Si le côté AB est à fleur d'eau, on a c = o et

Ut "^ *

2(fl -h ib) Quand le trapèze est horizontal, on a

sina = o, 1/, = -— 7—-,

et le centre de pression coïncide avec le centre de gravité.

718. Quand la surface plongée dans le liquide est courbe, la pression totale qu^elle supporte n'est pas la somme des pressions exercées sur ses éléments, parce que celles-ci ne sont pas parallèles. En général ces pressions n'ont pas de résultante unique et se réduisent à deux forces non situées dans le même plan ou à une force et un couple.

PRI^XIPE n'ARCniMÈDE.

719. Quand un corps pesant est plongé dans un /ïçuidcj les pressions exercées sur sa surface ont une rfsultante unique,^ égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre de grav>ité de cette partie du fluide , supposée solidifiée.

Supposons d'abord que le corps soit entièrement plongé dans le fluide et considérons un élément quelconque *à de sa surface. Soit^ la pression, rapportée à Tunité de surface, exercée en ce point : ^oi> est la pression supportée

CINQUAflTE-QUATRIÈME LEÇON. 299

par rëlément a>. Désignons par X, /x, v les angles que la Fig. 184. normale fait avec trois axes

rectangulaires. Les composantes de p Cl) suivant ces axes sont ptù cosX, ptù cos/x, p(ù cosy, ou pa^ pb^ pc, en appelant a, &, c les projections de Télément oi> sur les trois plans coordonnés.

Or toutes les composantes telles que pa se détruisent deux à deux. En eflet, le petit cylindre «a prolongé découpe sur le côté opposé de la surface un petit élément Cl)' dont la projection sur le plan^Oz est égale k a. La pression sur w', rapportée à Tunité de surface, estp, parce que oi> et (ù' sont à la même profondeur. Donc la composante de la pression totale p(M>' exercée sur o)' et parallèle à Ox est égale à pa, et comme elle agit en sens contraire de celle qui s'exerce sur o), elle la détruit. On verrait de même que toutes les composantes parallèles à Ojr de toutes les pressions se détruisent deux à deux. Il ne reste donc plus à considérer que les composantes verticales.

Le petit cylindre vertical dont la base est oi> découpe sur la partie supérieure de la surface un autre élément Ui dont la projection sur le plan xOjr est c. Donc si pi est la pression en a)|, rapportée à l'unité de surface, le petit cylindre eo coi est soumis à une pression verticale s'exerçant de bas en baut et égale à (p — Pt) c, et comme P=^ Spz-^X3^ CT étant une constante, on aura

en appelant p la densité du fluide supposée constante, Zi le z de réiémenl a)|, /la longueur du petit filet cylindrique compris entre gd et (ùt. Cette pression équivaut donc au poids du fluide dont ce petit filet tient la place. En décomposant le corps en filets verticaux infiniment

3oO COURS DE MÉCAHIQUE.

minces, chaque ûlet est pressé de bas en hani par une semblable force, et Ton conclut de là que toutes les pressions exercées sur le corps se composent en une seule force verticale agissant en sens contraire de la pesanteur, égale au poids du fluide dont le corps tient la place et appliquée au centre de gravité de cette masse fluide. La résultante de toutes ces pressions se nomme la poussée du fluide.

720. Le principe d'Ârchimède subsiste quand le corps n'est plongé qu'en partie dans le fluide. On verrait d'abord,

comme précédemment, que les pressions horizontales se détruisent; puis, si le cylindre vertical co'oi)'| a une partie en dehors du fluide, les composantes verticales des pressions exercées en w' et co', seront p'= {gp z-\-n)cctnc^de sorte qu'en prenan t leur dilTércnce, la parlie commune disparaîtra et la pression sera égale au poids d'un volume de liquide égal à la partie du cylindre plongée dans le liquide.

721 . Le théorème d'Archimède a encore lieu quand la densité p n'est pas la même à toutes les profondeurs, car les pressions horizontales se détruisant, la pression verticale supportée par le cylindre o) (m>i serait

en observant qu'on a toujours

gpdz

cr

a étant la valeur de z pour laquelle on a ^ = ci. Or 1 gpcdz est le poids du fluide déplacé.

cimquante-quathicme leçon. 3oi

722. Le principe d'Archimède peut encore se démontrer de la manière suivante : Séparons par la pensée, dans un fluide en équilibre, une partie quelconque de sa masse. Elle est en équilibre et le sera encore si nous la supposons solidifiée. Mais alors toutes les pressions exercées contre sa surface par le fluide environnant doivent se réduire à une seule égale, et directement contraire à son poids. Il est clair que ces pressions auront encore la même résultante, si Ton substitue à cette masse de fluide solidifiée un corps solide quelconque de même forme : ce qui démontre le principe énoncé.

723. Quand le poids d'un corps est égal au poids d'un égal volume du fluide dans lequel il plonge, ce corps reste en équilibre à toutes les profondeurs, pourvu que son centre de gravité et celui du volume du fluide déplacé soient sur la même verticale. Le corps descend au fond du vase ou remonte à la surface selon que son poids est supérieur ou inférieur à celui du fluide déplacé. Dans ce dernier cas, le corps doit être en partie au-dessus du niveau supérieur, et l'équilibre ne s'établit que lorsque le poids du liquide déplacé est égal au poids du corps.

724. Quand on pèse un corps dans un fluide, on n'obtient pas son véritable poids, mais seulement l'excès de ce poids sur celui du fluide déplacé. Si P est le poids du corps et P' celui d'un égal volume de liquide, D la densité vraie, p la densité apparente, on a

d'où

DP'

725. Le principe d'Archimède subsiste et sa démons* tration est la même dans le cas où l'on considère un fluide contenu dans un vase : on en conclut que la résultante

302 COURS DE UÉCAIIIQITB.

des pressions d'un fluide sur les parois du vase qui le contieut est égale au poids du fluide. II faut bien distinguer celte pression de celle que supporte la paroi boriionulc inférieure, ijui peut £tre plus grande ou pins petite qne le poids du tluide. Si l'on fait une ouverture à Vimeda parois latérales, la pression n'ayant plus lieu sur la portion de la paroi qu'on a enlevée, celle qui s'exerce sor b paroi opposée ne sera plus détruite, et le vase sera dû en mouvement en sens contraire de 1^ écoulement da liquide. C'est là le principe des différentes macfaines diies à réatlion.

CIHQOAMTE-CIIIQIJIÈME LEÇOB.

CINQUANTE-CINQUIÈME LEÇON