À DEUX AXES PARALLÈLES
522. Étant donné le moment d'inertie d'un corps solide par rapport à un axe qui passe par son centre de gravité, il est facile d'avoir son moment d'inertie par rapport à un autre axe parallèle au premier.
l-NEtrTlÈHE LCÇON. l3l
Prenons le centre de gravît^ pour ori^ne dea coordonnées, le premier ixe pour axe des X, et pour plan des xs le pUo des deux axes parallèles.
Soit a leur plus courte disUnce OA.
Considérons un point quiconque M(j;,^, z) an système, et soit m la masse de ce point :
nommons r et R ses disuncet MH,MKiO<et AB.Oaa
OU, à cause dex* -Hj'' =/•*,
R' = r'— aax + o'.
Par suite (i) mR'^ntf* — aamx + wa*.
On aurait des équations analogues pour tous lei points du système. Donc en les ajoutant et désignant par M la masse du corps, on a
\ iiiR'^> mr* — a«\ ma:-i~ M«'.
L'origine des coordonnées éunt le ceatre de gravité du corps, on a
On a donc enfin
Ainsi le moment d'inertie d'un système de points par rapport à un axe quelconque est égal à celui de ce
l33 COURS DE MÉCANIQUE.
système par rapport à un axe parallèle à celui-^i mené par le centre de gravité^ augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.
On conclut de là que le moment d^ inertie d*un corps par rapport à un axe qui passe par son centre de gra* uité est moindre que pour tout autre axe parallèle à celui-ci; que ce moment est le même pour tous les axes parallèles et également éloignés du centre de gravité^ etqu'i/ augmente à mesure que l'axe s^ éloigne de ce point.
Si l'on représente \ mr* par MA*, Téquation précédente peut s'écrire
(4) y/ifR»=:M(X»-|.û').
RELATIO?! ENTRE LES MOMENTS D INERTIE PAR RAPPORT A DIFFÉRENTS AXES QUI PASSENT PAR LE MEME POINT.
523. Soient 01 un axe quelconque et Ox, Oj^ Oz trois Fig. i6o. axes rectangulaires. Désignons
par m la masse d'un point quel* conque M(x,j^, z). Abaissons MH perpendiculaire sur 01 et posons
On a (i) r' = tt» — (iicosMOH)'; '
or a, 6, y étant les angles que 01 fait avec Ox, Oj^ Or, ou a
iicosMOH = xcosa -f-^cosS -f-»coS7.
D'ailleurs
ml
TEIHTB-SSUTlèMB LBÇOH. l33
Par conséquent
(2) r* = «» -hx* -*-«' — (xcosa 4-/ cosC -f- sooS7)S
que Ton peut écrire ainsi :
.^. j r* = (x»-f-jr»-f.8»)(co8»a4-co$'«-f-co8»7)
j — (xcosa -+-j^cos6 -f- *co8 7)%
à cause de
cos*a H- cos* 6 -4- cos* y = i .
Eu développant Téquation (3), on a
^ j r»= tr*-f-»*)c08*a-f- (a:»-f-»»)co$«6 H- («> -f-j«) cos»7 I — 2jrz cos6 co$7 — 2x1 cosa COS7 — 2x/co8a cos6.
Multiplions cette équation par m et ajoutons tontes les équations analogues relatives aux autres points du système : nous aurons, en désignant par fx le moment dHnertie de tout le système par rapport à Taxe 01,
p= cos'a\ m{jr* •+- z*) -f- cos'SX m{x* -h »•)
(5) \ -hcos*7\ /w(jr*-f-7*) — 2COs6cos7\ mj» — 2cosacos7\ iwjr» — 2cosacos6\ mxjr»
Les coefficients des cosinus dans le second membre sont des valeurs indépendantes de la direction de Taxe 01. Posons
A =^/iî(r» -f- »'), D=:^mxz ,
(6) / B=:Vm(ar'-^-«»), E^V/iix», C=y//i(x» --/»), F— V//IX7.
l34 COURS DE utcAniqvE.
A, B, C sont les moments d'inertie du systime par
rapport aux axes de coordonnées. La valeur de (l
devient
( ^ = Acos'a + B cos'6 + G cos'7
( — aDcos6cos7 — 2£cosaco87 — sFcosa c€||iS.
QUAAÂHTIEMB LSÇOH. l35
QUARANTIÈME LEÇON
SOTTE DES MOlfENTS DINERTIE. — ROTATION AUTOUR
