vérifier que l'équilibre existe ou que tout mouvement est impossible.

En effet, s'il s'en produisait un, soit CD l'espace infiniment petit parcouru dans un premier instant par un point C qui peut différer de A, A', A", etc. Imaginons qu'outre les forces /*, /"', etc.,

on en fasse agir une 9 sur le point C suivant CL, en sens opposé à CD. Le mouvement sera modifié, mais en prenant ç très faible, il le sera aussi peu qu'on voudra, de sorte que le nouveau déplacement CD' du point C, effectué dans le même instant, fera un angle aigu avec l'ancien CD et un angle obtus avec la force cp, dont le travail sera par suite négatif. La somme S des travaux de ff f^ f'y 6tCj sera nulle ou négative pour ce nouveau déplacement, puisqu'elle l'est pour tous par hjrpothèse ; elle serait donc non pas nulle, mais négative, si l'on comprenait 9 parmi les forces. Ainsi le système aurait pris de lui-même un mouvement pour lequel la somme des travaux de toutes les forces serait négative, ce qu'on a vu être impossible.

La démonstration est ainsi complétée. Nous verrons plus tard

pourquoi on emploie le terme de nitesses nirUMes au lieu de travaux virttids. Le mot de virtuel, comme nous l'avons dit, signifie hypothétique; il s'applique à un déplacement géométriquement possible, abstraction faite de toute cause capable de le produire.

9. Seconde forme du principe des Titesses Tirtuelles. Transformation des forces appliquées à un solide. — Dans tout déplacement infiniment petit d'un système, le chemin décrit par chacun des points d'application des forces peut être considéré comme rectiligne; nous dirons qu'un autre déplacement de ces points est opposé au premier si le chemin décrit est pour chacun le même en sens directement contraire. Nous avons vu au numéro 6 que le travail de la force pour deux déplacements opposés d'un point est le même en signe contraire.

Par conséquent, si les liaisons du système permettent' deux déplacements opposés des points d^appUcation A, A', etc., des forces, la samme S des travaux des forces correspondant à ceux-là doit être nulle pour Véquilibre, En effet, si elle était négative pour l'un d'eux, elle serait positive pour l'autre ou incompatible avec l'équilibre.

Plus généralement nous nommerons opposée deux déplacements du système, si pour chacun de ses points, et non plus seulement pour ceux auxquels les forces sont appliquées, les chemins décrits sont opposés.

Nous nommerons normal un déplacement du système, quand son opposé est également possible ou compatible avec les liaisons. Si cela n'a pas lieu, le déplacement sera dit anormal.

Le système lui-même sera appelé normal si tous les déplacements dont il est susceptible jouissent de la propriété précédente ou sont normaux.

Pour un système normal, le principe des vitesses virtuelles prend la forme suivante :

Il faut et il suffit pour Véquilibre que, pour tous les déplace-

ments infiniment petits du systhne compatibles avec ses liaisons^ la somme des travaux des forces soit nulle.

En effet, pour tout déplacement des points d'application des forces, l'opposé est également possible.

De la sorte, pourvu que le système soit normal, les conditions d'équilibre deviennent des égalités et non des inégalités, ce qui est avantageux pour les applications.

Équivaleme des systèmes de forces appliqués à un solide, — Un système signifie ici un ensemble quelconque de forces. Quant au solide, nous supposons qu'il puisse être gêné dans son mouvement d'une manière quelconque pouvant former ou non un système normal.

L'effet des forces qui agissent sur un ensemble de solides ne présente en statique que deux alternatives, savoir : l'équilibre ou le mouvement, et toute question de statique se réduit à chercher laquelle des deux se produit.

Or, soit que le système des solides soit normal ou non, les conditions d'équilibre et, par suite, l'effet des forces défini comme nous venons de le faire, ne dépendent que de la somme de leurs travaux pour les divers déplacements. Cet effet restera donc le même si nous remplaçons plusieurs des forces formant un système U par un autre V tel que, pour tous les déplacements possibles, la somme des travaux des forces V soit la même que pour les forces U. Toutefois nous n'aurons à employer cette substitution que pour les forces agissant sur un même solide.

Si, au lieu d'un ensemble de solides on n'en considère qu'un seul gêné dans son mouvement d'une façon quelconque, nous dirons que deux systèmes de forces U,V sont équivalents relativement à ce mode de liaison, si pour tous les déplacements qu'elles permettent, la somme des travaux des forces est la même pour U et pour V. Alors, les liaisons restant les mêmes, l'eftet des forces ne changera pas en substituant V à U.

Nous dirons que deux systèmes U, V appliqués à un même solide

sont équwalents (Tune manière absolue ou simplement qu'ils sont équivalents si la somme de leurs travaux est la même pour tout déplacement du solide supposé libre. Elle sera alors aussi la même pour tous les déplacements du solide s'il y a des liaisons, ceux-là étant compris parmi ceux du solide libre. De la sorte U, V auront aussi l'équivalence relative.

En outre, V effet des forces sur un ensemble de solides ne sera pas changé en remplaçant les forces U appliquées à Vun d^eux par les forces F.

n est clair que si U est équivalent à V et V à un autre système T, U l'est aussi à T. L'opération par laquelle on remplace un système par un autre équivalent se nomme la transformation des forces. C'est en la répétant plusieurs fois qu'on arrive, en général, à simplifier les conditions d'équilibre.

