Proposons-nous de trouver raltraction de Tellipsoïde

sur un point intérieur (œ, o, y).

Pour avoir la valeur de R, il faut faire

l X a -^ u cosgf

l y €4-acos/i,

\ z — 7-4- ttcosXy

dans Téquation (i), ce qui donne

pti} -+- iiqu=z/f

en posant

l cos*/?" oos^A cos*X*

1 acos/? 6rosA 7COS/*

On tire de Téquation (3)

— qzhyjq' H- pt

Uz=

DIXIEME LBÇOK. 91

CtMDHie p et /sont positives, on a deux valeurs de ii. Tune

pontive, qui est — ^-^ ^> lautre négative, qu il

fiut rejeter, car le rayon vecteur est une quantité positive, sa direction étant déterminée par les angles g^ A, Ar, qui peuvent être aigus ou obtus. On prend donc

et Ton a, en intégrant par rapport à u la première des fermules (3) du n^ 124 et en omettant le facteur con-

A=— I I Rcos^sin9</9</4' ou

(4) ^= / /^~V^ cos^smO rfO d^, et de même

(5) B =JC9-\/9' + Pi cosAsinOrferf^,

(6) C = jÇllulEE^ C08* $in 9 rfô rf^.

429. On peut sapprïmèr le radical ^q* ■+- pi dans ces formules. Par exemple, la partie

Ùlj±£icosgsinBd9d^, P

qui entre dans la formule (4)9 est nulle, car si Ton considère un élément de l'intégrale double correspondant à une certaine direction (&, ^) du rayon vecteur, puis l'élément correspondant à la direction opposée (tt — 6, Tt-h^)^ coBg OU cos9 changera de signe sans changer de valeur en passant du premier élément au second; il en sera de même de sin^^ et cos<{'; quant à sin0, il ne changera pas,

pa COURS DE mécahique

de sorte que les deux éléments, étant égaux et de signes contraires, se détruisent. La valeur de A se réduit donc à

cosg mBdBd^f

ou, en remplaçant q par sa valeur (128),

cos^cosA'

^Hf

sin0c/9l/^{>.

130. En prenant deux éléments pour lesquels 0 ait deux valeurs supplémentaires tandis que ^ sera le même, ou, ce qui revient au même, deux éléments qui répondent à des valeurs suppléolentaires de g et aux mêmes valeurs de h et de A:, on voit que les deux dernières intégrales sont composées de parties qui se détruisent deux à deux, et A se réduit à la première intégrale. Une simplification analogue aura lieu dans les valeurs de B et de C. On aura donc

A= — j / -— î^sinOrfôrf^,

OU, en remplaçant p, cosg^, cos/i, cosA par leurs valeurs (124),

A«r' cos*© sîn 0 dB r/^ ^c»cos' 0 -4- fl*c*cos*4' sin* 9 -H fl'6*sin*ij» siii'O *

(8) K^^CC ^'r»sîn»0cos»4.rfM-fr

1 J J ^'c'cos'0-i-/i»c»cos>>^sin»0-4-<i»^»sin»4»siii»«^

g'^^sin'O sin'^rfO </>}»

c*cos*0 -♦- flVcos*^ sin*9 -f-a*6'sin'4» sin*#'

DmfexE LEçoir 93

GOHftéQUEIlCBS DES FORMULES PEÉCÉDEBTES.

131 . Avant d^ effectuer les intégrations, on pent déduire de ces formules plusieurs conséquences.

I® Tous les points situés dans un même plan perpen* à'colaire k un axe sont également attirés dans le sens de cetaxe, et les composantes de l'attraction sont proportionnelles aux distances du point attiré aux trois plans principaux de Tellipsoïde. Par conséquent, cette attraction mte parallèle a une même direction pour tous les points sitnés sur une ligne droite passant par le centre, et elle est proportionnelle à la distance du point attiré au centre.

2® On a

— =i jsiû9d9d^=z^lg

dA dh dC .

cas particulier de la formule (7)) n^ 127, •

d*V d^y r/»V d^'^dF'^df^'^^''^"

3® Les valeurs des composantes A, B, C ne renferment que les rapports des axes de rellipsoïde; elles restent donc les mêmes quand ces trois axes varient proportionnellement, c*est-à-dire deviennent na^ nb^ ne* Donc une couche homogène comprise entre deux surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement plaojes (homo thé tiques), n'a aucune action sur uu point placé dans Tespace vide intérieur, et par conséquent Tactûm d*un ellipsoïde sur un point de sa propre masse se réduit à celle de la partie de ce corps qui est terminée par une surface concentrique et semblable à la sienne et passant par le point donné.

94 COURS DE MÉCABIQUE.

SUITE DE L*IIfTÉ6KATION DES FORMULES DAlTS LE CAS

DE l'ellipsoïde.

132. Comme la fonction sous les signes i i dans les formules (8),

r r &»c'cos«QsinO</Q</4>

J J 6*c*cos*0 -H a^c* cos*+ $in*0 -h i^b^sin^^ sin'ô'

'^ J j b^c^ co^B -h a»c>cos'4» siVO -f- aH^ sîn'4»"5n*Ô*

r r a»^»sin»Qsin'4>rfO</4>

J J b^c* cos*9 -f- û'c» cos*4» sin'O + a^b^ sin'^i sin*

a la même valeur pour deux valeurs de 9 supplémentaires et pour des valeurs de ^ telles que (f, it — f , ^ + fi

air — f , il suffira d'intégrer par rapport à 0 de zéro à ~

puis de doubler le résultat; et par rapport a t{/, de zéro

à -en quadruplant le résultat. Occupons-nous d'abord

de la valeur de A. En mettant les limites en évidence, on

aura

A=:6b*é»a I cos»05ÎnO£/O

,^ ^ c*cos*ô H- a'c» cos*4» sin'O -4- a^ b^sior^ sio^O

Posant

tang + = /,

d'où

d^ = -f SÎn'>I» = ; y COS'jf = -»

mxikxB LEÇON. 95

ont

— ir __ 2

"" be v'(6*cos*« -h a»sin'0) (c'oos'ô -4- a»sin»ô) i cause de la formule

donc

- râ ^<;cos'OsinO</0

J^ V(à»cos"Ô4-«*sm"0)(c»cos»0 + a'8m»0)

Sans nouveau calcul on déduira B et C de A par de simples permutations. On aura donc

éccos'OsinO^^O

cos*0 -ha^sin»0)(c*cos^G H-a'sin'O)

, ^ r^ rttfcos'OsinOrfÔ

Jo v(«*cos'0 H- à'sin'O) (c'cos'

ô-l-à'sin'9)

a^cos'OsinOr/0

V^(fl«cos'9-f-c^sin'0) (*»cos»0 -h c'sin^ôj

Ces composantes, ëtant positives, tendent à rapprocher le point O du centre de rellipsoïde. Elles ne renferment qae les rapports des axes, de sorte qu'en remplaçant a, bj c par fia, nb^ ne elles restent les mêmes. Ainsi t ellipsoïde étant augmenté d^une partie comprise entre

96 CODAS DE StÉCâlflQTJB.

sa surface et une surface semblable, V action de la couche ajoutée sur le point intérieur est nulle (131, 3°).