rcctaugalaires ; soit m l'élément

de surface MmM'm' intercepté

entre quatre plans, parallèles

deux à deux aux plans xOx et

c Quand les accroissements J^x

et A^sontiuGnimeut petits, udcvien[d!v<^^i4-p*-i-ç'> p et f désignanl les dérivées parilcUea — et ~\ on aura donc

où ec représente une quantité qui devient nulle à la limite. Le 2 du centre de gravité de MmM'm' peut Être représenté par X -4- €, S devenant nul en mftme temps que Ax et A/, car ce point est compris entre deux plans parallèles au plan des xjr menés par le point le plus haut et par le point le plus bas de l'élément MmM'rR'. Dès lori le moment de l'élément par rapport au plan xOy »1

y étant une quantité qui s'évanouit avec ùx et ùy. Si l'on décompose de la même manière toute la surface conùdéréc, en appelant ll'aire de cette surface et X|, Ytt ^1 les coordonnées de son centre de gravité, on aura

(a) U, = 2iM^i-\-p' + q'àx&x-h ïlyA* Aj-.

Or, puisque cette équation subsiste, quels que soient Ax et Aj-, elle sera encore vraie qtund ces accroisse-

CIKQUlkME LEÇON. 45

xnents seront inâniment petits. Mais alors

donc enfin

(3) >2i=/ / s^i-hp^-hq^iùedy

Eji opérant de cette manière par rapport aux trois plans coordonnés, on aura, pour déterminer les inconnues Xi, j^t, Zij les équations

(4) j ir. =ffr'''

61 tenant la place de yx-î-pM-^ ^x ^. On a d'ailleurs

73. Quant aux limites de ces diverses intégrales, elles sont faciles à assigner. Si

sont les valeurs de jr correspondant à deux points qui, sur la projection du contour de la surface sur le plan xy^ ont le même x, il faudra intégrer d'abord par rapport a jTj en considérant x comme une constante, depuis jr = (y (x) jusqu'à jr = ^ (x). On intégrera ensuite par rapport à x, depuis x= a jusqu'à x = &, en supposant que

soient les équations des plans menés parallèlement au plan des zy, par les points extrêmes du contour, a étant moindre que b.

C0UE8 DE KÉCÀHIQUS.

CENTRE DE GRAVITÉ DES FIGUEES PLAIIES.

74. Les formules (4) se simplifient lorsque la surface est plane. Si Ton prend le plan de cette figure pour plan des xy^ on aura

dz dz

et les formules (4) et (5) se réduisent aux suivantes :

X dx dyj

jrdxd/.

Fig. 38.

75. C'est ce que Ton peut d'ailleurs trouver directement. En effet, soient y et y' les ordonnées des courbes CD et C'iy, correspondant à une même abscisse, et posons

OA = fl, OB = b.

On a d'abord

a Ja J y

Maintenant si, par les points infiniment voisins M(x, y) et W [x^dx^ y-k- dy") pris sur la surface, on mène HH' et RK' parallèles à Taxe Oy^ on formera une tranche EKH'K' qui différera infiniment peu du rectangle HHTI obtenu en menant HI et H^I' parallèles àOx.

Le centre de gravité g de cette tranche est infiniment voisin du centre de gravité du rectangle, et par suite du milieu de VSB!. On peut donc, en négligeant des quantités

infiniment petites, prendre x et

pour les coor-

CINQUIEME LEÇOn. 4?

données dn centre de gravité de la tranche HKK^H'; or cette tranche a pour mesure (y — j') dx. Donc son moment par rapport à Oj- est (jr-^y) x dx^ et son moment

par rapport à Ox est - ( j* — y^) dx, ce qui donne

formules qui reyiennent à celles qu'on a trouvées plus haut (74).

Cette démonstration pourrait être rendue tout à fait rigoureuse par la méthode des limites.

APPLICATIONS. — TRIAUGLE.

Rg.ao.

76. Prenons deux axes rectangulaires Ax, Kj^ passant par le sommet Â^ et dont Tun Kx soit perpendiculaire au côté BC. Soit AD = h. Nommons X| et y y les coordonnées du centre de gravité G, et A la u — ÎT* surface ABC. Soient

(i) yz=mx^ jr'zzzm'x

les équations des droites AB et AC. On aura

Jo •/o -^

ix.= /* {j-x')xdx=Ç (m-m')x'dx=:'^'"~^">^\

d^où l'on conclut

a - (m H- m') h '. = 3*, jr-= 3

48 COURS DE KÉCAHIQUB

Or le point F, milieu de BC, a pour coordonnées

donc le centre de gravité du triangle ÂBC est sur la

ligne médiane AF et aux -^ de cette ligne à partir du sommet.

Tî. Soit

PAKÀBOLB.

jr^ == 2/?X

Féquation de la parabole rapportée à son axe et a la tan- Flg 3o gente au sommet. Proposons-

nous de trouver le centre de gravite du segment OAD. G>mme la courbe dont Tordonnéc était désignée par y Mans le cas général se confond avec Taxe des x, on a jr' = o, et les formules générales (7) et (8) du n^ 75 se réduisent h

>=/ jrdXf \Xi= j xxdx, !«, = - 1 j^dz.

On aura donc

^ap . X* d!r = - X ^a/>x,

^2/> • X* lir = ^ 4r ^2/iX,

>J,= / pxe

Par conséquent (3) x. = gx, rt = 4VT = 8-^

CINQUIÈME LEÇON. 49