Cas où un système Q est équivalent à une force nulle. C'est évidemment celui où, pour tout déplacement, la somme des travaux des forces est nulle. Soit que l'équivalence soit relative ou absolue, il est alors indifférent de joindre aux forces qui agissent sur le solide le système Q, et aussi de le supprimer, c'est-à-dire V effet (Vun système quelconque Test le même que cehti de T et Q réunis.

H faut remarquer que les forces Q agissant seules sont en équilibre, mais la réciproque n'est pas exacte, c'est-à-dire, si un système Q agissant seul sur un solide est en équilibre, l'effet de T et Q réunis n'est pas toujours t^ le même que celui de T seul. Soit, par exemple, — ^i2pi M un solide posé sur un plan horizontal ; en faisant abstraction de la pesanteur, prenons pour Q une force verticale dirigée vers le bas et appliquée en un point quelconque A, tandis que T sera une force verticale plus faible dirigée vers le haut et appliquée au même point. Dans tout déplacement, le point A ne peut descendre; le travail de Q est par suite nul ou négatif et la force Q agissant seule est en équilibre, n en est de même de Q et T réunies, qui se réduisent à une

force Q-T dirigée vers le bas. Mais le travail de T est positif si le point A monte et, par suite, l'effet de T seul est le mouvement.

Cas particulier. Nous avons vu, au numéro 7, que deux forces égales /*, f sont en équilibre quand elles sont appliquées à deux

points A, B d'un solide suivant B ' les prolongements AL, BL' de

*^-^, ^^"^ ^„ ^ la droite AB. La méthode employée pour le vérifier était ce qu'on nomme la raison cPindifférence, Mais il est aisé de le démontrer directement.

Supposons que dans un déplacement. A, B viennent en A', B', ayant A'^, B" pour projections sur LL'. Leur distance n'étant pas changée, on a A'B' = AB. En outre, d'après le numéro 2, A'B, faisant avec sa projection A" B" un angle infiniment petit, on a, en négligeant le second ordre de petitesse, A"B" = A'B' = AB' d'où AA" = BB". Par conséquent, les projections des déplacements AA', BB' sur les directions des forces /*, f sont égales, Tune tombant dans le sens de la force, l'autre dans le sens opposé. Les travaux sont donc égaux et de signe contraire; leur somme étant nulle, le système de f, f est équivalent à une force nulle. Soit f une force égale à /* ou f , agissant sur B suivant BA ; le système des deux forces directement opposées f, f" est aussi équivalent à une force nulle. Par conséquent, la force f seule est équivalente à f, fj f réunies, et en supprimant fet f elle l'est aussi à f". De là résulte qu'on ne change pas r effet de la force f en déplaçant son point d'application A sur sa direction^ ou le transportant en B. Cette équivalence de f et f est exacte pour un solide libre, et par suite absolue.

10. Équilibre et transformation des forées appliquées à un même point. — Dès à présent, nous supposerons toute force représentée par une droite ayant sa direction, son

sens et en outre, lui étant égale, ou ayant autant d'unités de longueur que la force a d'unités de force.

La projection de la force sur une droite ou un plan signifiera celle de la droite.

La résultante de plusieurs forces appliquées au même point sera celle des droites correspondantes, en la considérant elle-même comme une force.

La démonstration du principe des vitesses virtuelles n'exclut point le cas où plusieurs forces seraient appliquées à un même point A. Si f est l'une d'elles, figurée par AF, son travail ^ quand le point A décrit AB est /" X AB cos FAB, ou le g^ produit de l'espace AB par la projection de la force sur cet espace. Si plusieurs forces sont appliquées en A, la projection de leur résultante est, d'après le théorème H, la somme de celle des composantes. En multipliant cette égalité par AB on voit que le travail de la résultante est la somme de ceux des composantes,

D en est ainsi pour tout déplacement du point ; par conséquent tout système de forces appliquées à un même point est équivalent d\me manière absolue à leur réstdtante seule.

Si les forces appliquées en A sont les seules qui agissent, la condition d'équilibre revient à ce que le travail de la résultante soit négatif ou nul.

Le cas principal est celui où le point peut se déplacer en tous sens, comme cela a lieu s'il appartient à un solide libre. L'opposé de chaque déplacement du point A étant alors possible, le travail de la résultante doit être nul pour chacun ; pour cela sa projection sur une direction quelconque doit être nulle, et par suite la résultante doit l'être elle-même.

Parmi les autres cas, bornons-nous à mentionner ceux où le point A est contraint à rester sur une surface ou une courbe donnée, sur laquelle il peut se déplacer librement. Nous admettons que la surface ne présente pas en A d'angle ou d'arête, de sorte

qu'elle a on plan tangent déterminé^ contenant les tangentes à tontes les courbes tracées sur elle. L'opposé de chaque déplacement du point A étant possible, il faut pour l'équilibre que le travail de la résultante des forces soit nul pour chacun, et par suite qu'elle ait sur chacun une projection nulle ou lui soit perpendiculaire.

Si le point reste sur une surface la résultante est perpendieu* laire à toute droite tangente à la surface ; elle est donc normale ou perpendiculaire au plan tangent.

