Autres formes de ILdjo-^Ydy-^Zdz. — Soit w Tangle

PMT que la force motrice P fait avec la tangente. On a

Xdlr 4- Yrfr-f Zdz = P cosw di.

Si Ton décompose la force P en une force tangenliello T et une force normale Q, on a

Fie- 89*

Enûn , si Ton appelle dp la projection MI de Tare Mil = ctr sur la direction de la force motrice, on a

Xdx -h Ydf -r Zdz = ?dp.

264. DépiNmoN du travail. — Le produit Tds que l'on obtient en multipliant la composante tangentielle de la force P par Télément de 1 arc parcouru dans l'instant dt se nomme travail élémemimn ou élément de travail de cette force. L'élément de travail est considéré comme positif lorsque la force tangentielle agit dans le sens du mouvement, et comme négatif dans le cas contraire, ou, ce qnl

DES MATifemES. IQS

revient an même, suivant que Tangle «> est aigu ou obtus. Le sig;ne du travail élémentaire sera donné par Texpreâsion Pcosw/2r, en considérant P et /£r comme |X)!(itifs.

Le tra\'ail élémentaire est égal au produit de la force par la projection de l'élément du chemin parcouru sur la direction de celte force.

2GS. Le travail élémentaire de Id résultante de plusieurs forces est égal à la somme algébrique des travaux élémentaires de ces forces.

266. On nomme tmi-nil total d'une force P pour un chemin déterminé ÂB rintégralo / Tr^', prise entre les limites qui correspondent aux extrémités de Tare parcouru. Les forces normales à la trajectoire n'influent pas sur le travail total.

267. ReLiVTion entre le travail et la force vive. — L'accroissement de force vive d'un mobile, lorscju'il passe d'une position à une autre, est égal au double du travail do la force motrice.

268. Si la force P est la résultante de plusieurs forces P, , P,, . . • , dont les composantes langentielles sont T, , T,, T,, . . . , on aura

On appelle forces mouvantes celles qui font un angle aigu avec la tangente, et forces résistantes celles i\\x\ font un angle obtus et dont l'effet est de retenir le mobile dans son mouvement sur la courbe.

L'accroissement de force vive d'un mobile y lorsf/n il passe d'une position à une autre, est égal au double de r excès du travail des forces mouvantes sur le travail des forces résistantes.

269. Conséquences du principe des forces vives. — Quand le mobile n'est sollicité par aucune force ou qu'il ^c^t seulement par des forces toujours normales à la trajectoire, le mouvement est uniforme.

270. Lorsque XdLr -h Yr/^ + Zr/c est la diflérentielle exacte d'une fonction /(x, j, z) de trois coordonnées x,^-, z considérées comme des variables indépendantes, l'accroissement de force vive, lorsque le mobile passe de la position (/i, 6, c) à la position (x, j, 2), ne dépend pas de la trajectoire dans l'intervalle, ni du temps qui s'est écôolé entre les deux positions extrêmes, mais seulement des coordonnées de ces deux positions.

27i. Plus généralement, si l'on imagine les deux surfaces

^g6 TÀBLB AHÀLYTIQUB

et que le mobile rencontre la première au point (a, b, c) et la se* conde au point (x, y^ z), Faccroissement de force vive est constant et indépendant de la forme de la trajectoire entre lee deux surfltoeiu des points où cette courbe rencontre ces deux surfaces et du temps qui s'est écoulé.

On trouve un résultat de ce genre dans le mouvement d*un mobile sollicité seulement par la pesanteur.

Fig. 90. 272. L'équation

représente une infinité de snrfaces différentes, passant par les divers points de la trajectoire AMB. Si LMU est Tune de ces surfiaces, la force motrice P au point M lui est normale.

273. Cas ou il y a une résistance. — Quand un mobile épn»u\o un frottement ou se meut dans un milieu résistant, ^expres^ion Xdr -i- Ydf r Zdz n'est plus une différentielle exacte.

274. Dans ce cas> si le point se meut sur une courbe connue, il faudra prendre l'équation

dt» -, d^x -,

///-- = T ou m —7— = T, di di^ '

T désignant la composante de la force motrice (y compris les résistances) suivant la tangente. Au moyen des équations de la courbe on pourra exprimer T en fonction de .r , et alors la détermination du mouvement sera ramenée à Tintégralion d'une équation différentielle du second ordre, tandis que si Xdx 4- Ydf -h 2,dz était une différentielle exacte, on n'aurait à intégrer qu'une équation différentielle du premier ordre.