On peut encore traiter la question en introdui

a4 couns de mécamqus.

sant les résistances des points fixes. Si les points O et H devenaient libres, on rétablirait l'équilibre en appliquant en ces points des forces convenables R| et Rf Soit 0H=: A. Appelons X], T|, Z], X|, Tt, Zt les composantes parallèles aux axes des forces Rf et Rf Les équations d'équilibre seront alors

La dernière équation est la seule condition d*éqnilibre déjà trouvée. Quanl aux cinq autres, elles feront connaître les résistances des points O et H on les pressions qu'ils supportent. On en tire

Ces équations déterminent X|, X|, Tt et Tt, mais elles ne donnent que la somme Zi + Z| des composantes parallèles à l'axe des z, ce qui doit être; car, s'il y a équilibre, les deux forces Zi et Z| qui agissent suivant la même droite, peuvent être appliquées au même point O, et l'on peut partager leur somme en deux parties quelconques appliquées aux points O et H.

ÉQUILIBRE d'un CORPS QUI REPOSE SUR UlT PLAll FIXE.

377. Supposons un corps pressé contre un plan en un de ses points par une force, passant par ce point et normale au plan \ ce corps sera en équilibre, car il n'j a pas de raison pour qu'il se meuve dans une direction plutôt que dans une autre.

YIHGT-HEVVlkMB LEÇOIf. t5

Si la force, au lieu d'être normale au plan, lui était oUique, on pourrait la décomposer en deux autres, Tune normale et Tautre située dans le plan. La première ne ferait qu'appuyer le corps sur le plan et la seconde aurait tout son effet pour le déplacer. Ainsi la condition néceS" soMFe et suffisante pour V équilibre est que la force qui passe par le point de contact soit normale au plan. La même conséquence s'appliquerait au plan tangent, si le corps était pressé contre une surface courbe par une force qui passerait par le point de contact.

378. Supposons maintenant qu'un corps M| sollicité par plusieurs forces P, P^, P^, . . . , repose par un de ses

Fig. 125. points Â sur un plan IL ou sur

une surface dont IL serait le plan tangent au point A. ConccYons qu'il y ait équilibre. Si l'on 6tait le plan, le point A se mouvrait dans une certaine direction, et en appliquant suivant cette direction une force déterminée, on rétablirait l'équilibre. Cette force peut donc remplacer la résistance du plan, et elle doit être égale, pnisquMl y a équilibre, à la résultante des forces P, P', P^, .... Donc il faut que celles-ci aient une résultante unique, normale au plan et passant par le point d appui.

379. On est conduit â une conséquence analogue, quand le corps M repose par différents points A, B, C,...

Fig. ,3^. sur plusieurs plans ou sur-

faces fixes, comme par exemple une table supportée par trois pieds. Si Tou ôtait le plan p, l'équilibre serait en général détruit, mais on le rétablirait en appliquant au point A une force convenable dans la direction que ce point prendrait immé-

%. ia8.

a6 Gouas de MécAniQins.

diatement. Cette force peut donc remplacer la résistance du plan p \ de même deux autres forces applîcpiées aux points B et C peuvent tenir lieuses résistances des plans p' et p". Si l'on joint ces deux dernières aux forces données P, P^, P^. . • et qu'on regarde le corps M oomme appuyé seulement sur le plan p par le point A, la résultante de toutes les forces passe par le point A et est normale au plan p.\ par conséquent la résistance de ce plan lui est elle-même normale. Le même raisonnement s'applique aux résistances des plans p' et p".

380. Voyons ce que deviennent les équations d'éqnilibre dans le cas d'un corps pressé contre un plan xOjr ou

contre une surface dont JcOj^ serait le plan tangent au point 0.

Prenons ce plan pour celui des xy et le point O pour origine. La résistance du plan équivalant à une force normale Zi, nous aurons d'abord

jr=o, r=o, Z-«-Z,=:o;

et comme Zi n'introduit évidemment aucun terme dans les équations des moments, on aura

Ces trois équations expriment que le système des forces se réduit à une force unique, et les deux premières que cette force unique est normale au plan et passe par le point O. Quant a l'équation Z -h Z, = o, elle indique que la résultante est la pression supportée par le plan. Il faut, en outre, que la résultante appuie le corps sur le plan, c'est-à-dire qu'elle soit négative. On devra donc joindre aux cinq équations d'équilibre l'inégalité

▼IHGT-ZIBUViiME LBÇOH. ^

381. Imaginons maintenant que le corps repose sur le plan xOjr par deux points O et H. Prenons OH pour

Fig. 119. axe des x. Remplaçons la résis-

tancedu plan fixe par deux forces x^ normales Zi, Z|. Puisqu^il y a

équilibre, la résultante Z| + Z« •^ de ces deux forces, laquelle a son point d^application entre Oet H, doit être égale et contraire à la résultante de toutes les forces données. Il faut donc que celle-ci soit normale au plan et qu'elle ait son point d'application entre O et H.

