LVquatiou
peut se mettre sous une forme plus commode. Soient ^*f' '49- X, Y, Z les composantes pa-
rallèles aux axes de la force P appliquée en A. Désignons par ^x, ijr^ dz les variations des coordonnées de ce point pour un déplacemt^nt virtuel A a, compatible avec Tétat du système, de sorte que les coordonnées du point a soient x -f- ÎJC, y -f- dy^ « -f- d «.
Le moment virtuel de la force P étant égal à la «omme
TEBUTE-QUÀTAIÈMB LEÇOlf. ji
des moments virtuels de ses composantes, on a
P/? z= \$x -h y ^j 4- Z^s; on a de même
py = x'^y H- Y'*/ -H Z'^»',
et ainsi de suite. En substituant ces valeurs dans Tëqualion (i), elle devient
(2) l{\Sx -h. YSx -h Z9z) = o.
CONDITIONS d'équilibre D^UH SYSTÈME.
458. Voici maintenant comment on déduit du principe général des vi tesses virtuelles les conditions d'équilibre d'un système donné. Supposons que les liaisons qui existent entre les divers points du système soient exprimées par les équations
Ces équations devant être satisfaites par les nouvelles coordonnées des points, après un déplacement infiniment petit compatible avec Tétat du système, on aura
dL ^ dL ^ dL ^ dL ^ , dx^'-^ dy^^-^ dJ'^dx'^'-^
i/M ^ dyi ^ i/M ^ d^ ^ ,
dx tiy '^ dz daf
. . = Oy
-— Jx H — Jr -+- -7- d« -4- -7-7 6x -h , . . = o,
dx djr dz dx'
Pour bien comprendre ces équations, il faut concevoir qu^aux i équations données on ail ajouté 3/i — 1 — i équations nouvelles, telles, que le déplacement considéré devienne le seul possible. Alors toutes les variables moins une deviennent fonctions de celles-ci, et on peut, sous ce point de vue. différentier les équations (1). D^ailleurs on ne diminue pas ainsi la généralité de la question, puisque le déplacement particulier que Ton considère
y6 COURS DE XâCAniQCB.
peut être Tun quelconque de ceux qui sont compatibles avec l'état du système.
459. Les équations (2) au nombre de z contiennent in variations îx, djr^ î s, ... pi y en a 3 w — / qui sont arbitraires, et les autres, au nombre de i\ dépendent de celleslà. Si on porte les valeurs des dernières dans Téquation
(3) y (Xêx -f- Tf ^j -f- Zêz) = o,
celle-ci contiendra seulement 3/i — i termes multipliés chacun par l'une des 3/f — 1 variations arbitraires, et comme la relation (3) doit être vérifiée quelles que soient ces variations, il faudra égaler â zéro leurs 3/i — « coefficients. On aura ainsi in — /' équations qui, joîutcs aux équations ( 1), donneront 3/z équations nécessaires et suffisantes pour Téquilibre, entre les composantes des forces et les coordonnées de leurs points d'application.
460- L'élimination de i variations au moyen du système (2) peutscfaireparlamétlioJedcs multiplicateurs. Multiplions la première par X, la seconde par (x, etc., et ajoutons-les membre à membre avec Téqualion (3). Déterminons les quantités X, jijl, . . . qui sont au nombre de / par la condition que les coefficients de 1 variations soient nuls et égalons à zéro les 3/ï — /autres coefficients. Koiis aurons les 3/i équations suivantes ;
^ ^ ilL dM rfJV
€i,r dx dx
,, , rfL rfM f/i\
dx ^ dy djr
(4) \ r, ^dL dVL dV
dt ^ dz d%
^, ^i/L dVL rfN
TaBNTB-QCATftlkMS LSÇOH. ^J
46f • Réciproquement, si ces équations ont Ken, je dit que les forces se font équilibre; car, en multipliant ces équations respectivement par dx, ày^ âz^ ix'f. et ajoutant, on retrouve Téquation
/^ ^ £/L dM \ ^
qui se réduit k Téquation (3), en ayant égard aux relations (a) : or l'équation (3) exprime que la somme des moments virtuels est nulle.
462. Les équations (4) conduisent k une conséquence remarquable. On voit quVIles resteront les mêmes et que Téquilibre actuel du système subsistera si Ton supprime la condition L = o, à laquelle le système devait satisfaire dans tous ses déplacements, pourvu qu^ou joigne aux forces primitives de nouvelles forces, savoir une force appliquée en A et dont les composantes parallèles aux axes seraient
^ dL . dh . r/L
^^' ^dP' ^^7'
une force appliquée en A' et dont les composantes seraient
dh dL dh
et ainsi de suite. La liaison exprimée par Téquation L = o produit donc ces forces.
