Les coordonnées du sommet sont
A£ = a/ism9ecos2, EC = /isin'a.
2U. On a
AB = 4Asin2C0S2.
la longueur ABest ce qu^ on a^peWeVa/npli tude du jet, L amplitude au ^etasajAus grande valeur quand a = 45 degrés ^ la vitesse ini" fiftéc restant la même.
\, L'angle a sous lequel il faut lancer un projectile du point A, pomjKM' qu'il atteigne un point donné (X, Y), est donné par la formule
lang« = î^±:^V^4/*'-4/»Y-X\
Si l.*on a
le i;>rojectile pourra être lancé dans deux directions différentes pour atteindre le point M. Si Ton a
il ^^* existe plus qu'une seule direction donnée, et enGn le problème es^ impossible quand on a
^^-46, 247. La courbe dont Féquation est
fs^ -une parabole L'HL, dont Taxe est dirigé suivant Ar, et dont le ^^^'ïr^met H est situé à la hauteur AH = //. Quand le point que l'on ^^ Vt t atteindre est dans Tintérieur de celte parabole, le mobile peut ^^*"^3 lancé suivant deux directions différentes; il n'y a plus qu'une ^^-ale direction convenable, si le point est tiur la parabole même; ®^ïïn quand ce point est hors de la courbe, le problème n'est plus PC^^^ible.
148. L*enveloppe de toutes les paraboles du numéro précédent est ^ X^rabole HLM, lieu des points que le projectile ne peut atteindre ^^^ dans une seule direction.
VINGTIEME LEÇON
DBS COMPOSANTES DE LA FORCE HOTRICE.
349. DécoNPOsmoN de la force uotrice en force tangentielle ET PoBCB centripète. — Dans le mouvement d'un point en ligne
apa TABLE ANALYTIQUE
courbe f la force motrice se décompose à chaque instant en dem forces : l'une, dirigée suivant la tangente, est nommée la force tangenticUe; Tautre, dirigée suivant le rayon de courbure, se nomme la force centripète. En désignant la première par T, la deuxième par Q, on aura
mdv ta
mir
Le plan qui passe par la force motrice et par la tangente est le plan osculateur au point M.
250. Quand le point matériel est sollicité par plusieurs forces dont P est la résultante, on peut décomposer chacune des premières forces en doux autres dirigées Tune suivant la tangente et Tautre perpendiculairement à cette tangente. Une force normale à la trajectoire n'influera pas sur raccélcralion du mobile. Une force dirigée suivant la tangente ne tendra pas à changer la direction du mobile.
251. Point assujetti a se mouvoir sur une courbe donnée. Force centrifuge. — Un point M qui n'cit actuellement sollicité par aucune force et qui ne se meut qu'en vertu de sa vitesse acquise, étant assujetti à demeurer sur la courbe ÂMB, parcourt sur la trajectoire des espaces égaux en temps égaux.
La pression exercée par le mobile M sur la courbe ou sur le lien
qui l'oblige à parcourir cette courbe, est égale à — • Cette force,
P égale et contraire à la force centripète, est ce qu'on appelle \di force
centrifuge.
25i. Supposons en second lieu que le point M soit sollicité par Fig. 84. une certiiine force motrice P. Soit N
uno force égale et contraire à la pression que le point M exerce sur la courbe. Décomposons la force P en deux autres T et Q, la première dirigéo suivant la tangente, et la seconde située dans le plan normal de la courbe. Soit F la résullanle des deux forces 0
et N, situées toutes les deux dans le plan normal. La force F agira
suivant le rayon do courbure, et l'on aura
La force F, dirigée suivant le rayon du cercle osculateur et qui agit à chaque instiint pour empocher h» mobile de s'écarter de la courbe
DES MATIÈKES. ip3
suivant la tangente, est la force centripète, La force F^, égale ot CQOtraire à la force F, est égale à la force centrifuge.
VS^. Si la force motrice était normale à la courbe, le mouvement scr Ai uniforme.
Si la force motrice était dirigée suivant la tangente à la courbe, la force N se confondrait uvec la force centripète et la preséion exercée sur la courbe par le mobile avec la force centrifuge F'.
254. Mouvement d'un point sur une subfagb. — Soit AMB (fg- H) la courbe que le mobile décrit. On peut faire abstracMon de la surface, pourvu que l'( n joip;ne à la force motrice P une force N^ égale et contraire à la pression que le mobile exerce sur la surface. Décomposons encore la force P en deux autres T et Q, l'une tangente et Tautre normale à la trajectoire AMB. Les deux forces Q et N normales à la trajectoire se composent en une seule F diripi^e saivant le rayon du cercle osculateur de la trajectoire au point M,
et l'en a
(h mi»* //i--=T, — ^F;
Ht ù '
on aura aussi
F:Q=sinQMN;sinFMN,
ce qui détermine la position de MF ou du plan osculateur quand on connaît p, p, Q et Tangle QMN.
On a la pression exercée par le point mobile sur la surface, en cherchant la résultante égale et contraire à N, de la force Q et d*une force F', égale et contraire à F.
2S5. Si la force motrice était nulle, on aurait v ^. constante, et N serait à la fois la mesure de la force centripète et de la force centrifuge.
Si la force P était dirigée suivant la tangente à la trajectoire, la résistance de la surface serait la force centripète. Dans ce cas, le plan osculateur contient la normale à la surface, et la trajectoire est la ligne la plus courte que Ton puisse tracer sur la surface entre deux quelconques de ses points.
i56. Autre manière d'obtenir les résultats précédents. — Huyghens trouve les composantes de la force motrice en considérant cette force comme constante pendant un temps infiniment petit, et le mouvement comme s'efTeciuant sur le cercle osculateur.
^7. Remarques sur la force centrifuge. — Quand un corps sohde tourne uniformément autour d*un axe Gxe, chaque point de
a94 TABLE ANALTTi^^UE
ce corps possède une force centriruge particulière F. £n appelant T le temps d*iine révolutioo entière et p le rayon du cercle, on a
r =/iî „.3 ■ •
Les forces centrifoges des différents points sont donc proportionnelles à leur distanoe à Taxe.
258, 259. Application a la terre.
VINGT ET UNIÈME LEÇON
DES FORGES YIVES ET DU TRAVAIL DAH8 LB MOUYXMKRT
d'un POIMT MATÊRIBL*.
260, 261. Différentielle de la force vive. P désignant la
force motrice qui sollicite un mobile M et X, Y, Z ses composantes,
on a
dmv* =^ 2(Xrir-hYrf7H-Zrf2).
262. La quantité mtf^ ou le produit de la masse d'un mobile par le carré de sa vitesse est ce qu'on appelle la force vive du mobile.