En posant OH = A, les six équations d'équilibre

donnent

^=0, r=o, zh-z, -^z,=o,

L=ro, M— Z,A = o, N = o.

Quatre de ces équations expriment les conditions que doÎTent remplir les forces données; les deux autres font connaître les inconnues et donnent

382. Si le corps repose sur le plan xOjr par un nom- ^' '^« bre quelconque de points d'appui A (xi,ji), B (x„ j,), C, D, • . . , la résistance du plan en ces divers points équivaudra à

^ des forces normales Z^ , Z| , Zs, . . . qui y seraient appliquées ; il faut ô ^ donc qu'il y ait une résultante

unique et tombant dans Tintérieur du polygone ABCDÂ . Dans ce cas, les équations générales se réduisent à

X=so, Fr=o, Z-i-Z, -h Zj -♦-... = 0, L -+- Z,/, -h Z,/, H- . . . = o, M — Z| JTi — ZtjXj — . . . == o,

N=rO.

«8 COURS DB MÉCAHIQOB.

Or a donc lealement trois équations d'équilibre X= o, i'= o. N = o. Les trois autres équations font aHUuln les pressions do plan aux points d'appui. On voit qac s'il T a trois points d'appui, tes pressions Z,, Zi, Z|«rontdetcnnÎDées; mais ai le corps repose aarlepIanxOr jor pins de trots points, le nombre des înconnacs ■a^ pnncn te noBbn des équations et le problème sera ind^

Ea vèkbiè dans chaque cas particulier In presàon av «^■«■n 4es points d'appui sera déterminée; mais cette !■< niiin me pourra pas être calculée par l'analyse prératNBie: smlemcot, ce qne l'on dnt conclure des (bt- Wiles qne nous venons de démontrer, c'est qu'il j ann «i^ùhbre si elles ont lieu, et réciproquement ellea «Mt ■KOMsaires pour l'eqnilibre.

Observons enfin qu'il n'existe pas dans la nature it owp» paifaitement solide et qne les forces Z,,Z|,... dép««dn>ut généralement de la consti tation du corps donui- V^iaoi qu'il en soit, il est ntile d'étudier le cas hypolliéli^o du solide parfait, parcuque les conditions d'éqù- UtMv des corps naturels se ramènent à celles des solitlM [urfails.

TBBNTIÈME LEÇOlf. ^9

TRENTIÈME LEÇON

ÉQUnJBBB DES FORCES APPUQUÉES A DES œilDONS.

équilibre des forces appliquées à des cordons qnt passent par nn même point. — Cas où Vnne des cordes passe dans un anneau. «-> Équilibra da polygone Amicnlaire. — Cas où les forces sont appliquées à dee anneaui. — Cas où plusieurs cordons sont attachés au même sommet.

ÉQUILIBIS DBS FORCBS APPLIQUÉES ▲ DBS COUDONS QUI PASSENT PAR UN MÊME POINT.

383. Soient P et Q deux forces qui agissent aux extrëmités d*ane corde supposée flexible et inextensible. Si ces forces se font équilibre^ la corde doit être tendue en ligne droite, et ces forces doivent être égales et contraires \ car m ces deux forces n*avaient pas la même direction que le cordon, rien ne les empêcherait de le faire tourner, et si, étant dans la même direction, elles n'étaient pas é^es et contraires elles feraient avancer la corde dans sa direction. La valeur commune des deux forces est ce qu'on appelle la tension du fil.

384. Si trois forces P, Q, R^ agissent sur un point A, par Tintermédiaire de trois cordons qui se réunissent en

Fig. i3i. ce point, et si elles se font équi-

libre, Tune quelconque de ces forces devra être égale et directement opposée à la résultante des deux autres; d'où Ton conclut que ces trois cordons sont dans un même plan, et que chaque force peut être représentée en grandeur par le sinus de Tangle formé par les directions des deux autres.

tt8 COURS DB MÉCAKIQIIB.

On a donc seulement trois équations d'équilibre X= o, jr= o, N &= o. Les trois autres équations font ooniulttv les pressions du plan aux points d^appui. On voit que s'il y a trois points d'appui, les pressions Zj» Zt, Z| teront déterminées; mais si le corps repose sur leplanxOj par plus de trois points, le nombre des inconnues surpassera le nombre des équations et le problème sera indéterminé.

