PRINCIPE DBS FORCES VIVES
615. Considérons un système de points m, m', m^, . . ., sollicités par des forces P, P', P^', . • . , dont nous désignerons lescotnposanles parallèles à trois axes rectangulaires par X| T, Z, X', Y', Z', . . . . En combinant le principe de d'Alembcrt avec celui des vitesses virtuelles on obtient Féquation
Les liaisons du système étant exprimées par un certain nombre d^équations
qui doivent être satisfaites, à une époque quelconque, par les coordonnées des points du système et par ces coordonnées après un déplacement virtuel, il en résulte (489) que les variations des coordonnées sont assujetties i satisfaire aux équations suivantes, dans lesquelles le temps est
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supposé consUDt :
(7) / ^W. dyi ^ dM ^ ^M ^ ,
''d^^-'^lij'^'^-dl''-^d7^^-^'- = ^^
D'un autre côté, dans le mouvement effectif du système, les coordonnées des points devant satisfaire aux équations de condition (2), on a, en différenliant celles-ci par rapport à f, variable indépendante,
dL , dJ. dL ^ dh ^ dh , ,
dt dx dy dz dxf
(4) ^rfM . /fM^ ^M ^ dVi ^ dVL ^ , dt dx dy -^ dz dx/
On a déjà expliqué la distinction essentielle qui existe entre les variations dx, hy^ iz^ qui répondent à un déplacement virtuel du point M, et les différentielles dx^ dj^ dz^ qui se rapportent au déplacement réel que prend ce point, dans le mouvement général du système. Supposons que les équations de condition ne renferment pas le temps explicitement. Alors les dérivées partielles
—t -^? • • • j étant nulles, les équations (3) et (4) montrent qu'on pourra faire
Ainsi, parmi tous les déplacements virtuels, compatibles avec les liaisons du système, il sera permis de choisir celui qui se rapporte au mouvement réel de chaque point. Alors Téquation (i) deviendra
ai 4 COURS DE MÉGAlflQlJB.
OU
(5) \m ^^^ \(Xi/x-i-Yrfr-i-Zrf5)=o.
Mais à cause de
dx^ -4- flîr' + dz"
O^ZrZ ; y
di'
on a
1 , dxd^.v -h drd^r -hdzd^z
-rf(^'r= — y
2 di^
d'où résulte
(6) d\ mi>'rr=2\(XdT-hYdx'hI'dz),
ou, en appelant dp la projection du chemin parcouru par le point M sur la direction de la force P,
(7) dy mp^=z2y "Pdp.
Donc la différentielle de la somme des forces TÎTesde tous les points du système est double de la somme àa quantités de travail élémentaire des forces motrices.
616. Si Ton intègre Téquation (6), entre les limites /o et t, on aura, en désignant par 1^0 1a vitesse initiale da point M ,
Y/wp'— >'/»«';=2 r SiXdx-^Ydj-^Zdz).
Donc dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps j F accroissement de la somme des forces visses de tous les points, pendant un temps quelconqiÊe, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces pendant le même temps.
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Ainsi la différence des deux sommes de forces vives à deux époques quelconques ne dépend que des coordonnées des points mobiles à ces deux époques et nullement de leurs liaisons ni des chemins qu'ils ont suivis pour passer d'une position à une autre.
