PRINCIPE DES AIRES
Fig. 168.
609. Les équations (2) peuvent être envisagées sons un autre point de vue.
Pendant que le point M(x^jry z) décrit sa trajet .
toire MA, la projection OP, de son rayon vecteur OM sur le plan xOy, décrit pendant le temps t une aire BOP ou X dont la difiérentielle est
rfX = - (xdx — jrdje).
La première des équations (a) donne
d*où, en intégrant.
dl 1 dt 2 '
/If A = — cr.
Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que X doit être
QUARAHTE-SEPTIÈME LEÇON. )05
nulle pour t = o. En désignant par X' et TJ' les aires décrites par les projections du rayon vecteur sur les autres plans coordonnés, on aura de même
Chacune des constantes c, c\ c" représente le double de la somme des aires décrites dans Tunité de temps, par la projection de chaque rayon vecteur sur Tun des plans coordonnés. De là résulte ce théorème :
Quand les forces motrices appliquées à un système se font équilibre en supposant le système solidifié, ou bien quand toutes ces forces ont une résultante unique passant par Vorigine des coordonnées^ la somme des aires décrites par les projections du rayon vecteur sur chacun des plans coordonnés multipliées respectivement parles masses des points correspondants est proportion» nelle au temps. C'est ce qu^on appelle le principe de la consen^ation des aires.
610. Cette loi a lieu en particulier quand les forces motrices du système se réduisent à des actions mutuelles entre ses différents points ou à des forces constamment dirigées vers un même point fixe, pourvu qu'on prenne celui-ci pour Torigine des coordonnées. En effet, lorsqu'on suppose le système solidifié, toutes ces forces se détruisent. Si Ton suppose le soleil fixe, toutes les forces motrices des planètes se réduisent à des forces dirigées vers le centre du soleil et à des attractions ou à des répulsions mutuelles qui se détruisent deux a deux. Le principe des aires doit donc être vérifié par rapport i tout plan mené par le centre du soleil.
Le principe de la conservation des aires subsistera s*il survient dans le système considéré des chocs ou des explosions qui proviennent touiours d'actions mutuelles entre les molécules.
206 COURS DE MÉCAJIIQVB,
DU PRIHGIPE DES AIRES DAKS LE MOVinBlCBirr RSULTIPi
611. Jusqu' ici nous avons supposé Torigine des coordonnées fixe dans Tespace. Prenons maintenant ponr origine un point mobile avec le système. Soit Oi ce point. Désignons pair Xi^jTtyXi ses coordcmniées par rapport à un système fixe Oxy O/, Oz. Soit m on poist ayint pour coordonnées x^jTj x dans Pancien système et (^ n, ^ diu le nouveau composé de trois axes O^Xi, Otjrt^ OfX, parallèles aux anciens et mobiles avec le point O] . On «va
Remplaçons x, j", z par ces valeurs dans les écpations (i) du n^ 606, sans toutefois faire cette substitution dans
Â^' "SF' rfP^* ^* première devient
Ici nous sommes obligés de supposer qu'il n*y a dans le système aucun point fixe. Alors on a, en verta des trois premières équations du système solidifié (597),
L'équation (a) se simplifie et devient
Remplaçons maintenant-^ et •— par leurs râleurs dé-
QI7A.1LiLBTE'SEPTl£ME LEÇON. 20J
(luîtes des équations (i). Nous aurons
612. On aurait deux autres écjuations analogues. On voit que, pour qu'elles deviennent semblables aux équations (i) du n^ 606^ il faut et il suffit que
"^Z 'wÇ -j-^ \ mn et les deux autres quantités
analogues soient nulles. C'est ce qui peut être £ût de difTérentes manières.
On y parvient d'abord en prenant pour origine mobile le centre de gravité du système, car alors \ m^,
\ mr], \ m^ sont nulle». On a dans œ cas les trois équations
Ces termes disparaissent encore et Von retombe sur les éqnalions précédentes si l'on prend pour origine mobile un point qui ait dans l'espace un mouvement rectUigne et
.^ 1 d'^Xx d^Yy d^z^ I,
uniforme, car alors —rr^ '-tt'> -tt ^^^^ nulles.
«Z' dt^ €U'
Elnûn il existe une dernière manière, mais beaucoup moins utile, de parvenir au même résultat : c'est de dé* terminer le mouvement du point Oi d'après les condi-
COURS DE MéCAiriQDE.