Si le point reste sur une courbe, la résultante doit aussi lui être normale ou perpendiculaire à sa tangente.

Transformation des forces appliquées à un même point. — Cette question se réduit à la recherche de la résultante^ et on la trouve comme celle des droites qui représentent les forces, soit en traçant une suite de parallélogrammes, soit par le oalcuL Ce calcul consiste dans le cas général, comme on l'a vu précédemment, à ajouter les projections des forces sur trois axes; en désignant leurs sommes par X, Y, Z, ce sont les projections de la résultante. Soient r celle-ci, et a, /3, y, ses angles avec les axes ; on aura

^ = l/X* + Y* + Z* , cos a = , cos j3 = , cos y = -^

S'il n'y a que deux farces p = OA, q = OB, leur résultante étant r = OM, les trois forces sont les côtés du triangle OAM, et en remarquant qu'on a

OMA = BOM, OAM = îr — AOB,

il en résulte

De la sorte les trois forces p, g, r sont proportionnelles chacune au sinus de Tangle des deux autres.

Si l'angle AOB est droit, en désignant par i l'angle AOM, les relations se réduisent évidemment à

p = r cos f, g = r sin t,

ou à leurs réciproques

r = i/p* + q\ taDgi= J

11. Équilibre et tramiformatioii des forées appliquées A un solide ne pouvant que glisser le long d'un axe fixe sans tourner, ou que tourner autour de lui sans glisser. — Dans les deux cas, le solide pouvant indijfféremment glisser ou tourner dans un sens ou dans l'autre, il est clair qu'à tout déplacement en correspond un opposé également possible. Le système est donc normal, et pour l'équilibre la somme àes travaux des forces doit être nulle.

Premier cas. — Si le solide ne peut que glisser, il est clair que dans tout déplacement ses points décrivent dans le même sens des droites égales «, parallèles à l'axe. Le travail d'une force est le produit de a par la projection de la force sur le chemin parcouru ou sur l'axe. En supprimant le facteur commun a, on trouve ainsi pour la condition nécessaire et suffisante d'équilibre que la somme des projections des forces sur Taxe soit nidle, en attribuant à celuici un sens déterminé.

En outre, deux systèmes de forces sont relativement équivalents si la somme des projections des forces sur l'axe est la même pour chacun, car celle de leurs travaux le sera aussi.

Second ca$, — Le solide ne \peut que tourner sans i glisser atriûur d'un axe fixe OL.

Supposons choisi un sens fde rotation considéré comme direct. Si le 'corps tourne dans ce sens, le point d^application A de la force f décrit dans un plan perpendiculaire à l'axe un petit arc de cercle ayant ^ pour rayon sa distance AC à l'axe et pour centre C; cet arc a pour longueur rô, r étant son rayon AC, et 6 l'angle dont il a tourné ; le travail est ainsi rOfcos i, i étant l'angle de la force et de la tangente AT à l'arc, menée dans le sens de la rotation directe.

Le produit rf cos i se nomme le ^irmnent de la force f par rapport à Taxe ; le travail est donc le produit de ce moment par l'angle de rotation : cet angle est d'ailleurs évidemment le même pour tous les points. Par conséquent, la somme des travaux des forces est le produit de V angle de rotation infinhnent petit par la somme de leurs moments relatifs à Vaxe; il en serait de même si la rotation avait lieu en sens contraire, en considérant alors Tangle comme négatif, car les moments sont définis par ce qui précède, et on y suppose toujours que cos i correspond au sens AT de la rotation directe.

Nous voyons déjà que deux systèmes de forces sont relativement équivalents si la somms de leurs moments par rapport à Vaxe est la même, puisque celle de leurs travaux Test aussi.

En outre, il faut et il suffit pour V équilibre que la somme des moments des forces par rappoH à Vaxe soit nulle.

L'emploi des règles précédentes exige la connaissance de quelques propriétés des moments, qui d'ailleurs se définissent d'ordinaire sous une forme difi^érente. Il faut remarquer que la droite AT est dans un plan perpendiculaire à l'axe qui le coupe en C, et qu'elle est en outre perpendiculaire à AC ; elle l'est donc aussi au plan OCA.

Première propriété des moments : Four qus le moment dhme force par rapport à un axe soit nul sans que la force le soit, il faut et il suffit qu'ells se trouve avec Vaxe dans un même plan.

En effet, si r = o, le point A est sur l'axe et la force le coupe ; en même temps, le moment r/'cos i est nul.

Si r n'est pas nul, il faut et il suffit pour que le moment le soit qu'on ait /' cos t = o, ou que la projection de la force sur AT soit nulle, ou que la force soit perpendiculaire à AT, c'est-à-dire placée dans le plan OCA où se trouve aussi l'axe.

Seconde propriété : Si plusieurs forces sont appliquées au point A le moment de leur résultante est la somme de ceux des composantes.

En effet, le moment rf cos i est le produit de r par la projection de la force sur AT ; si /* est résultante de ç, <p', <p", etc., on a, en les projetant sur AT,

proj. f = proj. fp -|- proj. 9' + etc. et en multipliant cette égalité par r,

mom. f = mom. rp + mom. rp' + etc.

