Si Ton fait
on trouvera
az= b = c = r^
ou
8irpr" "T5~"
^K)ur le moment d^inertie d^une sphère par rapport i no diamètre quelconque.
Si le rayon de la sphère augmente de dr^ son momeol
d'inertie s*accroit de sa différentielle ^ itpr^dr^ qui est
par conséquent le moment dMnertie de la couche infiniment mince comprise entre les deux surfaces sphériqnes concentriques dont les rayons sont r et r 4- dr. On conclut de là que
tXV'*=5j'-<*-- )
TKBMTt-incVlÈlfE LZÇOH. 199
est le moment d'inertie, relativementà un diamètre quelconque, d'une couche spliérique dont les rayons intérieur et extérieur sont a et b, et dans laquelle la densité p, supposée U même pour tous les points situés à une même distance du centre, est variable avec cette distance.
SOL m ES DE BÉVOLDTIOH.
520. On peut connaître, par une seule int^ration, le moment d'inertie d'un solide de révoliition, par rapport i sou axe.
Soient CD la courbe mAîdienoeet Ox l'axe de révolu-
Fig. (58.
tion. Prenons cette droite pour axe des x, et pour axe deaj^- ime perpendiculaire Oj}' située dans le plan du méridien.
Soient MP et M'P' deux ordonnées infiniment voisines, et NKK'N' UD rectangle compris entre ces deux ordonnées: si
I on pose on aura
et le volume du solide engendré par la révolution de rectangle sera
Donc le moment d'inertie de ce solide seca
^Tif udud-xu' ou ^Kft^etudxf et celui du solide engendré par PMM'F'
an I au'dudx.
c'est-à-dire- ^7* c^'j et enfin le moment d'inertie du vo- Snwi. — itic.. Il 9
"**ïfelfE LEÇOn. i3i
•T origine des coordon- ' Vç^ •'*r axe pour axe
''*<^ • des xz le
N^'^'^'i^ 'Mes.
%^%..^'*'>r. '>•>. ' ^înt quel-
^*. ^'''i^ '^. du système,
'^ j de ce point :
R ses distances
J'* — 2 éMT 4- fl%
— aflo: H-fl'.
.= «ir* — 2017147 -h IWfl'.
^uations analogues pour tous les points jnc en les ajoutant et désignant par M la p8| on a
= > mr^ — ^a\ mx -f- Ma'.
y iiiR*=\ mr^—%a\
it)e des coordonnées étant le centre de gravité du Xa
\ mx = o .
&c enfin
V iwR' = > mr» -h Mfl'.
le moment dUnertic d'un système de points port à un axe quelconque est égal à celui de ce
l3o COimS DE MéCÀVIQOB.
lume engendré par la révolution de Taire ÂCDB sera
en désignant par a et h les abscisses OÂ et OB des extrémités de la courbe CD.
521 . Cherchons, par exemple, le moment d'inertie du segment sphérique. Il suffira de supposer que la courbe CD est le cercle qui a pour équation
Si Ton porte cette valeur dans l'expression on aura l'intégrale
- irp I (2rx — x^ydx.
^ Jq
On trouve, en eiTectuant Tinlégration,
expression qui donne — ^ pour le moment d'inertie de la sphère entière, en faisant b=z^r.
AELÀTIOlf EUTAB LES XOMEITTS n'iNEaTHI PAR lUPPOBT
