A DES COORDONNÉES POLAIRES
Coordonnées polaires. — Poids et Tolume d^un corps rapporté à des coordonnées polaires. — Coordonnées polaires du centre de (gravite. — Limites des intégrales qui entrent dans les formules précédentes. — Application.
Fijj. 49.
COORDONNÉES POLAIHES.
104. Soient z = MP, j = PQ, x = OQ les coordonnées rectangulaires d*un point M. Ce point peut être déterminé par sa distance OM = r à un point fixe O, par l'angle MOx = 9 que fait le rayon vecteur OM avec Taxe fixe Ox, enfin par Tangle M QP = t^ que le plan MOx fait avec le plan fixe xO^. Les quantités r, ô, ^
sont dites lés coordonnées polaires du point M.
On voit que les coordonnées polaires déterminent le point M par Tintersection de trois surfaces, savoir une sphère décrite du point ^O comme centre avec r pour rayon : un cône de révolution dont O x est Taxe et dont la génératrice fait avec Taxe un angle 6\ enfin un plan passant par Ox et faisant un angle t^ avec le plan xOy.
105. Les formules propres à passer des coordonnées rectangulaires x, /, z aux coordonnées polaires r, 0, '^ se tirent immédiatement de la considération des triangles MOQ et MPQ, qui donnent
a: = rcos8, jr = r5in8cosT!>, z = rsinOsinj/.
HUrriÈME LEÇOH. ji
406. Inversement, pour passer du second système au premier, on aura les formules
ces 6:::==
y jr' H- ^*-t- «'
POmS ET VOLUME DES COUPS KÀPPOUTÉS
À DES cooedokhées polaires.
107. Soit M (r, d, ^) un point pris dans le corps considéré. Décrivons dans le pian MOx et du point O
comme centre deux arcs de cercle MI et LK, avec les rayons OM = r et OL = r -f- Ar, terminés à la droite OK telle que LOK = AO.
Si Ton imagine que le quadrilatère plan I&ILK tourne autour de Ox d'un angle Atf^ et vienne en l'M'L'K', nous obtiendrons un petit solide MK'que nous prendrons pour l'élément du volume total. D'après le théorème de Guldin (90), MK' aura pour mesure Taire IMLK multipliée par l'arc de cercle que décrit le centre de gravité G de cette aire. Or
IMLK = OKL — OMI = i (r -f Ar)»A0 — - / »A0, OU bien
ndLK=(r 4-- ArlArAÔ.
D'un autre côté, si u est la perpendiculaire GH abaissée du point G sur l'axe Ox, Tare décrit par le point G sera égal à u^^. Mais le point G étant compris dans Tinté-
74 coims DE xéciniQUE.
rieur da quadrilatère IKLM, peut devenir aussi voisin que Ton voudra du point M en prenant A0 et A(p asse? petits. Par conséquent, GH différera peu de la perpendiculaire MQ = r sin Q abaissée du point M sur Taxe Ox : on aura donc
(i) aizrrsinô H- a,
a désignant une quantité qui tend vers o en même temps que A r et Ad; et par suite
(2) ZkV= (r sinô -4- a) f r -t- - ^r\ ÂrAOÂ^.
Mais si Ton appelle p la densité du solide au point M, p -{- S sera la densité moyenne de l'élément de volume AV, S devenant nul à la limite. En appelant AP le poids de cet élément, on aura donc
AP = (p -^ 6) AV et par suite
(3) AP = (p H- 6) (rsine H- a) ( r -f- - ArJ ArAOA^}».
De là on conclut, en désignant par y un infiniment petit,
P= ïp^»sinôA^AÔA^|; + 27ArAÔA>p.
Or, si Ton suppose les accroissements Ar, Ad, A(jf de plus en plus petits, on a
lirnSvArAGA^» = 0, Um2p^*sînôArAÔA^|;rr: / / 1 pr^sinBilrdBd^.
(4) P= j j jpr's\n9drdQ(i^,
relation que Ton aurait pu obtenir plus rapidement pai la méthode des infiniment petits.
Quand le corps est homogène, p est une constante qu'on peut faire sortir du signe d^intégration, et sL Ton observe
HtJITIÈlfB LBÇOir. 1^5
que - est égal an volume V du corps, on aura
mQfird&d^,
COOKDOraÉBS POLllEES DU CBJfTEB DB GRAVITÉ d'uS COEPS.
108. En posant dV = pr^sinOdrdOdt^y un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire nous donnera, pour les moments du solide par rapport aux trois plans coordonnés, les intégrales
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et comme ces moments sont aussi égaux à Po?], P^i, Pzi, on aura finalement, pour déterminer les coordonnées rectangulairjss du centre de gravité solide, les formules suivantes :
smB€lrd9d^,
Pjt, = i I I pr^sinQcosBdrdBd'^f (6) ) Pxt= f f h r* sîn> 0 cos^^ drdB d^,
Pz, = I I j pr^ sin^ 9 sin^ drdBd^»
On obtiendrait ensuite les coordonnées polaires pi^Oi^^i^ du centre de gravité à l'aide des formules du n** 106.
LIMITES DES I^'TÉG RALES PRÉCÉDEJNTES.
109. Quant aux limites de ces intégrales, il faut distinguer deux cas, suivant que Torigine des coordonnées est dans le corps ou hors du corps.
Dans le premier cas, i^ on intégrera d*abord par rapport à r en regardant d, tp» dOj d^ comme des constantes,
70 COURS DE MÉC4ltI<^I7E.
depuis r=:o jusqu'à r=f{0,^)y Féquation polaire de la surface du corps résolue par rapport à r étant
On aura ainsi le poids et le centre de gravité d*une pyramide infiniment petite ayant son sommet au point O, et dont les cjuatre arêtes seraient les droites OL, OK, OL', OK', qui correspondent aux angles d et ^'^
2^ On intégrera ensuite par rapport à 9, en regardant fjf et d^ comme des constantes, depuis d = o jusqu^à 0 = ir, ce qui donnera le poids et le centre de gravité d'une tranche infiniment mince comprise entre deux plans infiniment voisins passant par Ox et correspondant à un angle ^.
3® Ejifin, on aura le résultat définitif en intégrant les quatre expressions trouvées par rapport à ^ entre les limites ({/ = o et (j/ = 27r. D'après cela, la formule qui donne P pourra s'écrire
I d^ f slnBdB f pr^dr.
0 Jo Jo
