SUITE DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

Démooslration du principe dans le cas d'un système à liaisons incomplètes. — Cas où les liaisons sont exprimées par des inégalités. ~ Aslif forme de l'équation des vitesses rirtuelles. — Usa(;e de cette éqastiN pour trouver les conditions d*équilibre.

SYSTÊMB A LIAISONS INCOMPLETES.

452. Nous allons maialenanl étendre le principe des vitesses virtuelles à un système à liaisons incomplètes, ou dans lequel les coordonnées des points sont liées entre elles par un nombre i d'équations, / étant <^Zn — i .

Je dis dabord que s'il y a équilibre, la somme des moments virtuels est nulle. Considérons en effet Ton quelconque des déplacements compatibles avec les liaisons du système. On peut établir de nouvelles liaisons au nombre de 3/t — i — /, telles, que le déplacement virtuel en question devienne le seul possible. Mais alors les forces qui agissent sur tous ces points dont le système est devenu à liaisons complètes, se faisant encore équilibre, la somme de leurs moments virtuels doit être égale î zéro. Celte somme est donc nulle pour tout mouvement virtuel compatible avec les conditions du système.

453. Réciproquement, quand la somme des moments virtuels est nulle, Téquilibrc existe. Eu eflet, si lesfo^ ces appliquées au système pouvaient le mettre en monvement, tous les points éprouveraient simultanémeot des déplacements très-petits pendant un -temps très-oooit* On pourrait, sans changer ce mouvement, établir de nouvelles conditions qui rendraient le système 1 liaiiooi

TEEWTB-QUATRIÈMB LBÇOIT. J^

complètef, et qui empêcheraient tout le mouvement virtuel différent de celui qu'on suppose avoir lieu. On aurait donc un système à liaisons complètes, dans lequel la somme des moments virtuels serait nulle et qui ne serait pas vn équilibre.

Le théorème des vitesses virtuelles se trouve donc étendu à un système quelconque.

LIÂISOnS QUI s'eXPRIMEI«T PAR DES INÉGALITÉS.

454. Quand les liaisons qui existent entre les dillérents points d*ua système sont exprimées par des équations, chacun d'eux peut éprouver deux déplacements égaux et de sens contraires. Mais dans certains systèmes il n'en est pas ainsi.

Par exemple, concevons un point A placé sur une surface fixe S, dans Tiulcrieur de laquelle il lui est impossi- Fig. i48. ble de pénétrer, c'est-à-dire qu'il

peut se mouvoir d'un côté du plan tangent, mais non de l'autre. Il est clair que sMl se meut dans le plan tangent, il pourra toujours se déplacer dans deux sens opposés A^i et A a'; mais pour tout autre mouvement son déplacement sera possible dans un sens et impossible dans l'autre.

455. Les conditions de cette espèce sont ordinairement exprimées par des inégalités. Par exemple, si un point est posé sur nn plan fixe et ne peut se déplacer que d'un côté de ce plan, en prenant celui-ci pour plan des xy et prenant Taxe des z dans le sens de son mouvement possible, on aura pour ce point 2^0, et il faudra exprimer que la variation de z est nulle ou positive, c'est-àdire poser l'inégalité

De plus on exprimera qu'un point ne peut pénétrer

74 COURS DE MÉCAHIQOB*

dans Tintérieur d'une sphère fixe dont le centre serait i l'origine des coordonnées, au moyen de la relation

R étant le rayon de la sphère, el si le point est actuellement posé sur la surface sphérique, on aura en le ' déplaçant

xSjc -^jr^X -*• z^» Jo.

456. Si le système A, A\ A",. . ., est assujetti & des conditions de ce genre, le principe des vitesses virtuelles subit une modification. Il suffit alors, pour Téquilibre, que la somme des moments virtuels des forces soit nulle ou négative pour chaque mouvement virtuel de cette espèce. Si le système est à liaisons complètes, cela résulte de ce que nous avons dit plus haut (457) dans le cas où le mouvement du point A est empêché dans un certain sens* Si le système est à liaisons incomplètes, le théorème se démontre en introduisant un certain nombre de conditions telles, que le système devienne à liaisons complètes.

AUTRE FORME UE l'ÉQUATION DES VITESSES VIRTUELLES.