Définition usuelle du moment — Le moment d'une force par rapport à un axe, abstraction faite du signe^ est le produit de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à Vaxe par son bras de levier^ en nommant ainsi la distance de cette projection à Vaxe. Le moment est pris avec le signe -{-ou — suivant que la force tend à faire tourner autour de Vaxe dans le sens direct ou rétrograde.

Il est clair, en effet, que la force tend ou non à faire tourner dans le sens direct suivant qu'elle fait avec AT un angle i aigu ou obtus, et qu'en même temps le moment rf cos i est positif ou négatif. Il ne reste donc à vérifier que l'exactitude de la mesure précédente en faisant abstraction du signe.

On nomme moment d'une force par rapport à un point le produit de la force par sa distance au point et celle-ci est son bras de levier.

Supposons maintenant qu'une force AF appliquée en A soit comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe, lequel le coupe en C. Prenons ce plan pour celui de la figure, et menons CD perpendiculaire à AF. Le moment, pris positif, est rf cos i, i étant l'angle de AF avec AT, perpendiculaire à AC, et menée d'un côté tel que l'angle i soit aigu.

L'angle aigu ACD est le même que ê, ses cotés étant perpendiculaires à ceux de l'autre. Il en résulte

CD = CA cos t = r cos t

et le moment rfcoB i peut s'écrire f x CD; le moment par rapport à Vaooe est donc celui de la force par rapport au point C, puisque CD est le bras de levier.

Supposons maintenant quelconque la force AF appliquée en A. Soit AB sa projection sur un plan ACB mené par A perpendiculairement à l'axe. La force peut être décomposée en deux autres AB, AE, celle-ci complétant le rectangle ABFE et par suite, étant parallèle à l'axe.

Le moment de AF est la somme de ceux de AB et AE, dont le second est nul, AE étant dans un même plan avec l'axe. Le moment de AF se réduit donc à celui de AB, ou comme on vient de le voir, à celui de AB par rapport au point C, c'est-à-dire au produit AB x CD, CD étant perpendiculaire à AB.

Or la projection OA'D'B' de la figure CADB sur un second plan quelconque perpendiculaire à l'axe lui est identique, de sorte que le moment est encore mesuré par AB' X OD', produit du bras du levier OD' par la projection AB' de la force sur le second plan, conformément à l'énoncé de la seconde définition du moment.

Troisième propriété. — Le moment d'une force par rapport à un axe ne change pas si Von déplace le point d'application de la force sur sa direction. En effet, la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe a encore la même longueur et tombe sur la même droite, de sorte que le bras de levier ne change pas non plus.

La seconde et la troisième propriété auraient aussi pu se conclure de ce qu'on ne faisait que remplacer une force ou un système de forces par une force équivalente.

12. Tranuformatioii des forées agissant sur un solide entièrement libre. — Au lieu d'appliquer le principe

des vitesses virtuelles aux divers déplacements, il est plus simple d'employer ce que nous nommerons les transformations élémentaires.

La première consiste à déplacer le point d'application d'une force sur sa direction.

La seconde consiste à remplacer plusieurs forces appliquées au même point par leur résultante, ou celle-ci par ses composantes.

Nous savons déjà que tout système de forces se change de cette manière en un autre équivalent. Les conditions d'équilibre doivent être exprimées par des équations et non dépendre de constructions à effectuer dans l'espace. Or ces conditions supposent, comme on le verra, qu'on ait fait choix d'un système d'axes. En outre, six nombres, que nous désignerons constamment par L, M, N, P, Q, R y jouent un rôle essentiel : L, M, N sont les sommes des projections des forces sur OX, OY, OZ ; P, Q, R sont les sommes de leurs moments par rapport à OX, OY, OZ.

Vérifions d'abord que ces sommes restent invariables si l'on effectue une des transformations élémentaires.

1<^ Si Ton déplace le point d'application d'une force sur sa direction^ sa projection sur un axe ne change pas, non plus que son moment par rapport à un axe, d'après la troisième propriété du numéro précédent.

2^ De même si trois forces (p, cp', cp" appliquées au même pomt ont pour résultante f, les moments de cp, 9', ç" par rapport à un axe ont pour somme celui de /* d'après la seconde propriété. On ne changera donc pas la somme totale des moments des forces en y supprimant ceux de (p, f, 9" et les remplaçant par celui de f. Pour une raison semblable, la somme des projections des forces restera aussi la même en y remplaçant celles de (p, (f\ <f" par celle de/".

Voici comment Ton peut, par une suite de transformations élémentaires, changer un système de forces quelconque donné en un autre équivalent dont T effet soit plus aisé à apprécier.

Soient A, B deux points pris à volonté sur OX, OY, par exemple à l'unité de distance de l'origine.

Toute force peut être remplacée par trois autres appliquées en A, B et 0. En effet, si elle n'est pas dans le plan des xy on peut lui assigner un point d'application D hors de ce plan, et, d'après le théorème I, la décomposer en trois autres suivant DO, DA, DB, ces droites n'étant pas dans un même plan. Si la force est dans le plan des xy^ quel que soit son point d'application D, on peut la décomposer suivant deux des directions DA, DB, DO, car il y en a toujours au moins deux qui ne sont pas en ligne droite.

En répétant l'opération précédente pour toutes les forces du système, elles seront remplacées par d'autres, dirigées vers A, B,0, qu'on pourra supposer appliquées en ces points et qui se réduiront pour chacun à une seule.

