MOUVEMENT ABSOLU ET RELATIF DE DEUX COEPS
QUI s'attirent.
329. Il résulte du principe de l'attraction ou graTitation universelle, que si M et m sont les masses respectives du soleil et d'une planète, r la distance de leurs centres de gravité, et f le coefficient de l'attraction universelle,
— — est la mesure de l'attraction qu'un de ces deux
corps exerce sur l'autre. Par suite, abstraction faite de
toute auire cause, '^—r et — - sont respectivement les
forces accélératrices de la planète et du soleil, et, a elles sont en raison inverse des niasses de ces deux corps^ on en conclut que, s'ils n'avaient aucune vitesse initiale, ils viendraient se réunir sur la droite qui joint leurs centres au centre de gravité du système de ces deux corps, lequel point partage cette droite en deux parties réciproquement proportiounelles à leurs masses. Pour le faire voir plus clairement, appelons S et 5 les espaces rectilignes parcourus par le soleil et par la planète, jusqu'à leur point de rencontre. On aura
„//'S /Mm d\K /Mm
iii^ r' de' r*
d'où résulte
^d^S du
M -7-7- =r m --- • dt^ dt*
Par suite
,, dS df
BI --- = w — , tU di
et enfin
RIS =: ms.
11 n\ a pas do constante a ajouter, car on suppose que '^
VIKGT-SIXIÊME LEÇON. af-S
le soleil et la planilc partent vn mêoie temps, sans vitesse iuiliale. De l'équation MS = ms^ on déduit
S: sz-m iM,
ce qui démontre la proposition énoncée.
330. Si Ton veut obtenir le mouvement relatif d*une planète autour dn soleil, c'est-à-dire le mouvement apparent de cette plaoète pour un observateur placé k la surface du soleil, il faudra supposer appliquée au centre de gravité du soleil une force égale et contraire k celle qui le fait mouvoir dans l'espace, afin de pouvoir le considérer comme 6xe; mais, en même temps, afin de ne pas altérer le mouvement de la planète par rapport au soleil, il faudra aussi regarder une force égale et parallèle a cette dernière comme appliquée au centre de gravité de la planète. Par (onséquent, ce dernier point sera constamment sollicité par une force dirigée veVs le centre du soleil , et égale à
fi
on à
en appelant fi le coefficient /* (M -f* m) constant pour toutes les positions de la planète. Ce fait est encore une conséquence du calcul, comme nous allons l'établir. Supposons les masses du soleil et de la planète con*
centrées à leurs centres de gravité, M (r, , j, , «,) et m (XjjTy z) ces deux points étant rapportés à trois axes rectangulaires quelconques, mais fixes dans Tespace. Le point M décrira dans son mouvement une certaine courbe AMB, et le point m une courbe amb» Menons maintenant par le point M, à
a54 COURS DE MÉCAIYIQUB.
riusiant considéré, trois axes rcciaugulaires parallèles à Oxj Oj' et Ozy et supposons que le point M, dans son mouvement , emporte ces axes parallèlement & eazmèmes avec lui« Appelons Ç, iQ et (^ les coordonnées va* riables du point M, par rapport à ces axes dont la position varie à chaque instant.
En concevant que le point M et par suite les axes qui passent par ce point soient fixes, ^ , y} et ^ se rapporteront à la trajectoire apparente du point m. Or on a d^abord
A l'aide de ces équations, si l'on connaît le mouvement absolu de M et le mouvement relatif de m, ou a le mouvement absolu de m, et vice versa ^ si Ton counatt les mouvements absolus de M et de m, ou aura le mouvement relatif de m autour de M.
Afin de bien concevoir ce mouvement apparent de la planète, imaginons que d'un point fixe K de Tespace on mène des droites Km] , Km\ , . . . , égales et parallèles aux droites Mm, M'm\, . ., qui joignent les positions simultanées successives des points M et m, sur les courbes que ces deux points décrivent. Il est clair que m,, m'i,..., seront les positions apparentes de m, telles qa'on les observerait du point fixe M, si M était eu K et que m^ m\ sera la courbe apparente que décrira le point m.
