Relation entre les moments d'inertie par R.tppoBT a
F'C- ï^O- différents axes qui PASSE.Vr PAI
V, LE MÊME POINT. — Soît 01 UR aif
quelconque. Abaissons MH perpendiculaire sur 01. Soient a, 6, y les angles que 01 fait avec Ox, 0/, Oz, |x le moment d'inertie de tout le système par rapport à Taxe (M.
Posons
k^"^m{f^L% 0=2/11^3, B = V m (x'-f- z% E ^2 mxz.
on a
f* = A cos'a 4- B cos'6 -f- C cos'y
— aDcosScosy — aEcosacosy — aFcosacos€.
DES XATlÈmES. 4o3
QUARANTIÈME LEÇON
SUITE DES MOMENTS D'HIEETIE. — ROTATION AUTOUR d'uN AXE.
524. Ellipsoïde central. — Sur la droite 01 [fig. i6o) prenons une longueur ON = -p* Si l'on a fait la même construction pour
toutes les droites menées par le point 0, le lieu des points N a pour équation
AX'-h BY'-h CZ>- aDYZ - aEXZ — aFXY = o.
C'est un ellipsoïde ayant le centre pour origine.
525. Axes principaux. •— Quand les axes coordonnés sont dirigés suivant les axes principaux de l'ellipsoïde, on a
^^mjrz — o, ^^mxz=zo^ V 111x^=0.
Ces trois axes sont appelés les axes principanx d'inertie du sy»tème^ et les moments d'inertie correspondants sont dits moments principaux.
526. 527. Le système des axes principaux est unique, à moins que l'ellipsoïde ne soit de révolution. Dans ce cas, l'axe de révolution et deux diamètres perpendiculaires entre eux et à cet axe ftmnent un système d'axes principaux. Si l'ellipsoïde devient une sphère, trois diamètres quelconques perpendiculaires entre eux sont des axes principaux, et les moments d'inertie par rapport à ces axes sont égaux. Le moment d'inertie le plus grand correspond au plus petit axe de l'ellipsoïde, et le plus petit correspond au plus grand.
52S. On peut prendre des axes coordonnés tels, qne deux des
rectangles disparaissent dans l'équation de l'ellipsoïde et qu'elle
prenne la forme
AX*4- BP-4- CP— aFXY = i.
L*axe des z est alors l'un des axes principaux du corps relatifs au point 0.
529. Relation entre les axes principaux relatifs a différents POINTS. — L£S axes pHneipaux relatifs à un point quel' conque d'un corps sont parallèles aux axes principaux relatifs au centre de gravité de ce corps lorsque la droite qui joint le premier point au second est un axe principal relatif au second.
4o4 TABLE AITÀLTTIQUB
530, 531. Points pour lesquels les mombnts prinopiux vi- NERTiB d'un corps SONT ÉGAUX. — Quaod l'ellipsoïde relatif a point 0, centre de gravité du corps, est de révolution autour de son petit axe, il existe sur cet axe deux points symétriques pv rapport au point 0 et situés à nne distance de ce point éffki
■^ — ) qui répondent à la question.
532« Prenons pour exemple Tellipsoïde
L'ellipsoïde doit être de révolution autour de son petit axe. n y aura deux points répondant à la question , situés sur le plus petit
axe à des distances du point 0 égales à dz • / —
533. Mouvement de rotation d'un stotème solide AurorR on AXE FIXE. — La vitesse des points situés à une distance de Taxe égale à l'unité est ce qu'on appelle \2l vitesse angulaire ou de roU-
tion du système. Nous la désignerons par w. La vitesse -7- dim
point quelconque à une distance r de l'axe est représentée par /*«.
53i. Un mouvement do rotation est dit uniforme quand la vitesse de rotation est constante. Ce mouvement a lieu lorsque les pciats du système ne sont sollicités par aucune force motrice ou par des forces motrices qui se font équilibre autour de l'axe fixe.
QUARANTE ET UNIÈftlE LEÇON.
MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR d'uN AXB ( SUITE ).
535. Cas ou le corps est mis en mouvement par des percussions. — Décomposons chaque force instantanée P en deux : Z, parallèle à l'axe O2; Q, située dans un plan perpendiculaire à cei axe. Soit v la vitesse que cette dernière composante serait capable d'imprimer au point m s'il était libre; « la vitesse de rotation da système ; 7 la plus courte distance de Taxe et de la force Q ; on «n
mr*
536, 537. Si toutes les vitesses (», v>\ «^^ . . . , sont égales et parallèles; désignons par ^ la somme des masses des points qui reçoivent directement cette vitesse commune v. Appelons / la distance du centre de gravité de la masse fA à un plan passant par l'axe et parallèle à la direction des vitesses. On a
mr'
Cette formule convient à un corps solide C mobile autour d'un axe fixe O2, choqué par un autre corps G^ qui après le choc reste attaché en G, au premier et dont tous les points sont animés de vitesses égales et parallèles.
• 538, 539. Si le corps est choqué simultanément par plusieurs masses /x, fx', fx', . . . , animées de vitesses différentes et qui lui demeurent attachées après tous ces chocs, on aura
tù =
Sf/
540. Si le système, au lieu d'éprouver des percussions simultanées, reçoit une suite de chocs se succédant à des époques quelconques, la vitesse angulaire sera toujours donnée par la formule précédente.
