Un corps solide étant plongé dans un liquide, le
centre de gravité G de ce corps et celui H de la partie
Fig. 187. immergée doivent être sur une
même verticale perpendiculaire au plan de flottaison ABCD.
Supposons que l'on écarte un peu le corps de sa position d^é-quilibre et que tous ses points reçoivent de petites vitesses. Soil A'B' CD' la section faite dans le corps par le nouveau plan de flottaison, le premier étant venu en ABCD.
Par le centre de gravité I de la section ABCD menons un plan AB''CD^ parallèle au plan horizontal A'B'C'D' et qui coupe ABCD suivant la droite AIC. Désignons par e l'angle des deux plans ABCD, AB^ CD^ et par f la distance du point I au plan A'B'C'D', cette distance étant positive ou négative suivant que le point I est situé audessous ou au-dessus du niveau du liquide.
Pour résoudre la question de stabilité, nous ferons usage du principe des forces vives. Un clément de masse dm du corps flottant est sollicité par son poids ^//m, force Terticale. La partie du corps plongée dans le liquide est soumise, en outre, à la poussée, qui équivaut au poids du liquide déplacé, et qui agit verticalement au centre de gravité du liquide dont le corps occu^ie la place, en sens contraire de la pesanteur. La poussée du liquide peut donc être remplacée par de petites forces verticales, en appliquant à chaque élément de masse dm situé au-dessous du niveau une force égale et contraire au poids du Tolume d^eau dont cet élément de masse tient la place. Cette dernière force est gpdvf^ en appelant dv le volume occupé par Télémeot dm et p la densité du fluide. La ré-
3o8 COURS DE MÉCANIQUB.
5ultante de toutes ces petites forces est la même que celle des pressions exercées par le fluide sur la surface immergée du corps flottant. Ainsi, pour chaque point matériel dm de ce corps, les composantes X, T, Z de la force motrice sont
X = o, Y = o, Zr=gdm ou gfim — gpàR^
selon que la molécule dm est au-dessus ou au-dessous du
niveau du fluide. Donc on a 9 - q étant la somme des
quantités de travail des forces motrices dans le temps
écoulé t,
^ =:; 2 l dz\ gdm — 2 / dz\ gpdà^
ou
(i) ff=:tg\zdm'- 2gp\zdv^
la première somme > zdm comprenant toute la masse
du corps et la seconde seulement la partie plongée. On a donc, d'après le principe des forces vives et u désignant la vitesse de la molécule dm^
(2) \u''dm=:C-h2.lg\zdm — gp\ zdvy
Or \ zdm = Mzi, M étant la masse du corps et x^ le z
de son centre de gravité G. D'ailleurs M = Vp, V étant le volume de la partie immergée, quand le corps est en équilibre. On a donc
(3) \ zdm=zMzx^=\pZi,
Il faut maintenant calculer \ zdv^. Partageons cette somme en deux parties, Tune relative à la partie ABCDL
GIlVQUÀNTB-CIlfQUlkMB LEÇON. Sog
du volume V limiiéc à la section A6CD et l'autre à la partie comprise entre ABCD et A'B'C'D'. La première est égale à Vje', z* étant le z du centre de gravité H de la masse totale du fluide. En désignant par h la seconde, on a
(4) \u}dm — C -+- 25^Vp (s, — «') — -x^^k.
Or soit GH = a. Si l'on projette cette droite sur la verticale du point G, on voit que z^ — z' = qi a cos9, suivant que H est au-dessus ou au-dessous de G. Il faut maintenant calculer h.
Considérons, à cet effet, un élément de surface d\ en un point m, sur la section ABCD, et projetons-le, par un petit cylindre vertical TnTn\ sur le plan de flottaison A'B'C'D'. Sa projection est dX cosd. Pour calculer dk ou
la partie às\ zâxf relative a ce petit cylindre, décomposons-le en une infinité d'éléments par des plans horizontaux. On aura pour l'un d'entre eux
dv = dzd\ cosO , zdv = tdzdX cosO.
Donc, en posant mm' =^,
dÂ- :.- I zdzdl cosQ =^ dlcosB.
