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66 COUBS DE MtcANIQUB.
et QN. Soient
Le volume engendré par MM'NN' peut être regardé comme la différence de deux cylindres ayant pour hauteur commune dxj et pour bases les cercles décrits par les droites PM et PM' : ce volume sera donc
et si V est le volume total, on aura, en posant OA = a, OB = J,
Maintenant x étant Tabscisse du centre de gravité du volume engendré par MM'NM', le moment de ce volâmes par rapport à un plan perpendiculaire à Ox, mené par le point O, sera itx {jr* — y*) dx. Donc si Xi est Tabscisse du centre de gravité que Ton cherche, on aura
égalité qui fera connaître Xf .
CORPS DONT LE CENTRE DE GRAVITÉ s'oBTIENT PAR VVE
SEULE IMTÉGRATIOn.
1(M. On peut obtenir par une seule intégration le Fi0. 47. centre de gravité d'un corps
lorsqu'il est décomposable en éléments infiniment petits, ayant leurs centres de gravité en ligne droite.
Considérons, par exemple, un segment d'ellipsoïde compris entre deux plans parallèles AL et BM.
Menons par le centre O de l'ellipsoïde un plan zOy-y
SBFTikME LEÇOH* 6j
parallèle à ces deux plans ; soient Ojr^ Oz deux diamè* très conjugués de la section ainsi obtenue, et Ox le diamètre conjugué à ce plan diamétral. Le diamètre Ox passera par les centres de gravité de toutes les sections parallèles à zOjTj puisque ces centres de gravité sont les centres de toutes ces ellipses.
Or aaj ai, ac étant les longueurs des trois diamètres conjugués, Téquation de Pellipsoïde sera
On peut concevoir le segment ALBM comme formé d'une infinité de tranches infiniment petites, limitées par des plans parallèles à zOy. Soit PRP'R' une de ces tranches, telle que OP = x, OP' = x -f- dx. Le volume de cette tranche différera infiniment peu de celui d'un cylindre qui, ayant Tellipse PR pour base, aurait pour hauteur la distance entre PR et PR'i Or l'équation de Tellipse PR est
et par suite son aire est
Tzbcl i I sînG,
0 étant Tangle zOjr. D'un autre côté, >. désignant Tangle que le diamètre Ox fait avec le plan diamétral zOj^j dxsinl est Pépaisseur de la tranche; le volume de cette tranche sera donc
rcbc sinBsin'k ( i î dr.
Par suite, x = a, a: ={3 étant les équations des plans AL, BM, le volume V du segment sera
ir^csinGsînX r^
Vrrz J {a'^x')da:,
68 COURS DE MÉCAKIQUE.
ce qui donne, en intégrant, 7r^csÎD9sîn>
3fl'
(p — a) (3û»-- a'— ap — f').
Maintenant le centre de gravité G du segment ALBM est sur le diamètre Ox, et comme l'abscisse du centre de gravité de la tranche infiniment petite difiere infiniment peu de a:,
6rsinGsinX. , ,. .
^ JûS — x'jXM
sera le moment de celte tranche par rapport au plan et à la direction Ox. D'un autre côté, si OG = Y Xi sera le moment du segment. On aura donc
zOjr
fr^csinOsinX P^, , .. .
\xt = — J {a^ — x')xdx
ou
ir6csin0sin> ,-. •»# , , «.x
d*où, en divisant par V,
"" 4(3fl»— a« — ap— P')
On doit remarquer que Xi ne dépend ni des diamètres ai et 2c^ ni des angles 9 et X, en sorte que cette formule donne immédiatement Tabscisse du centre de gravité d'un segment sphérique dont le rayon est a et dont a et p sont les distances des bases au centre de la sphère.
CENTRE DE GRAVITÉ DVK CORPS QUELCOUTQUE*
102. Supposons le corps rapporté à trois axes rectangulaires Ox, O^, Oz. Si l'on mène une infinité de plans parallèles au plan xOyy on partagera le solide en une
septiI:m« leçon. 6g
infinité de tranches dont les bases seront parallèles à ce plan; eu menant des plans parallèles au plan zOXf on
décomposera chaque tranche en une infinité de petits filets prismatiques ayant toutes leurs arêtes perpendiculaires au plan zOj"^ et enfin au moyen de plans pa- "y rallèles au plan jsO/, cha-
cun de ces filets se trouvera partagé en une infinité de parallélipipèdes infiniment petits dans toutes leurs dimensions.
Soient M(x,j^, z) et M! {x -{- Jœ, jr -i- dy^ z-^dz) deux sommets opposés d^un de ces parallélipipèdes infiniment petits. Son volume sera dxdjrdz, et par conséquent, si Y est le volume du solide tout entier, on aura
(i) \= C Ç Cdxdydz.
Si le corps est homogène, cette intégrale triple pourra être considérée comme représentant le poids du corps. Si le corps n*est pas homogène, le poids de Félément MM^ sera représenté par pdxdydz et le poids du solide entier P par la formule
(a) V=Ç Ç Ç^dxdydi
p désignant la densité du corps au point {x^y^ z). On suppose que p est une fonction continue des coordonnées, fonction qui peut être considérée comme ayant sensible-* ment la même valeur dans toute Tétendue d'un élément mfiniment petit.
Voici maintenant comment on devra effectuer l'intégration indiquée. L'équation de la surface du corps ionne, en général, pour un système de valeurs de x et de ^, deux valeurs de z : soienif(Xyj') la plus petite, et F (Xj y) la plus grande de ces valeurs. On commencera
tZf
par chercher Tintégrale
en regardant x eiy comme des constantes.
Imaginons maintenant que, de Tëquation de la trace sur le plan des jy d'un cylindre parallèle à Oz et circonscrit à la surface du corps, on tire 1
la première étant la plus petite et la seconde la plus grande des valeurs de y qui correspondent à une valeur attribuée à x. En regardant x comme une constante^ on cherchera Tintégralc définie
Enfin
étant les équations de deux plans parallèles au plan zOjy Fun mené par le point le plus rapproché, l'autre par le point le plus éloigné de ce plan sur la surface du solide, on aura
(3) V=zf drj dj j pdz.
103. Pour trouver maintenant le centre de gravité (xi,/i, ^i)du solide, observons que xpdS^ypdSy zpdW seront les moments du parallélipipède MM' par rapport aux plans coordonnés , en regardant or, jr, z comme les coordonnées du centre de gravité de ce parallélipipède. On aura donc, d'après le théorème des moments,
(4) l^^'^jjj^^"^^'
SBFTifeME LEÇOn. ^t
Si le corps ëtail homogène, le facteur constant p pourrai t
sortir dû signe d'intégraUon et, en remplaçant - par V, on aurait
(5) / Vr.
Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour Vint^rale qui représente le volume
cooas DE MiCUriQUE.
HUITIÈME LEÇON