541 à 543. Calcul des percussions exercées sur l'axe fixe.
— Supposons que le corps soit mis en mouvement par une force instantanée qui imprimerait une vitesse V à une certaine masse fx
Fiff. 164.
au centre de gravité de laquelle elle serait appliquée. Cette force instantanée ou percussion a pour mesure la quantité de mouvement V/x.
Soient X, Y, Z les composantes do la quantité de mouvement /xV, et X,, Yp Z( celles de la résistance du point 0 ; x!,. Y,, Z, celles de la résistance du
. . wT fi d^ ^y ^^* pomt H; enfin OT -^, '"'S' "^ 'di
l3S composantes de la quantité de mouvement effective pour le point m : soit OH = A. On aura, x^ et Xt désignant les coordonnées
4o6 TABLB kTXALYTtqvn
du centre de grarîté du corps entier,
X 4- wM/", + Xj -^ X, = o,
YjA — Zp — •i^iiïxz = o, — XjA + Za — 6> \^mjrz — o,
Xp — Ya -1- û> ^ mr* ~ o.
Ces équations déterminent X, et Y,, X, et Y, et la sosime Z^-rZ^ sans déterminer séparément Z^ et Z,.
544 à 516. GoifomoNS pour qub l'axb n'épmouYB aucuns mcosBiON. — Centre de PE&cnssioN. — i* la direction de la po^ cussion doit être perpendiculaire au plsm qui passe par L'axe fin et par le centre de gravité du corps.
a® Ce plan doit être un des axée principaux pour le point oà il rencontre le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force instantanée.
S"" Enfin la distance de cette force à Taxe doit être égale à a -f -«
a étant la distance du centre de gravité du corps à Taxe et Mi' te moment d'inertie du corps relativement à un axe mené par ce ceatie de gravité parallèlement à Taxe fixe.
547. On appelle centre de percussion le point auquel la peroBsion doit être appliquée dans le plan passant par Taxe et le ceotiv de gravité pour qu'il n'y ait pas d'effort exercé sur l'axe fixe : b
distance du centre de percussion à l'axe fixe est a >{ •
Si Taxe passait par le centre de gravité, il éprouverait toujours une percussion.
548. Réciproquement, si le corps est en mouvement autour dp Taxe, on pourra Tarrétcr brusquement sans qu'il existe aucune per cussion contre l'axe en appliquant au centre de percussion une fc^rce instantanée égale à &)Ma, perpendiculaire au plan mené parlais et par le centre de gravité du corps.
549. Condition poub qu'il n'y Arr de percussion qu'en cn podt DE l'axe. — Si ce point est le point H, et si Z = o, en posant
I^ = 2'"-^*' E = 2flw:*,
DBS MATIÈRES. 4^7
l'équation de condition est
DY4-BX = «Mfl.
Si Oz est un axe principal d'inertie pour le point 0, la percussion est appliquée au point 0.
QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON
ROTATION d'un CORPS AUTOUR d'uN AXl (SUITB).
5ÎM). Rotation d'un corps sollicité par dbs forces quelconques. — Soient X, Y, Z les composantes de la force motrice P du point m(XyX^ ^)t ^^ ^
551 à 553. Pressions sur l'axe. — On applique à deux points quelconques 0 et H, pris sur raxe, deux forces U, (X,, Y,, Z^) et R,(X„ Y,, Z,,), égales et contraires aux pres«ons exercées sur ces deux points à chaque instant du mouvement. On aura, en posant OH = h, en désignant par {Jc^yXn ^i) ^^ centre de gravité du système et par M sa masse,
X + ^ Mr , 4- «» M X, 4- X, 4- X, = o , Y-^Mx.4-««Mj^.4-Y,-|-Y, =o.
2 (Xz-Zx) + 52 '"•^ "^'•* 2 '^•+'^* = **'
554. Cas ou il n'y a pas de forces motrices. — Les résistances R, et R, se réduisent à deux forces perpendiculaires à Taxe, et font équilibre aux forces centrifuges de tous les points du corps qui agissent sur Taxe perpendiculairement à sa direction. La force tangentielle est nulle pour chaque point. Les résistances sont proportionnelles au carré de la vitesse constante «».
4o8 TÀBLB ANÀLTTIQUB
555. Si un corps retenu par un seul point JExe eommenee à <Mrner autour d*un des axes principaux relatifs à ce points U cauti' nuera à tourner uniformément autour de cet axe comme s'ii était fixe.
La pression sur le point 0 est dirigée dans le plan qui passe par Taxe et par le centre de gravité.
556. Pour que le point 0 ne supporte aucune pression, il faute! il suffit que le centre de gravité soit sur Taxe de rotation, et alors le mouvement ayant commencé autour de cet axe, supposé fixe, continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra eotièrement libre.
557. 558. Cas ou les forges motrices se nénuiSBifr a us COUPLE. — Les conséquences précédentes subsistent quand les forces motrices se réduisent à un couple situé dans un plan perpendiculaire à l'axe.
559. Un corps retenu par un point fixe 0 et sollicité par on couple ne tend pas à tourner autour d'une perpendiculaire O2 aa plan de ce couple, à moins que cette perpendiculaire ne soit Ton des axes principaux relatifs au point 0.
560 à 563. Mouvement du treuil.
QUARANTE-TROISIÈME LEÇON
pendule composé.
