Supposons que la fonction

y(X^4-Yrfr + ZA)

soit la dlfiférentielle exacte d'une fonction des variables x^ y^ Zy x\. . . , considérées comme indépendantes on comme liées entre elles par les équations L = o, M = o,... Soit

(i) ^\(Xda:H'Ydx-hZdz)z=d/{x,y, s, *',. . .).

QUARAlITB-BUITlkMB LEÇON. 21 7

On aura, en intégrant Téquation

(2) dSmt^ = iSpLdx -f- Ydx -+- Zdz)

par rapport au temps,

(3) ^nïf^ = c -f-/(x,7, », ^',r', . • •)•

Pour déterminer la constante C, désignons par i^o 1^ vitesse d'un point quelconque M, et par x^^j^^ ^o, ses coordonnées à une époque quelconque to. On aura

(4) \'w»'Î = Ch-/(x.,j.,s„...), et, par suite,

(5) T^'WP» — N mj';=/(jr,j^,»,x',...)— /(J^.jr-t^-» ••%

Donc lorsque le système passe d* une position à une autre, r accroissement de la somme des forces vivres ne dépend que des coordonnées des points dans ces deux posi" lions. Pour évaluer cet accroissement, on n'a besoin de connaître ni les liaisons des points dans cet intervalle, ni les chemins qu'ils ont suivis, ni le temps qu'ils ont mis à les parcourir.

620. L'équation (5) montre que si les points mobiles occupent la même position k deux époques différentes t et ^09 la somme des forces vives aura la même valeur à ces deux époques. On aura dans ce cas

\ wp' — \ nip] = o ,

pourvu que, les coordonnées des points reprenant les mêmes valeurs, la fonction y(x,j^, ^yX'^ . . .) reprenne aussi la même valeur. C'est ce qui pourrait ne pas avoir

2l8 COURS DE MÉGAHIQUB.

lieu. Par exemple» si dans *

(JLdv -hYdx -hZdz)

jc(Iy ' Y dx

ion a une partie telle que — '— — —^ — auî est la dîfférentielie d'un arc d, dont la tangente est -> si le point m re-

vient à la position qu'il a déjà occupée en tournant toujours dans le même sens autour d'un axe, quelle que soit la courbe décrite, l'angle 0 aura augmenté de aTr, de sorte que la fonction/* dans laquelle entre d n'aura pas repris sa valeur primitive.

621 • L'expression \ (Xdx-f-Yrf^-i-Zrfz) est la différentielle exacte d'une fonction de jr,j^, z,:r', . . . quand les forces motrices sont constamment dirigées vers des centres fixes, et qu'elles sont fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Cela arrive aussi quand les forces proviennent d'attractions ou de répulsions mutuelles entre les points du système, actions dont les intensités sont fonctions des distances des points entre lesquels elles s'exercent.