Ensuite la force appliquée en B pourra être décomposée en trois autres suivant BA, BO et B/; parallèle à OZ ; de même la force appliquée en A se décomposera suivant AB, AO et kq parallèle à OZ. Les forces dirigées vers 0 étant appliquées à ce point se composeront avec celle qui l'était déjà. Le système quelconque est ainsi ramené à un autre^ formé des forces p^ q, dirigées suivant B/>, Aj, d'une force r placée sur AB, et d'une quelconque f appliquée en 0.

Si L, M, N, P, Q, R sont les sommes de projections et de moments du système de forces donné, elles sont encore les mêmes après les transformations. Or le moment de f est nul par rapport aux trois axes ; chacune des forces p, g, r est dans un même plan avec deux des axes, par rapport auxquels son moment est par suite nul. De la sorte P est le moment de la seule force p par rapport à OX ; Q est celui de q par rapport à OY, et R celui de r par rapport à OZ.

La seule utilité de cette réduction consiste dans les conséquences suivantes :

V Si un système de forces eM tel que les s&mmes P, Q et B soient nulles, il est réductible à une force unique appliquée à Vorigine.

En effet, le moment P de la force j) par rapport à OX étant nul, cette force doit Têtre aussi, son bras de levier OB ne l'étant pas. Pour la même raison, q et r sont nulles.

2^ Si les sommes P, Q, B sont les mêmes pour deux systèmes de forces le second peut se former du premier en lui joignant une force appliquée à Vorigine,

En effet, si on les réduit à la forme simple ci-dessus, P étant le même dans les deux cas, la force ^j aura le même moment par rapport à OX, le même bras de levier OB, et par suite sera aussi la même ; on peut en dire autant de (/ et r ; la force f appliquée en 0 peut donc seule différer.

3^ Si ks six sommes i. M, N, P, ^, B sont les mêmes pour deux systèmes de forces et qu'on les ramène à la forme simple cidessuSy ils deviennent identiques.

On vient de voir, en effet, que />, q, r sont les mêmes pour les deux systèmes. Leurs projections l'étant aussi, celles de la force f sur les trois axes sont égales dans les deux cas et, par suite, cette force est aussi la même.

13. Conditions d'équilibre et d'équivalence des forées agissant sur un solide. — Voici dans les cas principaux ces conditions, déjà démontrées pour les deux premiers :

Premier cas : Le solide ne peut que glisser le long d'un axe fixe sans tourner. — Il faut et il suffit pour l'équilibre que les projections des forces sur l'axe aient une somme nulle.

Second cas : Le solide ne peut que tourner autour d'un axe fixe

satis glisser. — Il faut et il suffit que les moments des forces par rapport à l'axe aient une somme nulle.

Troisième cas : Le solide ne peut que tourner en tous sens autour d'un point fixe 0. — En prenant ce point pour origine, il faut et il suffit que les sommes des moments des forces par rapport à chaque axe soient nulles, ou qu'on ait à la fois

En efi^et, si l'équilibre existe, on ne le troublera pas en rendant fixe l'axe OZ. La condition R = o propre à ce cas doit donc être satisfaite, et on verrait de même qu'on doit avoir P = o, Q = o; d'ailleurs ces conditions sont suffisantes, car on a vu au numéro précédent que, dans ce cas, les forces sont équivalentes à une seule appliquée en 0 ; or le travail de celle-ci est nul, comme le déplacement de son point d'application.

On voit aussi que deux systèmes sont relativement équivalents si pour chacun les sommes P, Q, R sont les mêmes ; car d'après le numéro précédent, le second système se forme alors du premier en lui joignant une force appliquée en 0, dont le travail est nul. La somme des travaux est ainsi la même pour les deux systèmes.

Quatrième cas : Le solide est entièrement libre. — En choisissant à volonté l'origine 0, il faut et il suffit qu'on ait à la fois

En effet, quelle que soit l'origine 0, si l'équilibre existe, on ne le troublera pas en fixant ce point ; le solide rentre alors dans le troisième cas et les conditions P = Q = R = o doivent, par conséquent, être satisfaites.

S'il en est ainsi, on a vu que les forces se réduisent à une seule appliquée en 0. Il faut et il suffit donc pour l'équilibre qu'elle soit nulle, ou que ses projections sur les trois axes le soient. Or c'est

à ces projections que se réduisent les sommes L, M, N. La condition précédente signifie donc qu'on a

Cinquième cas : Le solide est entièrement libre et les forces sont toutes dans un même plan. — En choisissant à volonté dans le plan un point 0 nommé centre dss moments, il faut que la somme des moments des forces par rapport à ce point soit nulle, en prenant en signe contraire ceux des forces tendant à faire tourner autour de lui en sens opposé. Il faut et il suffit qu'en outre les sommes des projections des forces sur deux directions rectangulaires prises dans le plan soient séparément nulles.

En effet, prenons le plan pour celui des xy et le point 0 pour origine. Les six sommes L, M, N, P, Q, R doivent être nulles ; mais les forces étant dans un même plan avecOX etOY, leurs moments par rapport à ces axes sont nuls : ainsi on a déjà P = o, Q = o. Les forces étant dans un plan perpendiculaire à OZ, on a aussi N = 0, et en outre, leurs moments par rapport à OZ se réduisent à leurs moments par rapport au point 0. La première des conditions ci-dessus signifie donc que R = o ; les deux autres sont évidemment les mêmes que L = o^ M = o.