Elu réalité dans chaque cas particulier la pression sur chacun des points d'appui sera déterminée; mais cette pression ne pourra pas être calculée par l'analyse précédente; seulement, ce que l'on doit conclure des formules que nous Tenons de démontrer, c'est qu'il y aura équilibi*e si elles ont lieu, et réciproquement ellfis sont nécessaires pour l'équilibre.

Observons enfin qu'il n'existe pas dans la nature de corps parfaitement solide et que les forces 2^, Zt 9. • • dépendront généralement de la constitution du corps d<mné. Quoi qu'il en soit, il est utile d'étudier le cas hypothétique du solide parfait, parce que les conditions d'équilibre des corps naturels se ramènent à celles des solides parfaits.

TBENTIÈMB LEÇOlf. ^9

TRENTIÈME LEÇON

ËQUIUBBE DES FORCES APPUQUÉES A DES œUDONS.

Équilibre des forces appliquées à des cordons qal passent par vn même point. — Cas où Tone des cordes passe dans un anneau. —> Équilibre dn polygone ftiniculalre. — Cas où les forces sont appliquées à des anneaui. — Cas où plusieurs cordons sont attachés au même sommet.

ÉQUILIBaB VIES FORCBS APPLIQUÉES ▲ DBS COUDONS QUI PASSENT PAR UN MÊME POINT.

383. Soient P et Q deux forces qui agissent aux extrémités d'une corde supposée flexible et inextensible. Si ces forces se font équilibre^ la corde doit être tendue en ligne droite, et ces forces doivent être égales et contraires ; car n ces deux forces n^avaient pas la même direction que le cordon, rien ne les empêcherait de le faire tourner, et siy étant dans la même direction, elles n'étaient pas é^es et contraires elles feraient avancer la corde dans sa direction. La valeur commune des deux forces est ce qu'on appelle la tension dujil.

384. Si trois forces P, Q, R^ agissent sur un point Â, par Tintermédiaire de trois cordons qui se réunissent en

Fig. i3i. ce point, et si elles se font équi-

yv libre, Tune quelconque de ces

^\^ c forces devra être égale et direc-

tement opposée à la résultante des deux autres^ d'où Ton conclut que ces trois cordons sont dans un même plan, et que chaque force peut être repré- ■entée en grandeur par le sinus de Tangle formé par les des deux autres.

32 COIRS DE MECANIQUE.

mets B, C, D, E sont appli(jiu'es des forces quelconques P, P^ P'^ P'^', agissant par l' intermédiaire de cordons qui se réunissent en ces points. Il est inutile de supposer plus de trois cordons réunis au même sommet; car d l'on avait^ an sommet B, un autre cordon sollicité par une force Q, on pourrait composer cette foroe avec la. première et ne considérer que la résultante des deux forces P et Q.

390. Dans V état d* équilibre, chaque cordon, telqu» CD, iloit être tiré par deux forces égales et contraires qu^on peut supposer appliquées à ses deux extrémités^ En effet, si Ton coupait le cordon CD au point I, Fëqui— libre serait détruit et chacun des deux points C et D se— rait entraîné dans une certaine direction. Les deux forces qui solliciteraient ces deux points étant actuellement détruites par la liaison que le cordon établit entre eux, sont nécessairement contraires et dirigées suivant le prolongement du cordon CD, Chacune de ces forces représente la tension du cordon.

391. Ce principe conduit aux conditions d'équilibre du polygone funiculaire.

La force P et la force H, dont on peut supposer le point d'application transporté de A en B^ ont une résultante X dirigée suivant le prolongement du cordon CB. E^ effet, puisqu'il y a équilibre, il ne sera pas troublé, si l'on suppose le point C fixe, et on voit bien alors qneX doit avoir la direction BC. La force X mesure en même temps la tension du cordon BC ; car puisqu'il y a équilibre, celui-ci doit être tiré en C par une force ^le et contraire à X. En transportant X au point C, on voit de même que la résultante T des deux forces X et P'est dirigée suivant le prolongement de CD et mesure la tension de ce cordon. Cette tension T est donc la résultaui^ des forces H, P, P' transportées parallèlement à elles* mêmes au point C. En continuant ainsi, on verra qo^

TREATlkMB LEÇON. 33

la tension V du dernier cordon s'obtient en composant

les forces H, P, P^ P', P'^^ transportées parallèlement k

elles-mêmes au point E, et comme il y a équilibre, cette

/brce V est égale et directement contraire à la dernièie

force R.

