Comme la formule (i) dt

^k^ -h ^ga (cosô — cosa)

n^est pas intégrable dans tous les cas, il est nécessaire de restreindre un peu la généralité du problème en cherchant seulement la loi du mouvement quand le pendule eflectne de très- petites oscillations de part et diantre de la verticale Oz. En premier lieu on ne diminuera pas la généralité du problème en supposant nulle la vilcsse du mobile au point A; car si elle n'était pas nulle en ce point, il suffirait d'augmenter Tangle a d'une certaine quantité pour avoir le point où cette vitesse est nulle, et c'est ce point que Ton prendrait pour le point A. Si donc on fait Ar = o, la formule (i) se réduira à

(2) dt= — k/^

\ S ^7. cosô — a cosa

Remplaçons maintenant cosS et cosa par leurs développements eu séries, et comme les angles a et 9 sont trèspetits, négligeons les puissances de ces quantités à partir de la quatrième. Il vient alors

et

COSO=I y COSa=:I 9

2 cosO — a cosa = a' — 6*

ao8 couns de mécamque,

d^où, en intégrant,

«irc cos -• a

Nous n'ajoutons pas de consiante, parce qu^on doit avoir 6 = a pour t = o»

La formule (3) donne

(4) ô = «cos^/y/îj,

expression de Tare décrit pendant le temps t.

283. Pour avoir la durée T de la première oscillation (et Ton sait déjà que les oscillations sont isochrones, quelle que soit leur amplitude), il faut faire dans Téquar lion (3) 0= — a, d'où il résulte

T = i/- arccos( — i).

Lorsque nous avons supposé que Téquation (3) donnait simultanément f = o, 6 = a, nous avons admis tacite» ment que nous choisissions o pour Tare dont le cosinus est Punité. Or, pendant la première oscillation , quand Tangled varie d'une manière continue de 9 =:x à d= — a, le temps t croit d'une manière continue, ce qui exige

que arc cos ~ croisse aussi d'une manière continue ; mais

au départ cet arc est o : donc, à la fin de d'oscillation , on ne peut le prendre égal à 3?:, a Stt,..., arcs qui ont tous — I pour cosinus, mais k tt. On a par conséquent

Ce résultat fait voir que le temps de Toscillation ne dépend pas de a, et par conséquent que la durée d'une oscillation est indépendante de son amplitude, pourra que celle-ci soit très-petite.

▼IVGT-DBUXifeME LEÇON. 20g

Le temps d*une demi -oscillation se trouve en faisant

ô=o dans la formule (3), on obtient - i/- ou - T, résultat facile à prévoir.

384. Les résultats précédents s'étendent aux oscillatioiis d*un point pesant, écarté très-peu de la verticale et

. assujetti à se mouvoir sur une

courbe dont le plan osculateur au point le plus bas B est vertical. En effet, le cercle osculateur au point 6 se confondant avec la courbe, dans une étendue très- petite, le mouvement aura lieu, de part et d'autre du point B, comme sur le cercle osculateur de la courbe en ce point. Dès lors la durée commune de

chaque oscillation sera f^ \/^y p étant le rayon du cercle ^^«ciilateur au point B.

â85. Si le plan osculateur de la courbe au point B le

plus bas faisait un angle i avec le plan horizontal ZV,

Fig. 96. il faudrait décomposer le poids

P en deux forces, Tune normale au plan ZU et qui serait détruite par la résistance de ce plan, l'autre Q = g'sinf, située dans ce plan et qui seule ferait mouvoir le mobile, force ^ ailleurs constante en grandeur et en direction. On aura ^Onc le temps d^une oscillation en substituant, dans la

forinule T = tt t/-» p k a et g sini k gy ce qui donne

386. Il est difficile dans la pratique d'apprécier la Stcrm. — ifec, I. i4

aïo coons de MécANiQtns.

durëe irxacte d*une seule oscillation; alors on compte h nombre n dos oscillations pendant un temps t, et Ton i

=^='Vl

On en tire

C'est par cette formule que Ton trouve l'intensité de M pesanteur en différents lieux de la terre.