Équivalence des systèmes de force, — L'effet de tout système agissant sur un solide libre dépend uniquement des six nombres L, M, N, P, Q, R, car nous avons vu au numéro précédent que s'ils sont les mêmes pour deux systèmes, on peut changer l'un dans l'autre en répétant les deux transformations élémentaires, et par suite, ils sont équivalents. Réciproquement deux systèmes U, V ne peuvent être équivalents ou produire le même effet qu'à cette condition ; car si le système U et un autre système T se font équilibre, il devra en être de même pour V et T. Les six sommes étant nulles pour U et T réunis, sont égales et de signe contraire pour U seul et T seul ; il en est de même pour V et T ; elles sont donc égales et de même signe pour U et V, ce qu'il fallait démontrer.

Il en résulte aussi que deux systèmes faisant chacun équilibre à un troisième sont équivalents. Ce principe s'applique souvent sons la forme suivante :

Un si/stème de forces étant en équilibre, si Von y remplace une mi plusieurs forces f f\ ete., par d'autres y,y, etc., qui leur soient égaies et directement opposées, celles-ci seront équivalentes à l'ensemble des autres forces.

En effet, en désignant par T cet ensemble, T fait par hypothèse équilibre à f f, etc., réunies, et v, ^J, etc., leur font aussi équilibre ; donc T est équivalent à '^, y', etc.

Conditions d'équilibre de deux ou de trois forces. — Quand un solide est libre la somme des moments des forces par rapport à une droite arbitraire doit être nulle pour l'équilibre, puisqu'on pourrait la prendre pour un des axes, et dans certaines questions, il est avantageux d'employer cette remarque plutôt que les conditions générales rapportées à un système d'axes déterminé.

Cherchons, par exemple, les conditions d'équilibre de deux

forces AF, A'F. Si un point 0 de AF n'était pas sur

AT', le moment de AF serait nul par rapport à un axe

passant par 0 et perpendiculaire au plan mené par ce

point et A' F ; en même temps, le moment de A' F' ne

serait pas nul, non plus que la somme des moments.

Par conséquent, tout point 0 de AF doit être sur A'F; les deux

forces étant sur la même droite, nous savons d'ailleurs qu'elles

doivent être égales et de sens contraire.

Équilibre de trois forces f f. f\ — Si deux d'entre elles se rencontrent, il résulte de ce qui précède que la troisième doit être égale et directement opposée à leur résultante. Il reste à trouver les dispositions dans lesquelles elles se font équilibre sans se couper.

Soient 0 un point de f" et A, B, C trois points de /'. Les moments de f\ f par rapport à OA /\R

étant nuls, celui de f doit l'être aussi ; cette force d'après la première propriété est donc

dans un même plan avec OA ; il en est de même pour OB et OC, et comme f ne peut être parallèle à plus d'une de ces droites, il faut qu'elle en coupe deux, par exemple OA et OB. Les points d'intersection étant différents de 0 sont distincts entre eux, et, par suite, /"est dans le plan OAB de même que f.Or on démontrerait de même que f" est avec /'' dans un même plan qui ne peut être que celui de OAB. Les trois forces doivent donc être dans un même plan, comme cela avait déjà lieu quand deux d'entre elles se rencontraient. En outre, dans le cas actuel, elles sont parallèles.

La condition d'équilibre rentre alors dans le cinquième cas. Prenons le plan des forces pour celui des xy^ y ., OY étant sur la force placée entre les deux autres ; soient f, f celles-ci. Le moment de f" par rapport au point 0 étant nul, ceux de f f^ doivent être égaux en signe contraire ; ainsi , f, f sont de même sens, et en menant la perpendiculaire commune AOA, on a

En outre, pour que la somme des projections sur OY soit nulle, le sens de f doit être contraire à celui de fei f et on doit avoir

Ces conditions sont suffisantes, les projections des forces sur OX étant nulles.

14. jffoments d^ane forée par rapport aux axes* Moment prineipal d'ane forée et d'un système de forées. ISomme des moments des forées par rapport il une droite quelconque menée par l'origine et somme de leurs projections sur cette droite. — On suppose données pour chaque force ses projections sur les axes et les coordonnées de son point d'application.

P Moments d'une force f par rapport aux axes. — Nous admettons, comme on Ta vu au numéro 5, que le sens de rotation considéré comme direct soit de OX vers OY ou xy par rapport à OZ, zx par rapport à OY et y^ par rapport à OX.

Soient M le point d'application ] x, y^ z ses coordonnées; MF la force f; OH égale et parallèle à MF N* et de même sens ; X, Y, Z les projections de la force sur les axes, qui sont ainsi les coordonnées du o point H.

En désignant par a l'aire du parallélogramme OMFH, les moments de la force pur rapport aux axes sont les projections de cette aire sur les plans coordonnés, avec leurs signes, tels qu'ils ont été définis au numéro 5, en prenant OM pour la première droite.

Soit en effet OM'FH' la projection de OMFH sur le plan des

xy; M' F est celle de la force f; son moment

\^^^ -- — \ par rapport à OZ est le produit de M' F par

^* son bras de levier, ou par la distance de ^ M' F à l'origine ; c'est donc, abstraction faite

du signe, l'aire du parallélogramme OM'FH', ou la projection de de l'aire OMFH.

