On tire de ces formules diverses conséquences

Soit u la vitesse commune aux deux centres de gravité, an moment où la compression est la plus grande. On a (631)

iwp -4- iwV

mais

__ î3i(/wp-|- m'p')

donc

y=z:iu — p.

On trouvera de même

Donc la vitesse de chaque corps au milieu du choc est la moyenne arithmétique entre sa vitesse avant le choc et sa vitesse après le choc.

L'équation

V — Vr=p — p'

fait voir encore que la vitesse relative avec laquelle le centre de gravité C s^éloigne de G après le choc est égale à celle avec laquelle il s'en approchait à l'instant où le choc a eu lieu.

EXAMEN DE QUELQUES CAS PAKTICULlEnS.

636. 3î 1g corps C est en repos au moment où C vient le rencontrer, (^' = o, et si les deux corps sont mous, la

a3o COUmS DE MéCAllIQUE.

vitesse après le choc est (631 )

ni'^m'

On ne peut avoir u =r o que si la masse m' est infiniment grande par rapport à la masse m. C'est ce qui arrive pour les corps mous tombant à la surface de la terre.

637. II n'en est plus de même si les corps sont parfaitement élastiques. Dans ce cas, les formules (4)t n^ 634, donnent

m -h m' m -f- ni

Si m est infiniment grande par rapport à m, on a

Vr^— p, V't o.

Ainsi le corps choqué demeure en repos, tandis que Taulre est réfléchi en sens contraire avec une vitesse égale à celle avec laquelle il est venu rencontrer le premier.

CVst ce qui arrive lorsqu'une sphère élastique pesaDtf tombe d'une certaine hauteur sur un plan fixe horixonlal qui est lui-même élastique. Elle doit remonter, par Ii réaction du plan fixe, jusqu\î son point de départ.

638. Quand les deux masses m et m' sont égales, si les deux corps sont mous, leur vitesse commune après le choc sera

c'est-à-dire la moyenne entre les vitesses des deux corps avant le choc.

Si les deux corps sont parfaitement élastiques, ils ne feront qu'échanger leur vitesse, car en faisant m=r: fti les formules (4)> n^ 634, donnent

QnABADFTB-lfETTTIÊVB LVÇOIC. sSl

Donc, si Tun des corps était en repos, Tantre restera immobile après le choc et lui transmettra sa vitesse, car si i'' =z o, on aura V = o, V'= %f.

C'est ce qui arrive qnand une bille C vient en choquer

une autre C^ La même chose aurait lieu si un nombre

Fig. 173. quelconque de billes égales

C, C, Q'" en repos et parfaitement élastiques étaient choquées par une bille élastiqueC et de même masse, suivant la droite qui passe par leurs centres. On verra facilement que toutes les billes, excepté la dernière, resteront en repos et que la bille C*' seule se déplacera avec la vitesse même qu'avait la première au moment du choc. Toutes ces conséquences sont vérifiées par rexpérience.

TnÉORÈUE OE CARirOT.

639. La somme des forces vives ne change pas par TeQet du choc quand les corps sont parfaitement élastiques : c'est ce que montre Téquation du n^ 633. Mais lorsqu'ils sont mous, elle diminue et la différence est égale k la somme des forces vives dues aux vitesses acquises ou perdues par les deux corps. En edet, cette différence exprimée par mi^*4- mV* — {m-{- m!) u* est égale à

mp*-f- mV»-4- (m -1- m')u^ — ^[m -^ m')u.u =:mv^-\- iiî'f''-f-(m -f- m'ja' — 2(mp-f- m'v') m,

en remplaçant {m + m') u par mi^ -h mV. On a donc en réduisant

mv*-\- m' 9"^ — (m -f- m') tt'= /w(p — w)*-f- m' (a — «/)%

équation qui démontre le principe énoncé.

a3a COURS de mécamique.

On peut encore mettre cette perte de force vive sons

mm*

la forme ; (m — i^')', en remplaçant dans le deuxième

membre de l'expression u par sa yaleur.