On peut exprimer y en fonction de p et de 0. En effet, abaissons mn = /perpendiculaire sur Ac. Si l'on projette mn sur mm\ on a mm' ouj = ^ -f- /sin9, / étant positive ou négative suivant que mn est au-dessous ou audessus de AC. Donc
rfA = i (Ç -f- / sinôV c/X cosô
OU
dA = -C'cosO</X -h Çsinô cosB.ldl H — sin*9cos9./'^).. a a
3lD COURS DE xâCÀVIQUE.
On aura donc
à=- Ç^cosoV i/X-l-Çsin «cosdV /<<X+ ism^OcosoV/* A,
expressions où toutes les sommes s'étendent k toas ks éléments de la section ABCD. Soient b l'aire Â6CD etfi le moment d'inertie de cette section par rapport a AK. On a
y c/X = b, Sjdl =o, ^i*^ = ft. Donc
Substituant dans l'équation (4)i on a
lf%\ ( ^ "'^'w = C:^ 2g'Vpacosô — ^p6(*cos0 ( — g'pttsin'ô cosô -+- c.
Nous ajoutons e, parce que dans le calcul de k doss avons pris, au lieu du volume ABCD A'B' CD', celui d'un cylindre vertical ayant pour base ABCD et limité au plan A'B'C'D' : de sorte que e est un infiniment petit (h troisième ordre au moins.
Maintenant 9 et Ç étant des quantités très-petites, oo
peut négliger 6* et Ç', et remplacer cosô par i » sin^
par 9. En désignant par c la constante Czpag^pa, Téquation (5) devient
(6) Su^dm =zc^ gpb^' ~ gp (f^qp V«) 0»
On détermine c d'après l'état du corps flottant à rorigînf du mouvement. On suppose connues les valeurs iiiî* tiales de^et de d, ainsi que les vitesses initiales de tous les points du corps. Comme toutes ces quantités peavcol
CINQUAUTE- CINQUIÈME LEÇON. 3ll
être prises aussi petites que l'on yeut, il en résulte que la constante c peut être supposée aussi petite qu'on voudra.
731. Pour déduire de Téquation (a) les conditions de stabilité de l'équilibre du corps flottant, il faut distinguer deux cas.
En premier lieu, si le centre de gravité G du corps est au-dessous de celui du fluide déplacé H, Téquilibre est toujours stable. En effet, l'équation (a) est alors
II» d>ii = i? — ^pftp — ^p (pi -f- Va)0« -I- •,
La valeur de c qu'on détermine d'après les valeurs initiales de (x, ^, 0, qu'on suppose très-petites, est positive et très-petite. Les quantités ^ elB ne peuvent pas croître assez pour que la somme gpb^* -h gp (pi +Va)d* devienne plus grande que 2c; car si cette somme devenait égale i ac, la quantité € étant au moins du troisième ordre, le second membre de l'équation précédente serait négatif et
on auraitN ii*rfm<^o, ce qui est absurde. Il en résulte
que dans le mouvement du système on a toujours
On pourrait démontrer de la même manière qu*on a
te
S'p(fi^-Va)
l'étant un nombre quelconque plus grand que l'unité.
Donc, comme c est une quantité positive très-petite et aussi petite que l'on veut, les valeurs des variables ^ elB resteront toujours très-petites et par conséquent le coi*ps s'éloignera fort peu de sa position d'équilibre.
3ia COURS DE MÉCANIQUE.
732. Quand le point G est au-dessous du point H, l'équation (a) est
La valeur de c reste positive si l'on a f* > Va, a l'origine du temps. Si (x ou le moment d'inertie de l'aire ABCD par rapport à la droite AIC reste plus grand que \ak toute époque, on verra comme précédemment que G et ^ resteront toujours extrêmement petites et l'équilibre sera stable. Il faudra dans ce cas que le moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à une droite quelconque passant par son centre de gravité I, soit plus grand que Va, parce que dans le déplacement infiniment petit du corps l'intersection des plans ABCD et AB^CD^ peut prendre toutes les positions possibles autour du point I* Donc il faut et il suffit que Va soit moindre que le plus petit moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à toutes les droites qu'on peut y mener par le point I. La ligne qui correspond à ce moment d'inertie minimum est ordinairement connue. Par exemple, dans un vaisseau, c'est la droite qui va de la proue à la poupe. C'est par rapport à cette ligne qu'il faut calculer le moment d'inertie de la section, et s'il est plus grand que Va, l'équilibre sera stable. Si fx devenait moindre que Va^ l'équation (2) ne ferait rieu connaître relativement à la stabilité de l'équilibre, parce que le second membre n'étant pas nécessairement négatif à une époque quelconque, on ne tombe pas sur la conséquence absurde que la somme des forcrt vives devienne négative, en supposant que p et 0 croissent indéfiniment.