La force tend à faire tourner OM' du côté de cette droite où se trouve M' F, ou de OM' vers OH', c'est-à-dire de la projection de la première droite OM vers celle de la seconde ; le moment est positif ou négatif suivant que ce sens de rotation est ou non direct, c'est-à-dire coïncide ou non avec le sens xy ; or c'est aussi la règle qui, au numéro 5, déterminait le signe de la projection de Taire. Celle-ci est donc égale au moment pour la valeur et pour le signe, ce qu'il fallait démontrer,

La même vérification s'étendrait évidemment aux projections sur les plans des zx et des yz.

Par suite, les moments par rapport aux axes ont les valeurs yzl — zy\ etc., indiquées au numéro 5, sauf que x*, yf ^^ qui cor-

respondent à la seconde droite ou au point H, doivent être remplacées par ses coordonnées X, Y, Z.

Les moments de la force /"sont ainsi :

I^Z — zY par rapport à OX z\ — xZ par rapport à OY ^Y — ^X par rapport à OZ

2^ Moment principal <Vune force f. — Nous avons nommé axe de l'aire au numéro 5 une droite ON perpendiculaire à son plan, menée d'un côté tel que par rapport à elle le sens de rotation allant de la première droite OM à la seconde OH fût direct ; en outre, on supposait ON = p.

Dans le cas actuel^ cette droite se nomme le moment principal de la force f. Elle est donc menée perpendiculairement au plan passant par r origine et la force MF, d'un côté td qus la force tende à faire tourner autour d'elU dans le sens direct, car ce sens est celui de OM vers OH. En outre, on lui donne pou^ longtieur le moment de la force par rapport à OJV, car c'est évidemment Faire p du parallélogramme OMFH.

Cette définition est indépendante des axes et suppose seulement qu'on ait fait choix d'une origine 0.

Cela posé, on a vu au numéro 5 que la projection de ON sur OZ était égale à la projection de l'aire sur le plan des xy, avec son signe, c'est-à-dire au moment de la force par rapport à OZ. Cet axe étant quelconque, il en résulte la propriété essentielle suivante : La projectixyn du moment principal sur une droite quelconque passant par V origine est égale au moment de la force par rapport à cette droite.

3^ Moment principal d'un système de forces. — Cette expression suppose encore qu'on ait fait choix d'une origine. On nomme moment principal d'un système de forces f f, etc., la résultante

OG des moments principaux ON, ON', etc., de chacune d'elles. Il en résulte que la somme des m^oments des forces par rapport à une droite qtœkonqtœ OD passant par V origine est égale à la projection du mmnent principal OG sur cette droite. En effet, OG étant la résultante de ON, ON', etc., sa projection est la somme de celles de ON, ON, etc., ou des moments des forces

f, f\ etc.

4® Valeurs de la somme 8 des projections des forces sur une droite quelconque OD passant à Vmiginej et delà som^ne S' de leurs moments par rapport à cette droite. — On connaît par hypothèse pour chaque force ses projections X, Y, Z sur les axes, et les formules trouvées ci-dessus donnent ses moments yZ — zY^ etc., par rapport aux axes. On peut en tirer les sommes P, Q, R des moments des forces, et les sommes L, M, N de leurs projections sur les axes. On connaît aussi OD et par suite ses angles a, ^, 7 avec les axes.

Nous allons démontrer que les sommes cherchées sont :

S = L cos a H- M cos p -1- N cos Y, S' = P cos a + Q cos p + R cos y-

D'après le théorème VI du numéro 3 on a

p = X cosa -\- y cos p + 2 cos 7.

p étant la projection d'une droite quelconque sur OD, et x^ y, z ses projections sur les axes.

Prenons pour cette droite le moment principal OG du système de forces. Sa projection sur une droite est la sonnne des moments par rapport à cette droite ; ainsi ses projections sur OX, OY, OZ, OD sont P, Q, R, et la quantité cherchée S'. H suf6t de remplacer ^y y y ^y P V^^ ?> Q, Rj S' dans l'équation précédente pour trouver la valeur de S' à démontrer.

Quant aux projections des forces, elles ne changeront pas si on les déplace toutes parallèlement de façon qu'elles soient appliquées

à l'origine. Soit alors OK leur résultante ; sa projection sur toute droite est la somme de celles des forces ; ses projections sur OX, OY, OZ, OD sont donc L, M, N et la quantité cherchée S qu'il suffit de substituer à x^ y^ z, p pour trouver la valeur de S.

15. Chaugement de coordonnées; cas oU le système se réduit à une forée unique. Couples. — Counaissant les sommes L, M^ N, P, Q, R des projections et des moments desL forces, cherchons leurs valeurs L', M', N', F, Q', R', correspondant à de nouveaux axes.

Si on change la direction des axes en conservant la même origine, la question est résolue par les valeurs de S, S' du numéro précédent, en prenant pour OD tour à tour chacun des nouveaux axes.