Ainsi toutes les forces immédiatement appliquées au f^^fygone funiculaire f transportées parallèlement à elles» rr^^mes en un point quelconque, se font équilibre autour c£^ ce, point, et la tension de chaque cordon est la ri" s m^ hante de toutes les forces qui agissent d*un même côté d^ ce cordon.

392. On peut arriver k ce résultat d'une autre mari i 4re, en supposant le polygone solidifié de telle sorte que l^s droites qui joignent les points consécutifs ne puissent p^s changer de longueur. Il en résulte d'abord que toutes I^^s forces transportées parallèlement à elles-mêmes en tmvi point doivent s*y faire équilibre. Ensuite l'équilibre r»e devant pas être troublé, si, en supprimant la partie DEC, on applique au point D, suivant le prolongencacnt CD, une force égale à la tension Y de ce cordon, il r^aut que la force Y et toutes celles qui agissent sur la pstrtie conservée ABCD, se détruisent. La tension du cordon CDestdonc égale à la résultante des forces H, P, P^, comme on l'a vu par l'autre méthode.

393. En supposant connue la figure du polygone en équilibre, on peut déterminer le rapport de deux forces ^^ de'deui[ tensions quelconques. En effet, comme chaque sommet doit être séparément en équilibre sous l'action ues forces et des tensions qui y sont appliquées^ on a

sinABC

H sinPBC P "" sinABC '

X sinFCD

P' sinBCD '

^^^însi de suite.

Storm. " Méc,^ U.

&mABP

sinBCD sinBCP''

sont égales, d'où résulte que H = K. Toutes les forces peuvent alors s'exprimer au moyen de la tension U et des angles 6, C, . . • du polygone par les formules

P=: aHcos-B, P'= aHcos-C,.. ..

399. SI Ton se donnait la figure du polygone, on connaîtrait par là en grandeur et en direction les forces qu'il faudrait appliquer k chaque sommet pour le tenir en équilibre. Ces forces prises en sens contraire seraient les pressions exercées sur les points 6, C, D,. . . s'ils devenaient des points fixes sur lesquels passerait la corde ABC. • .F.

400. Supposons que les cordes extrêmes AB, EF soient dans un même plan. Soit I le point de rencontre

Fig. i34. de leurs directions, et soit U

une force égale et contraire à la résultante de H et de K. D'après un principe connu (391), U est la résultante des forces P, P', P', P*'^ Par conséquent, pour avoir la tension des cordons extrêmes, il suffit de décomposer suivant leurs directions la résultante de toutes les forces transportées

parallèlement à elles-mêmes au point de rencontre de

ces cordons.

401 . Si toutes ces forces sont parallèles, si elles représentent des poids, par exemple, tout le polygone est compris dans un même plan vertical. Pour exprimer que toutes les forces transportées parallèlement à ellesmêmes en un point se font équilibre, il suffira de deuic équations. Si Ton prend deux axes dans le plan de» forces, l'un horizontal, Tauire vertical, et si a et fr, e et^

TRENTIÈME LEÇOST. 3j

«ont les aagles formés avec ces axes par les cordons en-

irèmes, on aura

Ecosa ■+■ Rcos« = o,

Hcos& -hKcos/-HPw-f-F-f-P''H-...=oj

la première équation euprîme que les composantes horizontales des tensions H et K sont égales et contraires.

CAS ou IL Y ▲ PLUSIEURS CORDOlfS ▲ UN MÊME SOMMET

DU rOLTGOIVE*

402. Nous aTons supposé qu'il n'y avait que trois forces appliquées a un même sommet du polygone. Quand Qn nombre quelconque de cordons, sollicités par des forces, ^ réunissent en un même point, il faut, pour requière, que Tuné quelconque d^entre elles soit ^ale et di- '^co^ement contraire à la résultante de toutes les autres. Fig. j35. Si l'on fixe un point sur chacun

des cordons, excepté sur un seul AP, on peut se proposer de trouver les pressions que la force P exerce sur les points fixes. S'il n'y a que trois cordons, non si- ^^m dans le même plan, la question se résoudra en dé» ^ixiposant la force P en trois autres agissant suivant les prolongements des cordons. S'il y a plus de trois cor* ^^tts, le problème devient indéterminé, puisqu'on peut ^^^c^mposer la force P d'une infinité de manières en ^'^utres forces dirigées suivant ces cordons. Cette in- <^^t«rmination est analogue à celle que Ton rencontre T^^nd on cherche les pressions exercées par un corps ^<^tre un plan sur lequel ce corps repose par plus de trois

TRENTE ET UNIÈME LEÇON