DU MÉTACENTRE.
733. Soit s un corps solide flottant. Lorsqu'il est en équilibre, on sait que son centre de gravité G et celui H
CinQUÀlTTE-CINQUlkME LEÇON. 3l3
du volume de liquide déplacé sont sur une même perpendiculaire au plan de flottaison ABCD. Supposons que ce Fig. i8S. corps soit symétrique parrap-
port à un plan vertical BLD| lequel contient alors la droite KGH. Imaginons qu^on dérange un peu ce solide de sa position d'équilibre, tout en maintenant vertical le plan BDG. Ce plan contiendra donc toujours le centre de gravité de la masse fluide déplacée. Soit à un instant quelconque A'B'C'D' la section de niveau. Le centre de gravité du fluide déplacé A'B'C'D'L est un certain point H' et le corps peut être regardé comme se mouvant par l'action de deux forces : son poids P appliqué à son centre de gravité G et la poussée du fluide qui s'exerce en sens inverse suivant H'M. Le point M où la verticale H'M rencontre la droite KGH est ce qu'on appelle le métacentre. Pour avoir le mouvement du centre de gravité, il faut (600) supposer toute la masse du corps réunie en ce point et y supposer appliquées les deux forces verticales dont nous venons de parler. Elles se réduiront à une seule égale à leur différence. Si le volume de liquide déplacé est toujours égal à celui que le corps déplace dans sa position d'équilibre, ces deux forces sont égales et contraires, et alors le point G devra rester immobile, pourvu que le corps n'ait pas reçu de vitesse initiale. On aura ensuite le mouvement de rotation autour du centre de gravité en le supposant fixé, ce qui détruira le poids du corps, et la poussée du fluide appliquée en M le fera tourner autour d'un axe horizontal passant par G et perpendiculaire an plan de symétrie BLD. Mais ici il faut distinguer plusieurs cas.
Si dans ce mouvement le métacentre reste toujours an-dessus du point G, sur la droite HGK, la poussée du fluide tendra constamment à ramener cette droite dans
Sl4 COURS DE MÉCÀIlIQinB.
la position verticale qui répond à Téquilibre da corps. Donc cet équilibre est stable.
Si, au contraire, le métacentre est constamment audessous du centre de gravité, la poussée du flaide tendra i éloigner la droite KGH de la verticale, et Téquilibre du corps sera instable.
Enfin, si le métacentre peut être, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous du centre de gravité, la considération seule du métacentre ne fait plus rien connaître relativement à la stabilité de Téquilibre du corps flottant.
BE LA MEST7RE DES BAUTETTRS IPAIl LE BlROVàTmE.
734. La hauteur de la colonne de mercure dans le baromètre indique la pression exercée par Taîr atmosphérique dans le lieu où Ton observe. Cette pression dioiinue quand on s*élève verticalement. Il faut chercher la loi de sa variation en fonction de la hauteur verticale à laquelle on s'élève.
La pression ou force élastique de Tair dépend de sa densité et de sa température, en vertu de la loi de Mariotte et de celle de Gay-Lussac. Si Tair et différents gaz, soumis à une pression constante et la même pour tous, sont placés dans une enceinte dont la température varie, l'observation prouve que tous ces fluides se dilatent également pour des augmentations égales de température, indiquées par les degrés du thermomètre à mercure. La dilatation de Tair qui correspond à chaque degré du thermomètre centigrade est de o,oo366. Elle est à peu près la même pour tous les gaz, ainsi que pour les vapeurs.
Soient u la force élastique de Tair et D sa densité à la température zéro : la pression restant la même, soit D'ia densité de Tair à la température de 6 degrés. La masse d^air à la température zéro contenue dans l'unité de volume, étant portée à la température 0, occupera un volume ^al
CIKQUÀHTE-CIITQIIIÊMS LtSÇON. 3l5
à i + <x0, en désignant par a le coefficient de dilatation o,oo366 pour chaque degré d'accroissement de la tempe* rature. Les densités étant en raison inverse des volumes qu'occupe la même masse, on aura
