Dans le cas général , Téquation

représentera une infinité de surfaces différentes, passant

par les divers points de la trajectoire AMB. Nous allons démontrer que si LMU est Tune de ces surfaces, la force motrice P au point M lui est normale.

En effet, la normale à la surface LMU au point M fait avec les

>xes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

^f df df . . ,1 .

^î — » — ; or ces quantités sont elles-mêmes proportionnelles à X, Y, Z, on aux cosinus des angles que la force P fait avec les axes. Donc la force motrice est nor- «ûale à la surface LMU.

C'est ce que Ton vérifie dans l'exemple précédent où les surfaces analogues ^ f[jc^y^ z) = C sont des plans liorizontaux perpendiculaires à la force motrice qui agit vivant la verticale.

Si la surface y* (x,j^, z) = C offrait une résistance indéfinie, et si le point mobile se trouvait placé sur cette ^rface sans vitesse acquise, il y demeurerait en repos, puisque la force motrice serait normale en ce point à la surface. C'est ce qui arriverait pour un point matériel placé sans vitesse sur un plan horizontal.

CAS ou IL Y A UI9E RÉSISTANCE.

373. Quand un mobile éprouve un frottement ou se meut u^Qsun milieu résistant, TexpressiouX^ir -+- Yf/^-+-Z//z uest plus une différentielle exacte. En effet, s'il y a ''^tCement, cette force s'exerce suivant la tangente à la

ipS COURS DE MÉCANIQUE.

trajectoire et en sens inverse du mouyement du mobile^ elle est proportionnelle à la pression normale N du mobile sur la courbe qu'il décrit. Le frottement est donc représenté par — y*N,/* étant un coefficient constint. Ses composantes seront

et rezpression

sera la partie de ILdx -^Ydj -h Zidz provenant da frottement. Or la pression N est inconnue au point considéré et ne dépend pas uniquement de Parc parcouru. On ne peut donc pas dire que — f^ds^ et par suite que Xrfr H- Y<f^H- Zrf-2, soit, dans ce cas, la différentielle exacte d*une fonction de Xyj^ z,

S74. Quand le mobile se meut dans un milieu résistant, la résistance de ce milieu est une certaine fonction/ (i') de la vitesse, et la partie de cette force qui entre dsns Xdjc -f- Ydy H- Zdz est, par un calcul analogue k celui que nous venons de faire, — f(^) ds. Or la vitesse i^, et par suite y^(»^), ne dépendent pas des dilTërenti elles de j:, j^ z, et par conséquent — f{^) ds n'est pas une différentielle exacte, non plus que Xdx-hYdj-'h Zdz.

Dans ce cas, si le point se meut sur une courbe connue, il faudra prendre Téquation

m -7- ~ T ou m ~-^,- — T,

T désignant la composante de la force motrice (y compris les résistances) suivant la tangente. Au moyen des équations de la courbe on pourra exprimer T en fonction de i, et alors la détermination du mouvement sera ramenëe à Tintégration d'une équation différentielle du second ordre, tandis que si ILdx H- Ydy + Zdz était une diflié-

VIVGT ET DKlkMB LVÇOIT. I99

rentielle exacte, on n'aurait à intégrer qu'une équation diflTérentielle do premier ordre.

CA.S ou LE MOBILR EST SOLLICITÉ PÀH DES FORCES DIRIGÉES