C — AA „, G' — BA
c'est l'équation du cône décrit dans le corps par l'axe £« OG.
673. Pour que ce c6ne et le précédent ne soient pu imaginairesjilfaut que les quantités G* — A A, G' — BA, G' — Ch ne soient pas toutes trois de même sîgoe. Dooc, en supposant A >> B ^ C, il faut que l'on ait
G^ — Ai <o, C — Ch Z> o.
Selon que la quantité G' — B/i sera négative ou posidie, ces deux cônes seront coupés snivanl des ellipses pjt tout planpcrpen(litnlaii(! à l'ase du plus |>etit momeDl
CINQUANTE ET DIVIÈME LEÇOH. a6l
constants. On a donc
dp -=2 Oy dg =z o, dr =fo^ ce qui donne
(B — A)pq=o, (C— B)7r = o, (A — C)/7r=o,
d'où
p = Oj q = Oy r = n.
MOUVEMEUT D^UHr CORPS SOLIUE ENTIEREMENT LIBRE.
675. Le mouvement d^un corps solide libre, sollicité par des forces données, sera connu quand on pourra déterminer le mouvement absolu d'un de ses points et le mouvement relatif de tout autre point du corps autour de celui-là. Si G est le point particulier du corps dont on considère le mouvement absolu, il faudra concevoir qu'il emporte avec lui, dans son mouvement, trois axes Gx^ Gy, Gz^ constamment parallèles à eux-mêmes, par rapport auxquels on cbcrclicra le mouvement de chaque point M du corps. Si Ton a seulement pour but de décomposer le mouvement du point M en d'autres plus simples et plus faciles à concevoir, on pourra, comme cela a été dit, choisir à volonté le point dont on considère le mouvement de translation. Mais, dans l'application, il est avantageux de prendre le centre de gravité. En effet, d'après le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité, il suffit de connaître les forces motrices du système et sa masse, pour déterminer le mouvement de ce point, et de plus^ quand ce corps est mis en mouvement par des percussions, il suffit, pour déterminer la vitesse initiale du centre de gravité, d'y transporter les quantités de mouvement qui mesurent les percussions et de les composer comme des forces : la résultante est la quantité de mouvement initiale du centre de gravité.
36s COUDS DE UÉCAltlQOB.
Enfio, an autre avantage consiste eu ce qne, tous /'aeeûn fies forces motrices le mouvement tîe rotation autour dt centre de gravité est le même que si ce point était Jue. C'est ce que bous allons prouver.
676. Soient ^, ïi, ^ les coordonnées du point M pu rapport aux axes mobiles Gx, Gy, Gx et désignons pir X, Y, Z les composantes de la force motrice appliquée en ce point. On a, d'après le principe des aîres,
-îï)=E<^"-''"-
Or on aurai[ précisément les mêmes équations si le ce de gravité était tîxe. Par conséquent, si ces équationi iq'fisenl pour déterminerle mouvement, il doit cire te m pour le corps dont le ci'nirL' de gravité serait fixe et poW le miimc corps dont ii; contre de gravité serait mobile Soient en ell'et GA, Giî, (iC trois axes reclaiigulaif»
CINQUANTE ET UNIÈME LEÇON. ^63
677. Mous allons donner une démonstration synthétique de cette proposition. Désignons par cp la force ac-
^*"- *'?^- célératrice du centre de gravité
G, force qui a pour composantes parallèles aux axes fixes
^ HF' "5^' IIF' "^" •^" ^'
étant les coordonnées du point G par rapport à trois axes fixes OX, OY, OZ. La résultante de toutes les forces motrices des points du corps transportées au centre de gravité G, parallèlement à elles-mêmes, est Mcf, M étant la masse du corps (600). Or, pour avoir le mouvement relatif du point M par rapport au point G, il suffit de considérer ce dernier point comme fixe et de soumettre à chaque instant le point M à Taction simultanée de sa force effective Q et d'une autre force égale à mcp, parallèle à la force accélératrice cp du point G, mais agissant en sens contraire. Or les forces telles que m(f étant parallèles entre elles et proportionnelles aux masses des molécules, se composent en une seule Mcp qui passe par le centre de gravité et se trouve détruite continuellement, puisque c'est autour du point G rendu fixe que le corps tourne actuellement. Il reste alors, comme forces propres à faire mouvoir le solide, les forces effectives, qui, d'après le principe de d'Alcmbert, peuvent être remplacées par les forces motrices données P, P', P^',..., puisque les unes comme les autres font à chaque instant équilibre aux forces effectives prises en sens contraire. Il suit de là que le corps tourne autour du centre de gravité comme si ce point était fixe, en supposant le corps soumis dans les deux cas aux mêmes forces motrices, sans en ajouter de nouvelles.
678. On n^arriverait pas k la même conclusion si Ton considérait le mouvement relatif antour d'un point
264 COCRS DE MÉCAHIQCe.
(Quelconque C, aulre que le centre de graTilé. r? 4lut alors la force accélératrice Ju point C, toutes les Kntt5 parallèles et de sens contraire, telles que ni-i, qoll faudrait appliquer aux autres points, pour kvoir k mouvcnicnt relatif autour du point C suppo&é Ëk, k coiuposeroot en une seule M :> appliquée au point G, a sorte qu'il faudrait joindre cette résultante aux força motrices données pour avoir le nii>uveinent relatif aaion du point C. En général les fones X, Y, Z dépendentiia coordonnées :r, ^, z ou de la position des poînis JoUtriels, co sorte que le niouvenieni du centre de gratilêa celui des parties du corps autour de ce centre dépeadeiil l'un de l'autre. Mais quand les forces X, Y, Z, comme li pesanteur, ne dépendent pas de la position du mobilt on peut déterminer séparément le niuuvemeat du cenW de graïité et celui du syslème.
MOUVEMEBT 1
ELLIPSOÏD
679. Prenons pour exemple un ellipsoïde pesant. Snp posons que ce corps reçoive une impulsion dirigécdaiulf plan d'une de ses secttous principales AGB. Après tri»
CINQUANTE ET VmÈME LEÇON. ^65
cules du corps, se réduisant à une force unique appliquée au centre de gravité, n'auront aucune influence sur le mouvement de rotation autour de ce point, qui sera dû uniquement a la percussion initiale et sera le même que si le centre de gravité était fixe. Or la percussion agissant dans le plan AGB perpendiculaire a Taxe GC, qui est un des trois axes d'inertie principaux relatifs au point G, le corps devra tourner indéfiniment autour de Taxe GG comme sMl était fixe, et son mouvement sera . uniforme. Si Ton appelle a> la vitesse de rotation autour de GG Qlf la distance de la percussion à cet axe, on aura
mr^
\ mr* étant le moment d'inertie du corps par rapport
i GA. En appelant 2 a, 26, 2 c les axes de Tellipsoïde, on a
ujr' = 9
ainsi
co
On peut encore écrire, en remplaçant (i^ par Mt^i,
ÇA
formule qui fait connaître le rapport de la vitesse angulaire à la vitesse initiale du centre de gravité.
COCBS DK MÉCÂHIQCB.
CINQUANTE-DEUXIÈME LEÇON
