MOUVEMENT DUNE CORDE VIBRANTE
Équations générales du monvement. — Cas des petites Tîbrations. — Vibrations transversales. — Vibrations longitudinales.
Fi(j. 176.
681. Soît une corde homogène parfaitement flexiUe, élastique et un peu extensible, d'une épaisseur constante
et tpès-petite, leodue suivant sa loBgueur par une fom équivalente à on poids donné u d attachée par ses extrémités aux points fixes A et B. On néglige son poids par rapport à o, et par conséquent elle forme une ligne droite ANB dans son état d'équilibre. Supposons qu'on Técarte un peu de la position d'équilibre ANB et qu'en même temps on imprime à tous ces points de petites vitesses. Alors elle vibrera autour de la droite AB, et il s'agit de déterminer la position et la vitesse de chacun de ses points à no instant quelconque.
Soit AMB la courbe plane ou à double courbure que forme la corde à une époque quelconque. Prenons trois axes rectangulaires Ax, Ay^ Az ; un point quelconque qui se trouve d'abord en N sur la droite AB viendra, la bout du temps ty occuper une autre position M voisio^ de la première. Posons
CIRQUÂHTE- DEUXIEME LEÇON. 267
Les coordonnées du point qui est en N dans la position d'é(]uilibre sont .r, o, o et dans le mouvement, x -h ii, j^ z. Ces déplacements des points de la corde étant trèspetits, M, y, z ont toujours des valeurs très-petites qui sont fonctions du temps t et de x, et la question consiste à trouver leurs expressions en fonction de ces deux variables indépendantes.
Désignons par els la longueur de la portion de corde infiniment petite MM' qui correspond à Téiément INN' = dx dans Tétat de repos. On établit une relation très-simple entre ds et dx, en exprimant que NN' et MM' ont la même masse. Soit e le produit de la section normale de la corde par sa densité au point M, dans la position AMB.
eds est la masse.de MM' et celle de NN' est—, dx. en dé-
signant par p le poids de la corde et par / sa longueur primitive A6. On a donc
(l) sds= ^.dx»
Appliquons maintenant le principe de d'Alembert. Les composantes de la force accélératrice du point M sont
dT^ ' 'dt^' W*' ^" ~dF' 'dF^ "dp'
puisque x est indépendante du temps t. Si nous appelons Xy Y, Z les composantes de la force accélératrice du point M9 ou de la force motrice rapportée à Tunité de masse, celle de la force perdue pour Télément- e ds sont
Ces forces devant à chaque instant se faire équilibre, on a, d'après les formules qui expriment les conditions d'équilibre d*un fil soumis à l'action de forces quelconques (405) et en appelant T la tension au point M
a68 COURS DE MÉCÀIfIQUS*
(c'est-à-dire raction des deux parties AM et MB)^
Si Ton néglige les forces X, T, Z, ainsi que la pesanteur, ces équations deviennent, en remplaçant fir
par ~ d/x.
d(x'Jr u)
ds
dy^ ds
I gl dO '
\ ^j/ gl dt'
