CAS D^UMS RÉSULTANTE UNIQUE

360. Quand il y a une résultante unique, on sait que le résultante R des forces transportées parallàlemmt i elles-mêmes au point O doit être parallèle au plan du couple résultant, dont nous avons désigné le moment par G. Les cosinus des angles que la résultante R fait avec les axes sont

et les cosinus des angles que le momcnf linéaire du couple résultant fait avec ces mêmes axes sont

Il suffit évidemment d'exprimer que la force R et la direction du moment linéaire sont perpendiculaires entre elles, ce qui donne

(i) ^L-4-rM-hZN=o.

Cette équation exprime que les forces se réduisent i une force unique pourvu que Xj JT, Z ne soient pas nulles à la fois, sans quoi le système se réduirait à un couple, et il n'y aurait pas de résultante unique.

370. On peut encore arriver à ce résultat d'une antre manière et déterminer en même temps la position de la

YIHOT-HBUVli^S LEÇON. 91

droite soiTant laijuelle agit la résulunte. Introduisons uoe force R] ^ale et directement opposée à la rësul* tante, le système sera en équilibre. Par conséquent, si Xi, T|, Zi sont les composantes de Ri et Xi, jr,, Zi^ les coordonnées d'un point quelconque de sa direction^ on aura

(a) X-HX, = o, r-4-Y| = o, Z-fZ,=:o

et ensuite

IZtXt — T,«, -4-L =o, X| Si — Z, «I -f- M = o, Yiori — X|/i -4- N =: O.

Les trois premières équations donnent

X| Sn — jir j Y| SS — X j Z| S= — Zm

On retrouve ainsi ce résultat connu que la résultante unique des forces proposées est égale et parallèle à la force R et qu'elle agit dans le même sens.

On a ensuite les équations (3) pour déterminer Xi, /i, Zi. Mais on voit à priori que Ton ne trouvera pas de valeurs déterminées pour ces trois inconnues, car, s'il y a une résultante, on doit pouvoir transporter son point d'application en un point quelconque de sa direction. Ces trois équations doivent donc se réduire à deux et k une équation de condition. En effet, à cause de X| = — -Y, Y| = — r, Zi = — Z, on peut écrire ces é<|uations ainsi :

Irx, — Zji + L =o, Zxi— T», 4-M=:o, XjTi— Txt-h N = 0.

Puis, si on les ajoute membre a membre, après les avoir multipliées respectivement par X, JT, Z, on aura

JTL-f- rM-f-ZN=:o, équation déjà obtenue. Si elle est vérifiée, deux des trois

33 COUaS DE MÉCAKIQDB.

équations (4) seront les équations de la droite siÛTam laquelle agit la résultante.

CAS d'un point FIXB.

371. Soit O le point fixe. En y transportant toutes les forces, on obtiendra une résultante R et un couple (S, — S). La résultante est détruite par la Gxitë du point. Quant au couple (S, — S), il doit être nul : car, en transportant le couple parallèlement à lui*nième jusqu'à ce que la force S vienne passer par le point fixe, cette force S serait détruite et la force —S aurait tout son effet. Donc le moment du couple (S, — S) est nul et la pression qu'éprouve le point fixe est égale k la résultante de toutes les forces transportées parallèlement à ellesmêmes en ce point.

372. On peut encore obtenir ces conditions «en introduisant la résistance Ri du point fixe. Soient X^ Tf, 2^1 les composantes de la force Bi : puisqu'il y a équilibre, on aura

X'hlLt=o. rH-Y, = o, Z-hZ,=:o.

L'introduction de la force Ri ne donnant aucun nooveau terme dans les expressions L, M, N, on aura

Les trois premières équations déterminent Xi, T|, Z| et font voir que la résistance Ri est égale et directement opposée à R. Les trois autres sont les équations de condition et expriment que le couple résultant (S, — S) est nul.

CAS n'uN AXE FIXE.

373. Supposons qu'il y ait dans le système un axe fixe, ou, ce qui revient au même, deux points fixes O et H. Prenons pour axe des «, la droite OH, et pour axes desx et des j*, deux droites passant par le point O.

TIZraT-HBUVliltB LEÇON. a3

La résnltante des forces transportées parallàlement à eUe^-mémes au point O est détruite, puisque ce point est

fixe. Quant aux couples résultant de cette translation et situés dans les plans zOx elzOjr* ils sont détruits par la résistant de Taxe Oz, car on peut faire tourner chacun d'eux jusqu'à ce que les deux forces qui le composent soient perpendiculaires à Taxe fixe qui les détruit toutes. Il ne reste donc plus que le couple N situé dans le plan xOjTj qui doit être nul ; sans quoi, en le transportant jusqu'à ce qu'une de ses forces passe par le point O, celle-ci serait détruite et Tautre ferait tourner le système autour de Taxe O^. La seule condition d'équilibre est donc

On peut l'énoncer en disant que la somme des moments des forces par rapport à Vaxejixe doit être nulle.

374. Si le corps peut glisser le long de l'axe, par exemple, s'il est traversé par une tige fixe et inflexible, les composantes X, JTet les couples L, M soot détruits par la résistance de l'axe, mais la force Z ne l'est pas. On a alors deux équations d'équilibre

875. Nous ayons établi, pour conditions d'équilibre, dans le cas d'un point fixe, les équations

donc, pour qu'un nombre quelconque de forces appliquées i un corps solide soit en équilibre autour d'un point fixe, il faut et il suffit qu'elles le soient autour de trois axes passant par le point fixe.