DES FORCES VIVES DANS LE MOUVEMENT RELATIF
625. L'équation des forces vives s'applique au mouvement relatif d'un système quelconque par rapport à son centre de gravité, pourvu que dans ce système il n'existe aucun point fixe, ni aucun point assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface fixe.
Soient Gxi, G/i, G^i, trois axes parallèles à trois axes fixes Ox, O^, Oz et menés par le centre de gravité G(xi,/i,Zi) à une époque quelconque. Désignons par Ç, n, Ç les coordonnées d'un point quelconque M (x,j^, z) par rapport à ces axes mobiles. On aura
Nommons v la vitesse du point M, et cû sa vitesse relative, c*est-à-dirc sa vitesse apparente pour un observateur placé en G et qui serait entraîné avec les axes mobiles. Soit enfin v^ la vitesse du point G.
On a
COURS DE MÉCAMIQUB.
dt'
d'où, à cause des équations (i),
P'zrr
dx\ -+- dy] -\- dz] dV -4- dn^ -h d^^
dt
de
ou
\dt dt~^ dt dt dt dt) » \dt dt dt dt dt dt)
Multiplions par m les deux membres de cette équation et ajoutons toutes les équations analogues relatives aux autres points du système. Si Ton observe que
~~ ^^ ^^ dt 2L ^f €it Zd ^ ~~ ^'
puisque l'origine G étant le centre de gravité, on a \ m^ = o, . . . , et par suite \ m — ^ = o, . . . , l'équition résultante se réduit à
ou
en désignant par M la masse totale du système.
Ainsi (et cette conséquence s'applique à un système quelconque lors même qu'il ne serait pas entièremeDt libre dans Tespace), la somme des forces "vives des points dans leur mou\^ment absolu est égale, à chaque insttmi, à la même somme considérée dans le mouvement relatif autour du centre de gravité, augmentée du protluit de la
QUARÀNTE-BUITlfeMB LEÇON. 223
masse totale du système multipliée par le carré de la "vitesse du centre de gravai té,
626. Revenons à l'hypothèse primitive, en vertu de laquelle on suppose le système entièrement libre. Substituant à\ m(^' la valeur précédente dans Téquation
on a
dMv
(5) l =:2y(X^a:. -i-Yrfr, -+-Zrf«.)
Or de
M-—' dt
on tire
iy(X//Ç-f-Yrfii-f-Z^Ç).
id'^Xxdxx -4- %d'^r\dyx'¥ T^d-Zydz^ M H ï
OU
donc l'équation (5) se réduit à
^/Vntw'nzay (XrfÇ-f-yrf», -f-Z/fÇ).
Cette équation exprime que, dans le mouvement relatif d'un système absolument libre, autour de son centre de gravité, la difTérentielle de la somme des forces vives des points du système est égale au double de la somme des quantités de travail apparent des forces motrices.
QUARANTE-NEUVIÈME LEÇON
