CDE

r étant le rapport de la densité du prisme à celle du liquide. Il faudra en outre que les centres de gravité G et H de ces deux triangles soient sur une même perpendiculaire à DE. Soient

CA=/7, CB=6, AB = c, CK = ^, CD=:j:, CE=/,

3o4 COURS DE MÉCAHIQUB.

xety sont les deux inconnues qu'il s'agit de dé Or on a

surfCAB zzz-ab sinC. surf CDE = ^ jrr sinC»

d'où

(i) xx:=irab.

D'un autre côté, GH est perpendiculaire à DE ainsi que FK qui lui est parallèle, et comme DF = FE, il s^ensait qu'on a KD = KE. Réciproquement, si KD = KE, la droite KF et par suite GH sera perpendiculaire à DE. Or si Ton nomme a et ë les angles ACK et BCK, on a

KD =j:'-i-/i2 — 2/urcosa, KE =^=4- A' — 2/p>^co$6; donc, puisque KD = KE,

(2) x^ — 2Aa:cosa=/^ — ^hy co%Z.

En éliminant y entre les équations (i) et ( a), on trouve

(3) x^ — 2/icosa..r^ + nrhab cos6..r — r^a^ ù^ =zo.

Cette équation, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, Tune positive, l'autre négative. Cette dernière doit être rejetée, puisque la ligne DE doit ôtre comprise dans l'intérieur du triangle ABC. D'après la règle de Descartes, si les angles a et o sont .11gus et si l'équation (3) a toutes ses racines réelles, elle aura trois racines positives et une racine négative. Celleci est inadmissible^ et l'on rejettera de même comme étrangère à la question une racine qui surpasserait a oa qui donnerait pour y une valeur plus grande que t. Il y a donc au plus trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet seul est plongé dans le liquide.

727. Le problème précédent revient à mener par un point donné K une normale à une hyperbole ayant pour

CIKQUANTE-CINQCIÈME LEÇOIf. 3o5

asymptotes CA et CB. En effet, si Ton mène dans Tanglc ACB difTércntes droites, telles que DE, formant des triangles DCE équivalents entre eux, le milieu de chaque droite DE se trouve sur une hyperbole ayant CA et CB pour asymptotes, et cette courbe est tangente à DE. La droite KF étant perpendiculaire à DE, la question revient à mener par le point K une normale à celte hyperbole. On sait qu'on peut en général en mener quatre, dont Tune aboutit à la branche située dans Tangle opposé à Tangle ACB.