lions
r/'ar, d^yx d^ z,
dO dt^ dt^
\ m\ zJ^^ aJ^^
Ces équations signifient que la force accélëratrice da point Oi, ou celle qu'il faudrait lui appliquer k chaque instant pour lui donner le mouvement qu'il a réellement, doit être constamment dirigée vers le centre de gravité
du système, puisque \ mj, \ m»}, \ mÇ sont proportionnelles aux coordonnées mobiles du centre de gravité
613. Si l'origine des coordonnées mobiles est choisie de l'une de ces trois manières, on aura, par rapport aux aies dont l'origine est mobile, des propriétés semblables i celles qu^on a trouvées pour des axes fixes, puisque les équations (5) ont la même forme que les équations (i) da n^ 606. D'abord si les forces se font équilibre, en supposant le système solidifié, ou si elles se réduisent & une seule passant par l'origine mobile, les seconds membres des équations (5) sont nuls et on en conclut encore que la somme des aires décrites par les projections des rayons vecteurs sur un des plans coordonnés, multipliées par les masses des points correspondants, croit toujours proportionnellement au temps ou est constante dans des temps égaux. Ainsi le principe de la conservation des aires est vérifié relativement à ce plan mobile. Dans notre système planétaire, par exemple, on peut prendre pour origine des coordonnées son centre de gravité : car, en supposantque les étoiles n'agissent pas sur le système, le niouvemeot de ce point est rectiligne et uniforme (ÔO^). Da reste les forces motrices de ce système se réduisent à des actions mutuelles entre ses différents points, en sorte qu'il véri-
QVAIUNTB-SBPTIËMB LBÇOIT. 309
fie le principe des aires relativement i un planqaelcouque passant par son centre de gravité.
FLAN DU MIXIIIUH DBS IIRIS.
614, Considérons toujours un système de pointa en
mouvement pour lequel le principe des aires a lieu, en
Pic. ifig. prenantpourorig;îneun
point O Gxe ou mobile
suivant les conditions
établies précédemment,
et proposons -nous de
trouver un plan te), que
la somme des produits
des masses par les aires
que décrivent les projections de leurs rayons vecteurs sur
ce plan soit un maximum.
Le rayon vecteur Om du point m décrit une surface conique dont l'élément mOn est dans le plan tangent. Soit du cet élément et appelons a, 6, y tes angles que la perpendiculaire OD à son plan fait avec les axes coordonnés Or, Oy, Oz. Désignons par u l'aire décrite par ^ projection du rayon vecteur 0/n sur un plan quelconque P, perpendiculaire à une droite qui fait avec les axes les angles A, B, C. En appelant B l'angle DOE, on l'angle que le plan de l'aire da fait avec le plan de projection P, on a
puisque dra est la projection de da sur le plan P.
D'ailleurs les projections de da sur les plans xOy, xOz, yOz sont dX, dW, dW, et l'on a
tty^^dacoia, di.'^ decoiS, rfi ^dacoty
et
cosfl = cosacosA + cosScosB -i- COS7COSC. Smu. - Jffc., 11. l4
SIO COURS DE MéCAlflQUE.
En multipliant cette dernière par da et ayant équations précédentes, on aura
aux
dùà = dV'cosA -h rfVcosB -+- dX cosC,
d'où
w = X"cos A -h VcosB -+- \ cosC; par conséquent
\ Ww=i:C0SAN otX"-t-COSB\ /7lV-f-COsCN Hfl.
Mais on sait que (609)
donc on a
/ww = (c'^cosA -t- c'cosB -f- ccosC) -
Dans cette équation, le coefficient de t est constint, le plan P étant donné.
Posons
On peut écrire
y 17/w = I -j cos A H- -r cosB -}- -r cosC J - /.
Il est permis de regarder -t' T' 7 comme étant les cosinus des angles formés par une certaine droite OF avec les axes coordonnés, droite dont la direction est indépen* danie de la position du plan P. Par conséquent, si nous concevons un plan tt perpendiculaire à OF, la position de ce plan ne dépend pas non plus de celle du plan P. Or f étant Tangle EOF ou Tangle des plans P et ir, oo i
cosf = ~ cos A -4- j cosB -H -r cosCy
QUABANTE-SEPTIÈME LEÇOM. 211
par suite
(3) \ ffi(d=z - ktcos(f.
Ainsi la somme des aires décrites sur le plan P, multipliées respectiyement par les masses des points correspon*
dants, est égale au produit de - ht par le cosinus de l'angle
des deux plans P et tt.
Comme la quantité k ne dépend pas de la position du
plan P, Téquation (3) montre que la quantité \ mco est
maximum lorsque f est égal k 90^, c'est-à-dire lorsque le plan de projection P coïncide avec le plan ?:. On a alors
(4) y ww = - ^■^.
// existe donc un planjixe tel, que la somme des aires décrites pendant un temps quelconque par les projections des rayons vecteurs des points mobiles sur ce plan, multipliées par leurs masses, est plus grande que pour tout autre plan de projection. Ce plan est toujours le même, quel que soit le temps écoulé. On Tappelle pour ces deux raisons plan du maximum des aires ou plan invariable. Son équation est
c" X -f- (/y -f- cz = o
et la somme \ mtù relative à un autre plan de projection
se déduit de celle qui se rapporte au plan tt, en la multipliant par le cosinus de Tangle des deux plans.
Ce plan est le même que celui du couple résultant des quantités de mouvement du système solidifié, qui a été déterminé précédemment (602).
ai 2 COURS DE MÉCANIQUE.
QUARANTE-HUITIÈME LEÇON