L*intensité de la force qu'il faut appliquer au point Â, par exemple, est égale à
/(dhy (dLy /dLy
yS COURS DE MÉCANIQUE.
et sa direction est celle de la normale à la surface représentée par Téquation
quand on y regarde x, j^, z comme seules variables, puisque les cosinus des angles que la normale fait avec les
, . dL dL dh axes sont proportionnels a -7-» -r-j -r— * * dx dy dz
Les conditions M = o,N = o, etc., peuvent de même être supprimées, pourvu que Ton applique à tous les points du système des forces convenables. Ces forces auxiliaires, qui peuvent tenir lieu des liaisons qui existent entre tous les points, sont celles qui produisent les tensions et les pressions dans les liaisons du système.
Enfin, si Ton supprime toutes les liaisons, ce qui rend tous les points libres, on voit que les forces P, P'» . . . appliquées à ces points libres sont détruites par les forces
dfA
.dh
dM
dh
dM
dz
^ dz'
dz
K)int A,
.dh
'da^'"'
dh
dVi
dN
dy
^dh
rfN
^dzf'
^dz^'
dl''
appliquées au point A', ainsi de suite.
SUR LES DIVERS MOUVEMENTS WRTUELS d'uR SYSTÈME.
463. Un mouvement viriuel quelconque se compose de 3/2 — I mouvements virtuels particuliers et distincts.
TREMTE-QUITRIÈMB LEÇON. 79
Soient iiX, dtjr^ iiZ^ i\X' , ... les variations des coordonnées des points pour un premier mouvement; itX^ ^tjj dfl<« ^tx\ • - • pour un second mouvement. Enfin, k étant égal a 3/i — /, soient dtX^ Skjr^ i^z^d^x' ^. . . les variations des coordonnées pour un A'^"^ mouvement. On a les équations
dh ^ dh ^ dh ^ dL ^ j dx djr dz dx
(i) {^M. d9& ^ dM^ dM .,
aje djr dt dx
auxquelles on satisfera de la manière la plus générale, en supposant
^X = a, ^, X -f- flj ^a X -f- ûj ^, X -f- . . . -h ûi ^i X ,
^y =,a^^,y -\- a, ^^y 4- «i ^%r -I- . . . -f • «i ^ir , (2 ) \ Sz = tf I ^, « -f- a, ^a « -f- «» ^4 » -+- . . . -4- fl* ^i » ,
^1 9 ^S9 • • «Y ^ft étant des indéterminées au nombre de A ou de in — i. En eiïet ces valeurs satisferont aux équations (i); ensuite parmi les 3 A variations, il y en a A auxquelles on peut donner des valeurs tout a fait arbitraires. En déterminant convenablement les A facteurs /3i , at , . . . , aji, ces variations restant au nombre de / se trouvent déterminées par les formules (a) de manière à satisfaire à toutes les équations (i). Donc, etc.
Il faut toutefois qu'il n'y ail pas de relations linéaires entre 5iX, d^j'y ... de la forme
biôiX H- 6, ^2 X -h . . . -^ bk^kx = Oy
^1 0,^ -h ^, ^î/ -h . . . -h ^* Sty = o,
^, ^, x' H- b-i 5j .r' H- . , . -i- bi d^ .r' =: o,
8o COURS DB MéCÀlTTQUB.
c*est-à-dire qa*aucua des déterminants provenant du système
^1^^ ^%y% ^%*f OiX , . . . ,
ne soit égal à zéro.
464. Ainsi comme application la plus simple, pour Téqui libre d^ un point libre il faut et il suffit que la somme des moments virtuels soit nulle pour trois déplacements virtuels quelconques du point, et Ton choisit les trois déplacements virtuels parallèles aux axes. Tout autre déplacement virtuel est compose de ces trois-là.
Pour un point situé sur une surface donnée, deux déplacements particuliers suffisent, et sur une courbe un seul déplacement est possible.
465. En général soient L = o, M =r o , . . . les équations de condition. On prendra 3« — /quantités 0,^,9,... fonctions dex,^, z, x',... etdoni les variations seront toutes arbitraires. L'équation des vitesses virtuelles deviendra
et comme ^L, dM, . . . sont nulles et que dtjp, â^^ sont arbitraires, on aura
TRKIITZ-GI>QUIËME LEÇOS.
TRENTE-CINQUIÈME LEÇON