331 Revenons maintenant aux équations (t) pour en déduire la vitesse de m sur la trajectoire apparente. £a les difléreutiant, on a
dx iU
dx, di
dt "^ dr
dr
dy, dn dt ilt
iit
dzy dX, dt "^ dt '
yfllGT*SI\lÈMB LEÇOir.
iix dr à% y, rfr, djt dtt . „
—-: -T ei -- dune pari, --- . -r- et --- de 1 autre,
di di de ' ' dt de de '
sont les composantes parallèles aux axes des vitesses des
points M et m, à rinstant considéré sur les courbes AMB
et anibj —r^ -jr^^ "-r ^^^^ aussi les composantes parallèles aux axes de la vitesse du point m sur la irajec* toire apparente. Donc celte dernière vitesse pourra être déterminée par ses composantes, au moyen des équations (a), lorsque les mouvements absolus des points IVI Cl m seront connus. On peut aussi Tobtenir par la construction suivante.
Soient MA et mB des droites, représentant en grandeur et en direction les vitesses absolues des points M et nt
à rinstant en question. Menons la droite mC, égale et pa* rallèle à MA , mais dirigée en sens contraire. Je dis que la diagonale ml) du parallélogramme mBDC représentera la vitesse apparente en gran* deur et en direction. En eflet, projetons les trois points ni^ D, B en m', d* et b' sur Taxe Ox. La projection m' d' de mD est égale a la somme algébrique des projections des deux autres côtés, eu supposant qu'on parcoure le triangle mBD dans le sens mBD, et regardant comme pt>siiives les projections allant de O vers x et comme ''^gatives celles qui vont dans le sens opposé. Or
m 0 =^ -—-y à d =z — — de de
Doa<
d.r djCt d Ç
de de ~ de
I Jl **"' .•-.! ^^^^
^Viit de là que, sur un axe quelconque, wD a même
2^6 COURS DB MÉCAIVlQt'E.
projection que la vitesse apparente : donc niD représente cette vitesse en grandeur et en direction.
En diiTérenliant les équations (a) par rapport k t^ on a
(Par d^x^ , c/'H
(W dO dC"
^ ' » dt* dt' di*^
d^z d'^Zy d^X.
dt* dv dO
A l'aide de ces équations, on démontre comme précédemment que si les forces accélératrices des points M et m sont représentées en grandeur et en direction par MA et par mB, et si l'on mène mC égale et parallèle à M^, mais dirigc'c en sens contraire, la force accélératrice, répondant au mouvement apparent, et qui a pour com-
posantes -— » -— j -— > sera representce, vx\ grandeur et
en direction, par la diagonale mD du parallélogramme /nBDC.
Réciproquement, si Ton connaissait le mouvement absolu du point M et le mouvement apparent de m, on verrait aisément que la droite mF étant égale et parallèle à MA, la diagonale mB du parallélogramme mFBD représenterait en grandeur et en direction la vitesse ou It force accélératrice du mouvement absolu du point m.
33S. Le centre de gravité du soleil et celui d'une jJanète sont sollicités par des forces motrices appli(|uëes en sens contraires, suivant la droite qui unit ces deux
points, et égales chacune a — ^ — i en appelant, comme précédemment, M et m les masses du soleil et de la planète. Donc et — - seront leurs forces accélératrices* cl il
VINGT-SIXIÈME LEÇON. 167
rcsultc (le la conslruction géométrique (331 ) que
> . /M /(M-f-zn)
sera, à chaque instant, la force accélératrice qui produirait le mouvement apparent de la planète autour du soleil supposé lîxe. Ou voit que cette force
en posant
varie en raison inverse du carré de la distance. Par conséquent, ia trajectoira apparente de la planète est une section conique et par suite une ellipse, puisqu'elle ne 8* éloigne jamais indéHninient du soleil.