Il ne reste à examiner que le cas où l'on change l'origine, et comme il est superflu de faire les deux changements à la fois, nous admettrons que les nouveaux axes sont parallèles aux anciens et de même sens. De la sorte, les sommes de projections ne changent pas, de sorte qu'on a

Ensuite, en désignant par a, 6, c les coordonnées de la nouvelle origine 0', par X, Y, Z les projections d'une force f sur les axes, par a;, y, z les coordonnées anciennes de son point d'application, les nouvelles, d'après le numéro 4, sont x — a^y — h^ z — c, et par conséquent son moment par rapport à l'ancien axe des z^ qui était xY — yX, deviendra par rapport au nouveau

X et Y étant les mêmes. En l'ajoutant pour toutes les forces on

aura

ou

Or Lj M, E désignent les expressions

L = SX, M = SY, R = 2 (a;Y — y\)

d'où résulte

R' = R 4- U — Ma

Il est clair que cette formule restera exacte en remplaçant chaque axe par le suivant ou chaque lettre par celle qui la suit dans Tordre alphabétique, et cela séparément pour chacun des groupes (P, Q, R), (P', Q', R'), (L, M, N) (a, b, cl On trouvera ainsi

P' = p + Me — m

Q' = Q -f- Na — Le

R' = R + L6 — Ma

Cas où le système est réductible à une force unique (p. — Pour trouver s'il en est ainsi, remarquons qu'en plaçant l'origine 0' en un point de la direction de y on devrait avoir P' =: Q' = R' = o; ainsi les coordonnées a, 6, c du point devraient satisfaire les équations

P -j Me — Nfc = 0 0 4- Nfl — Le = 0 R -I- L6 — Ma = 0

Réciproquement si Ton peut trouver pour a, h, c des valeurs satisfaisant ces équations, les sommes P', Q', R' seront nulles, et nous avons vu au numéro 12 que les forces se réduisent alors à une seule passant en 0'.

En ajoutant les équations multipliées par L, M, N, les termes en a, h, c se détruisent, et l'on trouve

LP + MQ+NR = o

C'est une condition sans laquelle il n'y a pas de solution. Il y en aura une si elle est satisfaite, pourvu que L, M, N ne soient pas

nulles à la fois ; en effet, supposons, par exemple, N différente de o. En prenant

valeors dont le dénominateur N n'est pas nul, les deux premières équations seront identiques, et la troisième se réduira à LP + MQ + NR = 0, relation qu'on a supposée exacte.

Celle-là est encore satisfaite siL=M = N=o, seul cas qui nous reste à examiner; si l'on avait en même temps P = Q = R = 0, le système serait en équilibre ; si cela n'a pas lieu, il n'est pas équivalent à une force unique. En effet, quels que soient a, ft, c, les valeurs de F, Q' R' se réduisent à P, Q, R et par suite ne sont pas nulles.

En outre, P, Q, R étant les projections du moment principal sur les axes, ce moment, quelle que soit Torigine, reste parallèle à lui-même, en conservant la même valeur et le même sens.

Couples. — On nomme ainsi l'assemblage de deux forces égales et parallèles de sens contraire, qui ne sont pas directement opposées, telles que AF, BF.

Il rentre dans le cas précédent, car les pro- \^ jections des deux forces ont évidemment une somme nulle.

Le moment principal ON du système qu'on nomme aussi axs du couple, est alors le même que si l'on transportait l'origine en 0' sur BF. Il se réduirait alors au moment principal de AF, celui de BF étant nul ; c'est donc le produit de la force AF par la distance des deux forces, produit que l'on nomme le moment duœuple; il est dirigé de façon que AF tende à faire tourner autour de lui dans le sens direct; ON a le même sens, est égal au moment du couple et perpendiculaire à son plan.

Il est clair que tout système de forces pour lequel les sommes L, M, N sont nulles sans que P, Q, R le soient se réduit à un

couple, car on peut en trouver un pour lequel P, Q, R aient des valeurs données.

n résulte aussi de ce qui précède que deux couples de même moment et de même sens, placés dans le même plan ou dans des plans parallèles, sont deux systèmes équivalents, car leur moment principal déterminé par la règle précédente est le même.

Si plusieurs couples ont leurs plans parallèles à celui des xy, leurs axes sont parallèles à OZ, de même que le moment principal de leur ensemble, et Ton a P = Q = o, outre L = M = N = o. De la sorte, l'effet du système dépend uniquement de la somme R des moments des forces par rapport à OZ ; si elle était nulle, les forces se feraient équilibre.

Les propriétés des couples sont fréquemment employées comme moyen de démonstration des conditions d'équilibre d'un solide ; en outre, elles fournissent un mode de transformation d'un système de forces qui peut être quelquefois avantageux, savoir : On peut

transporter parallèlement une force AF en un point quelconque B, c'est-à-dire la remplacer par BF égale et parallèle à AF dans le même sens, pourvu qu'on y joifjne le coujjle de déplacement formé par AF et BF'\ celle-ci étant égale et opposée à BF. En effet, BF et BF se détruisant, l'effet de AF n'est pas changé.

16. £qallibre et transformation des forces parallèles. — Nous avons vu au numéro 1 3 la disposition de trois forces parallèles en équilibre ; en remplaçant les lettres f f f par Py 7, r, les forcés p^ q doivent être inversement proportionnelles à leurs distances à r, et il en est évidemment de même si ces distances AC, BC sont mesurées sur une transversale quelconque, d'où résulte pour les conditions d'équilibre